Математический анализ. Определенный интеграл

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

2 семестр
1

2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

• Даны:
- отрезок [a,b],
- неотрицательная функция f(x)
Криволинейная трапеция
Площадь?
2

3.

3

4.

• 4 шага:
1. Разбить отрезок.
2. Выбрать точки.
3. Интегральная сумма.
4. Перейти к пределу.
4

5.

1. a=x0<x1<…<xn=b,
xi=xi xi 1 (i=1,2,…,n)
2. 1 [x0,x1], 2 [x1,x2],…, n [xn 1,xn]
3. Интегральная сумма
f( 1) x1+ f( 2) x2+…+f( n) xn
5

6.

• 4. =max{ xi}
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если предел
интегральных сумм
6

7.

при 0 существует, то он называется
определенным интегралом от функции f(x)
по отрезку [a,b], обозначается
b
f ( x)dx
a
В этом случае функция f(x) называется
интегрируемой на отрезке [a,b].
7

8.

• Особенность предела!
• Пример интегрируемой функции: f(x)=с.
• Замечание. Если функция интегрируемая,
то она ограниченная. Обратное неверно
(функция Дирихле)
8

9.

• Много ли интегрируемых функций?
ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна
на отрезке [a,b], то она
интегрируема на этом отрезке
ТЕОРЕМА 2. Монотонная ограниченная
функция является интегрируемой.
.
9

10. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

a
f ( x)dx 0
• 1. (договоренность)
a
• 2. (договоренность)
b
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx
10

11.

3. (линейность) Если функции f(x) и g(x)
интегрируемы на [a,b], то функция
сf(x)+dg(x) также интегрируема на [a,b],
причем
b
b
b
a
a
a
cf ( x) dg ( x) dx c f ( x)dx d g ( x)dx
11

12.

4. Произведение интегрируемых функций
интегрируемая функция. ФОРМУЛЫ ДЛЯ
ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕ СУЩЕСТВУЕТ!
5. Если функция f(x) интегрируема на [a,b], то
она интегрируема и на [с,d] [a,b].
12

13.

6. (аддитивность) Если функция f(x)
интегрируема на [a,c] и [c,b] , то она
интегрируема и на [a,b]. При этом
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Формула справедлива при любом
расположении точек a, b, c
13

14. ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛОВ

1. Если f(x) 0 на [a,b] и интегрируемая, то
b
f ( x)dx 0.
a
2. Если f(x) m на [a,b] и интегрируемая, то
b
f ( x)dx m(b a).
a
14

15.

3. Если непрерывная функция f(x) 0 на [a,b] и
f(x)>0 в некоторой точке, то
b
f ( x)dx 0.
a
4. Если f(x) и g(x) интегрируемые на [a,b] и
f(x) g(x), то
b
b
a
a
f ( x)dx g ( x)dx
15

16.

5. Если функция f(x) интегрируемая на [a,b],
то |f(x)| также интегрируема и
16

17.

6. Пусть f(x) и g(x) интегрируемые на [a,b],
f(x) 0 и m g(x) M. Тогда
b
b
b
a
a
a
m f ( x)dx f ( x) g ( x)dx M f ( x)dx
17

18.

• ТЕОРЕМА 3 (о среднем значении).
Пусть f(x) интегрируемая на [a,b]
и m f(x) M.
Существует число [m,M], для которого
b
f ( x)dx (b a)
a
Геометрический смысл
18

19.

• СЛЕДСТВИЕ. Если дополнительно функция
f(x) непрерывна на [a,b], то существует
число [a,b], для которого
b
f ( x)dx f ( )(b a)
a
19

20. ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ

x
F ( x) f (t )dt
a
20

21.

ТЕОРЕМА 4. Функция F(x) непрерывная.
ТЕОРЕМА 5. Если функция f(x) непрерывная,
то функция F(x) дифференцируемая,
причем F (x)=f(x).
21

22.

• СЛЕДСТВИЕ. (Формула Ньютона-Лейбница)
• Если функция f(x) непрерывная на [a,b] и
(x) – первообразная f(x), то
b
f (t )dt (b) (a)
a
22

23.

a=0, b= /2
23

24. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ

ТЕОРЕМА 6. Пусть
Тогда
24

25.

• ПРИМЕРЫ
• 1.
• 2.
25

26.

• ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
• ТЕОРЕМА 7. Пусть функции u(x), v(x) имеют
непрерывные производные на отрезке [a,b].
Тогда
26

27.

• ПРИМЕРЫ
27

28. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1. Длина дуги кривой
t - параметр
Функции непрерывные!
Если разным значениям параметра
соответствуют разные точки плоскости, то
дуга называется простой.
28

29.

• ЗАМЕЧАНИЯ
• 1. Входят кривые, заданные уравнениями
y=f(x).
2. Параметр не единственный!
Непрерывная монотонная функция u(t), u –
тоже параметр
29

30.

• Строфоида
• Простые дуги на множествах t<0, t>0
30

31.

• Пространственные кривые
• Пример
• x=r sin t, y=r cos t, z=ct
31

32.

• Длина дуги. Диагональ квадрата
• Вписанная ломаная x= (t), y= (t)
32

33.

• Шаг разбиения =max{ ti}
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Предел длин вписанных
ломаных при 0, если он существует,
называется длиной дуги, дуга в этом случае
называется спрямляемой.
33

34.

• ТЕОРЕМА 8 (Достаточные условия
спрямляемости. Вычисление длины дуги)
• Пусть функции x= (t), y= (t) имеют
непрерывные производные на отрезке [ , ].
• Тогда дуга спрямляемая, ее длина
l
x (t ) y (t )
2
2
dt
• Для дуги пространственной кривой аналогично
34

35.

1. Если дуга спрямляемая, то длина не
зависит от параметризации непрерывно
дифференцируемой функцией.
2. Если спрямляемая кривая разбита на
части, то каждая часть спрямляемая и
длина всей дуги равна сумме длин частей.
3. Пусть l=l(t) – длина дуги кривой от до t.
l – параметр (натуральный)
35

36.

• Для кривой y=f(x)
• Для кривой, заданной в полярных
координатах уравнением r( ) ( 1 2)
36

37.

• Дифференциал дуги
• Для пространственной кривой
37

38.

• Примеры вычисления длины дуги.
• 1. Циклоида
• 2. Цепная линия
[0,a]
• 3. Длина дуги эллипса
38

39. ПЛОШАДЬ ПЛОСКИХ ФИГУР

• 1. Криволинейная трапеция
39

40.

• 2. Криволинейный сектор
40

41.

• Примеры
• 1. y=x2, [0,1]
• 2.
41

42.

• 3. Трилистник
42

43. ОБЪЕМ ТЕЛ

Объем аддитивен
Объем единичного кубика 1
ОТСЮДА
Объем цилиндрического тела V=Sh
43

44.

• S(x) – площадь сечения
b
V S ( x)dx
a
44

45.

• Объем тела вращения
• Криволинейная трапеция
a x b, 0 y f(x), f(x) – непрерывная функция
Тело получено вращением трапеции вокруг
оси абсцисс
b
V f ( x)dx
2
a
45

46.

• ПРИМЕРЫ
• 1. y=sin x на [0, ]
• 2. Астроида
46

47.

• ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
47

48.

• Площадь боковой поверхности конического
тела
n
P( xi ) yi 1 yi li
i 1
• li=
48

49.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Площадью поверхности
вращения называется
P lim 0 P( xi )
=max{ xi}
49

50.

• При параметрическом задании
50

51.

• ПРИМЕРЫ
• 1.
• 2. Циклоида
51

52. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

• Обобщение интеграла на бесконечные
промежутки и неограниченные функции
• 1 рода
• Пусть функция f(x)
- определена на [a, )
- интегрируемая на [a,b]
52

53.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Несобственным
интегралом 1 рода называется
a
b
f ( x)dx limb f ( x)dx.
a
• Если предел не существует, то интеграл
расходится
53

54.

• Примеры
54

55.

• Аналогично
a
a
f ( x)dx limb f ( x)dx.
b
• Если f(x) непрерывна на всей прямой, то
a
f ( x)dx
f ( x)dx f ( x)dx.
a
55

56.

• Достаточное условие сходимости НИ 1 рода
• ТЕОРЕМА 9. Если f(x) 0, интегрируема на [a,b]
при любом b>a и b
f ( x)dx M ,
то
a
f ( x)dx
a
сходится.
56

57. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 РОДА

57

58.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Несобственным интегралом 2
рода называется
Обозначение
b
f ( x)dx
a
Если предел не существует, то интеграл
расходится.
58

59.

• Аналогично, если особая точка – левый
конец промежутка.
• ПРИМЕР.
1
dx
0 x
59

60. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

• Числовая последовательность
u1 , u2 ,..., un ,...
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Числовым рядом
называется символ
u1 u2 ... un ... ui
i 1
60

61.

• Частичные суммы
n
Sn u1 u2 ... un ui
i 1
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Числовой ряд сходится,
если существует S lim Sn .
S – сумма ряда
Если предел не существует, то ряд
расходится.
61

62.

• ПРИМЕРЫ
• 1.
1 1+1 1+…
• 2.
• 3.
62

63.

• ТЕОРЕМА 10 (необходимый признак
сходимости ряда).
• Если ряд
u
i 1
i
сходится, то ui 0.
• ПРИМЕР.
63

64.

• ЗАМЕЧАНИЯ.
• 1.
• 3.Сумма сходящихся рядов сходящийся ряд.
64

65. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

• ТЕОРЕМА 11. Для сходимости ряда с положительными членами
необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были
ограничены.
• ТЕОРЕМА 12. (признак сравнения) Пусть
u и u i 1
i
i 1
i
ряды с положительными членами, причем
Если сходится ряд
i ui ui .
u , то сходится и ряд u
i
i 1
i 1
Если расходится ряд
u
i 1
i
, то расходится и ряд
i
u
i 1
i
65

66.

• ЗАМЕЧАНИЯ.
1. То же самое справедливо, если i ui cui
при некотором c>0.
2. Неравенство может выполняться начиная с
некоторого i.
66

67.

• ТЕОРЕМА 13. (предельный признак сравнения)
Если
u , u - ряды с положительными
i 1
i
i 1
i
членами, причем
• ui 0,
• существует
ui
limi L 0,
ui
то ряды сходятся или расходятся
одновременно.
67

68.

• ПРИМЕРЫ
1
• 1. i
i 1
3 2
• 2.
1
( 1)
i 1 i
68

69.

• ТЕОРЕМА 14. (Признак
Даламбера)
• 1. Если члены ряда ui положительные и
i 1
начиная с некоторого номера
ui 1
ui 1
q 1
1 ,
ui
ui
то ряд сходится (расходится)
69

70.

2. Если существует предел
ui 1
limi
L,
ui
то при L<1 ряд сходится,
при L>1 ряд расходится
70

71.

• ТЕОРЕМА 15. (Признак Коши)
1. Если начиная с некоторого номера
n
un q 1
n
un 1 ,
то ряд сходится (расходится).
2. Если существует предел lim n n un L,
то при L<1 ряд сходится,
при L>1 ряд расходится
71

72.

• ПРИМЕРЫ
1.
k
k!
k 1
2.
k
2
k 1
k
k
72

73.

• ТЕОРЕМА 16. (Интегральный признак
сходимости).
• Пусть неотрицательная функция f(x)
является невозрастающей на множестве
[1,+ ).
Ряд f (n) и f ( x)dx
n 1
1
сходятся или расходятся одновременно.
73

74.

• ПРИМЕРЫ
1
• 1.
n 1
n
• 2.
1
n 2 n ln n
74

75.

• Для произвольных рядов – критерий Коши
(следствие критерия для
последовательностей)
ТЕОРЕМА 17. Для сходимости ряда un
n 1
необходимо и достаточно, чтобы
n p
( 0)( N )( n N )( p) ui
i n
75

76.

• Знакопеременные ряды
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Числовой ряд ui
i 1
называется абсолютно
сходящимся, если
сходится ряд ui .
i 1
76

77.

• ТЕОРЕМА 18. Если ряд сходится абсолютно,
то ряд сходится.
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Сходящийся ряд
u
i 1
i
сходится условно, если ряд
u
i 1
i
расходится.
77

78.

• Перестановки ряда
• ТЕОРЕМА 19. (Коши) Перестановка любого
абсолютно сходящегося ряда – абсолютно
сходящийся ряд, сумма которого равна
сумме исходного ряда.
• ТЕОРЕМА 20. (Риман) Если ряд сходится
условно, то для любого L существует
перестановка ряда, сумма которой равна L.
78

79.

• Знакочередующийся ряд
• ТЕОРЕМА 21. (Признак Лейбница) Если ряд
n 1
u1 u2 u3 ... 1 un ...
удовлетворяет условиям
- un 0,
- последовательность u1 , u2 , u3 ,..., un ,...
убывает и является бесконечно малой,
то он сходится
79

80.

• Пример
1 1 1
1 ...
2 3 4
• Следствие. Для ряда лейбницевского типа
S2 n S S2 n 1
• Отсюда, для любого k
S S k uk
80

81. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ

• Функциональная последовательность
f1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x),...
• Функциональный ряд
u ( x)
n 1
n
• Определены на множестве X
81

82.

• ПРИМЕРЫ
• 1.
1 nx при 0 x 1/ n
f n ( x)
при 1/ n x 1
0
• 2. Ряд
x x2
xn
1 ... ...
1! 2!
n!
82

83.

• Область сходимости
• Предельная функция для
последовательности
• Сумма функционального ряда
• Предельная функция для примера 1.
• ex cумма ряда их примера 2
83

84. Равномерная сходимость

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Функциональная
последовательность
f1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x),...
равномерно сходится к функции f(x) на
множестве X, если
0 N n N x X
f n ( x) f ( x)
Для рядов аналогично
84

85.

• Пример 1 – не равномерная сходимость
• ТЕОРЕМА 22. (Критерий Коши равномерной
сходимости функц. последовательностей)
• Для равномерной сходимости функц.
последовательности на множестве X
необходимо и достаточно выполнение
следующего условия:
0 N n N p x X
f n ( x ) f n p ( x )
85

86.

• ТЕОРЕМА 23. (Критерий Коши равномерной
сходимости функц. рядов)
• Для равномерной сходимости функц. ряда
на множестве X необходимо и достаточно
выполнение следующего условия:
n p
0 N n N p x X ui ( x)
i n
86

87.

• ТЕОРЕМА 24. (Признак Вейерштрасса)
Если для функционального ряда
u ( x) x X
n 1
n
существует сходящийся числовой ряд
a
n 1
n
такой, что при всех x un ( x) an , то функц. ряд
сходится равномерно.
МАЖОРАНТА
87

88.

• ПРИМЕР
sin 2 x
2
n
n 1
• Признак Вейерштрасса ДОСТАТОЧНЫЙ, НО
НЕ НЕОБХОДИМЫЙ.
n
• ПРИМЕР.
1
, x 1,1
un ( x )
n
88

89.

• ТЕОРЕМА 25. Пусть последовательность
НЕПРЕРЫВНЫХ функций
f1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x),...
сходится равномерно на отрезке [a,b] к
функции f(x).
Тогда функция f(x) также НЕПРЕРЫВНАЯ.
Для рядов аналогично.
Условие ДОСТАТОЧНОЕ, не
НЕОБХОДИМОЕ
89

90.

• ТЕОРЕМА 26. Пусть последовательность
НЕПРЕРЫВНЫХ функций
f1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x),...
сходится РАВНОМЕРНО на отрезке [a,b] к
t
функции f(x).
Тогда последовательность Fn (t ) a f n ( x)dx
сходится равномерно на отрезке [a,b] к
функции
t
F (t ) f ( x)dx.
a
90

91.

• Для всего промежутка
b
b
lim f n ( x)dx lim f n ( x) dx
a
a
• Для рядов
b
un ( x) dx un ( x)dx
a
n 1
n 1 a
b
91

92.

• ТЕОРЕМА 27. Пусть функции fn(x) непрерывно
дифференцируемы на отрезке [a,b], причем
- последовательность производных f n(x)
РАВНОМЕРНО сходится (к функции g(x)),
- При некотором c [a,b] последовательность
{fn(c)} сходится.
ТОГДА
- последовательность {fn(x)} сходится
равномерно (к функции G(x)),
- функция G(x) дифференцируемая и G (x)=g(x).
92

93.

• Иная форма записи:
lim
f
(
x
)
lim f n ( x).
n
• Для рядов: при соответствующих условиях
un ( x) un ( x)
n 1
n 1
93

94. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Степенным рядом
называется функциональный ряд вида
a0 a1 x x0 ... an x x0 ... an x x0
n
n
n 0
• Далее будем рассматривать случай x0=0.
94

95.

• Область сходимости степенного ряда
• Всегда сходится в 0.
n
n
!
x
• Может сходиться только в 0
n 0
• Может сходиться абсолютно при любом x
xn
n 0 n !
95

96.

• ТЕОРЕМА 28. Пусть степенной ряд сходится
при некотором x 0 и сходится. не всюду
Существует такое число R>0 (радиус
сходимости), для которого ряд сходится
абсолютно при |x|<R и расходится при
|x|>R .
• Если сходится всюду, то полагают R= .
96

97.

• Основа доказательства:
• Если ряд an x0n ( x0 0) сходится, то при
n 0
|x1|<|x0| ряд an x1n сходится абсолютно.
n 0
R=sup{x:
n
|
a
|
x
ряд n
n 0
сходится}
Концы промежутка???
97

98.

• Для нахождения радиуса сходимости
можно использовать признаки Даламбера
и Коши
• ПРИМЕР.
n
x
n 1 n
98

99. СВОЙСТВА СУММЫ СТЕПЕННОГО РЯДА

• ТЕОРЕМА 29. Пусть R>0 радиус
сходимости степенного ряда, число
r (0, R). На отрезке [ r, r] степенной ряд
сходится равномерно.
• СЛЕДСТВИЕ. Сумма степенного ряда
непрерывна на интервале ( R, R).
99

100.

• ТЕОРЕМА 30. Пусть R>0 радиус
сходимости степенного ряда
a x
n 0
n
n
.
Радиус сходимости степенных рядов
na x
n 1
n
n 1
n 1
x
, an
,
n 1
n 0
100

101.

• полученных почленным
дифференцированием и интегрированием
исходного ряда, также равен R.
101

102. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННОЙ РЯД

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Говорят, что функция f(x)
разлагается в степенной ряд на интервале
( R, R), если существует степенной ряд,
сумма которого на этом интервале равна
f(x).
• Функция, которая разлагается в степенной
ряд, называется аналитической на ( R, R).
102

103. СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1. Аналитическая функция имеет
непрерывные производные любого
порядка.
УСЛОВИЕ НЕОБХОДИМОЕ, НО НЕ
ДОСТАТОЧНОЕ!
2. Если функция аналитическая, то
коэффициенты степенного ряда
определяются однозначно.
103

104.

• Если
f ( x) an x
n
на ( R, R),
n 0
• то
f ( n ) (0)
an
.
n!
104

105.

• Ряд
n 0
f
(n)
(0) n
x
n!
называется рядом
Тэйлора (или Маклорена) функции f(x).
105

106.

• Когда
f ( x)
n 0
f
(n)
(0) n
x
n!
на области сходимости ряда?
106

107.

Формула Тейлора
n
f ( x)
i 0
f
(i )
(0) i
x Rn ( x)
i!
Необходимое и достаточное условие:
limn Rn ( x) 0
при всех x из интервала сходимости.
107

108.

• Остаточный член в форме Лагранжа:
n 1
x
n 1
Rn ( x)
f
( )
n 1 !
x .
108

109.

lim n
x
n
n!
0
для всякого x (можно рассмотреть ряд)
• ТЕОРЕМА 31. Если для каждого x из
интервала существует число M, для
которого
(n)
f
( x) M ,
то функция аналитическая.
109

110.

• По этому признаку при x ( , )
2
n
x x
x
e 1 ...
1! 2!
n 0 n !
x
3
5
2
4
2 n 1
x
x
x
n
sin x x ... 1
3! 5!
2n 1 !
n 0
2n
x
x
n x
cos x 1 ... 1
2! 4!
2 n !
n 0
110

111.

• Вычисления
e ,cos
1
sin t
• Интегралы (считаем, что
1 при t=0)
t
x
sin t
0 t dt
111

112.

• Можно доказать: при x ( 1,1)
2
3
n
x x
n 1 x
ln(1 x) x ... 1
2 3
n
n 1
1 ... n 1
1
2
n
x ...
x
1 x 1 x
1!
2!
n!
n 0
112

113. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

• Рассматриваем функции, определенные на
области X плоскости или пространства (R2,
R3)
f: X R.
Обозначения: f(M) (M X) или f(x,y), f(x1,x2),
f(x,y,z), f(x1,x2,x3)
113

114.

Окрестности точки M=(x1,x2,x3) X:
шары {N X: (N, M)< } или
параллелепипеды {(y1,y2,y3) X:|yi xi|< }
114

115.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Точка M называется
внутренней точкой множества X , если она
принадлежит X вместе с НЕКОТОРОЙ
окрестностью.
• Точка M называется внешней точкой
множества X , если НЕКОТОРАЯ ее
окрестность не пересекается с X.
• Точка M называется граничной точкой
множества X, если она не является ни
внутренней, ни внешней.
115

116.

• Иначе. Точка граничная, если в ЛЮБОЙ ее
окрестности есть как точки, входящие в X,
так и точки, не входящие в X.
• Граничные точки множества и его
дополнения совпадают.
116

117.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Множество X называется
открытым, если все его точки внутренние
(не содержит граничных точек).
• Множество X называется замкнутым, если в
него входят все граничные точки.
• ТЕОРЕМА 32. Дополнение открытого
множества замкнутое.
• Дополнение замкнутого множества
открытое.
117

118.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Множество называется
ограниченным, если оно содержится в
некотором круге (шаре).
• (Непрерывная) кривая - вспомним!
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Множество называется
связным, если любые две его точки можно
соединить кривой.
118

119.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Последовательность
точек M1, M2,…, Mn,… в Rk называется
сходящейся, если существует точка
A Rk такая, что
0 N n N M n , A .
• A – предел последовательности, Mn A
119

120.

• ТЕОРЕМА 33. Для того, чтобы
, A a , a ,..., a
необходимо и достаточно выполнение
M n A M n x , x ,..., x
(n)
1
( n)
2
(n)
k
1
2
k
условий
( n)
1
x
a1 ,..., x
( n)
k
ak .
Предел последовательности если существует, то
единственный.
120

121.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 18. Последовательность
точек M1, M2,…, Mn,… в в Rk называется
фундаментальной, если
0 N n N p M n , M n p .
121

122.

• ТЕОРЕМА 34. (Критерий Коши)
Сходимость последовательности точек
в Rk равносильна ее
фундаментальности.
122

123.

НАПОМИНАНИЕ. Множество X Rk ограниченное,
если оно содержится в некотором шаре, т.е.
для некоторого числа A
( M X) ( (O, M)<A)
Равносильно с параллелепипедом
Сходящаяся последовательность ограничена.
123

124.

• ТЕОРЕМА 35. (БольцаноВейерштрасса)
Из любой ограниченной
последовательности точек в Rk можно
извлечь сходящуюся
подпоследовательность.
124

125.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.
1. Число b - предел функции f(M) в
точке A, если из того, что Mn A
(Mn A) следует, что f(Mn) b.
2. Число b - предел функции f(M) в
точке A, если
0 0 M , A
f (M ) b .

126.

• ОБОЗНАЧЕНИЯ
lim M A f ( M ) b
lim x1 a1 f ( x1 , x2 ) b
x2 a2
126

127.

• ПРЕДЕЛ НА БЕСКОНЕНОСТИ
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21. Число b - предел
функции f(M) на бесконечности, если
0 a 0 O, M a
f (M ) b .
127

128.

• Арифметические операции
• Если b=0, то функция бесконечно
малая в точке M.
• ПРИМЕР.
• (x 1)p+(y 2)q при p,q>0 – бесконечно
малая в точке (1,2).
128

129.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22.
1. Функция f(M) называется непрерывной в
точке A, если
lim M A f ( M ) f ( A).
• 2. Функция f(M) называется непрерывной в
точке A, если
0 0 A, M
f ( M ) f ( A) .
129

130.

• Функция называется непрерывной на
множестве X, если она непрерывна в каждой
точке этого множества.
• Пусть u=f(M). Приращение функции в точке
A:
u=f(M) f(A)
A=(a1, a2), M=(a1+ x1, a2+ x2)
u=f(a1+ x1, a2+ x2) f(a1, a2)
130

131.

• Разностная форма непрерывности:
lim M A u lim x1 0 u 0
x2 0
131

132.

• Частные приращения:
x1 u 1u u (a1 x1 , a2 , a3 ) u (a1 , a2 , a3 )
x2 u 2u u (a1 , a2 x2 , a3 ) u (a1 , a2 , a3 )
x3 u 3u u (a1 , a2 , a3 x3 ) u (a1 , a2 , a3 )
132

133. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУННКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕОРЕМА 36.
Если функции f(M) и g(M) непрерывны в
точке A, то функции f(M) g(M), f(M) g(M),
f(M)/g(M) непрерывны в точке A
(отношение при g(A) 0).
133

134.

Сложная функция.
Дано: f(x1, x2, x3),
g(t1, t2)=(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2))
Определена функция
h(t1, t2)=f(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2))
g:R2 R3, h:R3 R
h=g◦f – композиция, суперпзиция
134

135.

ТЕОРЕМА 37.
Если функции
x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2) непрерывны в точке
(b1, b2),
функция f(x1, x2, x3) непрерывна в точке
a1= x1 (b1, b2), a2= x2 (b1, b2), a3= x3 (b1, b2),
ТО
функция h(t1, t2) непрерывна в точке
(b1, b2).
135

136.

ТЕОРЕМА 38. (Устойчивость знака)
Если функция f(M) непрерывна в точке A и
f(A) 0, то существует окрестность точки A,
в которой функция сохраняет знак.
136

137.

• ТЕОРЕМА 39.(Аналог теоремы о
промежуточном значении)
Пусть функция f(M) непрерывна на
СВЯЗНОМ множестве X; A,B X. Для
любого числа a, расположенного между f(A)
и f(B), существует точка C X, для которой
f(C)=a.
137

138.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 23. Замкнутое и
ограниченное множество называется
компактным.
138

139.

• ТЕОРЕМА 39. (Теорема Вейерштрасса)
Функция, непрерывная на компактном
множестве, ограниченная и достигает
наибольшего и наименьшего значений.
139

140. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

• Пусть точка M(x,y) является внутренней
точкой области определения функции f(x,y)
• Отношения
x f ( x, y ) f ( x x, y ) f ( x, y )
,
x
x
y f ( x, y ) f ( x, y y ) f ( x, y )
y
y
140

141.

• Вспомним производные!
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 24. Частной производной
функции f(x,y) в точке M(x,y) по переменной x
называется
x f ( x, y )
lim x 0
x
если предел существует.
Аналогично по y
141

142.

• Обозначения:
f f
, , f x , f y
x y
• Примеры
x
f ( x, y) arctg
• 1.
y
• 2.
f ( x, y, z) x
yz 2
142

143.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 25. Функция f(x,y)
называется дифференцируемой в точке
(x,y), если
f(x,y)=f(x+ x,y+ y) f(x,y)=
=A x+B y+ 1 x+ 2 y
A,B НЕ ЗАВИСЯТ от x, y
lim x 0, y 0 1=lim x 0, y 0 2=0
1, 2=0 при x= y=0
143

144.

• Другая форма записи.
x
2
y
2
f(x,y)=A x+B y+о( )
ЗАМЕЧАНИЕ. Из дифференцируемости
следует непрерывность.
144

145.

• ТЕОРЕМА 40. Если функция f(x,y)
дифференцируема в точке M(x,y), то в этой
точке существуют частные производные,
причем
f
f
A,
B
x
y
• ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО!
145

146.

• u(x,y) – график – поверхность.
• Что такое «касательная плоскость к
поверхности»?
• На поверхности – точка N0=(x0,y0,u0)
146

147.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 26. Плоскость , проходящая
через точку N0, называется касательной
плоскостью к поверхности, если угол
между этой плоскостью и прямой,
проходящей через точку N0 поверхности и
любую точку поверхности N1(x,y,u) N0,
стремится к 0 при N1 N0
147

148.

148

149.

• ТЕОРЕМА 41. Если функция u(x,y)
дифференцируема в точке (x0,y0), то
касательная плоскость к графику функции в
точке N0 существует и задается уравнением
u
u
u u ( x0 , y0 )
x x0
y y0
x x0 , y0
y x0 , y0
149

150.

• Нормальный вектор к плоскости
u u
n , , 1 A, B, 1
x y
150

151.

• Плоскость проходит через точку N0 .
cos
o( )
151

152.

• Достаточное условие дифференцируемости
• ТЕОРЕМА 42. Если функция f(x,y) имеет
НЕПРЕРЫВНЫЕ частные производные в
окрестности точки (x,y), то функция в этой
точке дифференцируема.
152

153.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 27. Дифференциалом
(полным) дифференцируемой функции
f(x,y) в точке (x,y) называется
f
f
f
f
df x y dx dy
x
y
x
y
• Частные дифференциалы:
f
f
d x f dx, d y f dy
x
y
153

154. Дифференцирование сложной функции

Дано: f(x1, x2, x3),
g(t1, t2)=(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2))
Определена функция
h(t1, t2)=f(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2))
g:R2 R3, f:R3 R
h=g◦f – композиция, суперпозиция
154

155.

• Точка A R2, B=g(A) R3
• ТЕОРЕМА 43.
Пусть
- функции xi(t1, t2) (i=1,2,3) дифференцируемы
в точке A,
- функция f дифференцируема в точке B.
ТОГДА
функция h дифференцируема в точке A,
155

156.

• ее частные производные равны
x
ht 1 1 t1
h
t
2 x1 t
2
x
2 t
1
x
2 t
2
g x1
x3 t1
g
x2
x
3 t2 g x
3
156

157. ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА

• h(u,v)=f(x(u,v), y(u,v))
• u,v – независимые переменные
h
h
dh du dv
u
v
h
h
dh dx dy
x
y
157

158. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

d(cu)=cdu
d(u v)=du dv
d(uv)=udv+vdu
d(u/v)=(vdu udv)/v2
158

159. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

f(x, y, z)
M0(x0,y0,z0)
Вектор l=(cos , cos , cos ) – единичный
Отложим отрезок длины t
Получим точку
M(x0+tcos ,y0+tcos ,z0+tcos )
g(t) =f(M)
159

160.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 28. Производной функции
f(x, y, z) в точке M0 по направлению вектора
l называется производная g (t) при t=0, если
она существует.
• Обозначение:
f
l
160

161.

• ТЕОРЕМА 44. Если функция f(x, y, z)
дифференцируема в точке M0 , то
производная по любому направлению
существует.
f f
f
f
cos cos cos
l x
y
z
161

162.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 29. Градиентом
дифференцируемой функции f(x, y, z) в точке
M0 называется вектор
f f f
grad f , ,
x
y
z
f
grad f , l
l
Градиент – направление наискорейшего
возрастания функции, скорость – модуль
градиента.
162

163.

• Для двух переменных
163

164. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

• Производные
f ( x, y )
f ( x, y )
x
2 f ( x, y )
x 2
2 f ( x, y )
x y
f ( x, y )
y
2 f ( x, y )
y x
2 f ( x, y )
y 2
• Пример: f(x, y) =xy
• Определяются индуктивно
164

165.

• ТЕОРЕМА 45. Если смешанные производные
2 f 2 f
,
x y y x
непрерывны, то они равны.
СЛЕДСТВИЕ. Смешанные производные не
зависят от порядка дифференцирования, если
они непрерывны.
165

166.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 30. Функция f(x,y,z)
называется n раз дифференцируемой, если
все ее частные производные (n 1)-го
порядка дифференцируемые.
166

167. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 31. Дифференциалом
второго порядка функции f(x,y) называется
d2f(x,y)=d(df(x,y)).
167

168.

f
f
d 2 f ( x, y ) d dx dy
y
x
f
f 2
f 2
f
d dx d x d dy d y
x
y
x
y
2 f
2 f
2 f
2 f
f 2
f 2
2 dx
dy dx
dx 2 dy dy d x d y
y x
y
x
y
x
x y
2 f 2 2 f
2 f
2 f 2 f 2
f 2
2 dx
dydx
dxdy 2 dy d x d y
x
y x
x y
y
x
y
2 f 2
2 f
2 f 2 f 2
f
2 dx 2
dydx 2 dy d x d 2 y
x
y x
y
x
y
168

169.

x,y НЕЗАВИСИМЫЕ
dx, dy тоже 2
2
2
f
f
f 2
2
2
d
f
dx
2
dydx
dy
Тогда
2
2
x
y x
y
Неинвариантность формы второго
дифференциала
f
d f ( x1 ,..., xn )
dxi dx j
i 1 j 1 xi x j
n
n
2
2
169

170.

• Индуктивно – дифференциалы более
высоких порядков.
f
d f ( x1 ,..., xn )
dxi dx j dxk
i 1 j 1 k 1 xi x j xk
n
n
3
n
3
• Оператор
d dx dy
x
y
2
d f dx dy f
y
x
2
170

171. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

• Для одной переменной
• (n+1) раз дифференцируемая функция F(t)
на интервале, содержащем отрезок [0,1].
n
n 1
F (0) F (0)
F (0) F
(c )
F (1) F (0)
...
1!
2!
n!
n 1 !
171

172.

• Дано:
функция f(x,y), (n+1) раз дифференцируемая в
окрестности U точки M0(x0,y0)
точка M(x0+ x,y0+ y) в этой окрестности.
F(t)=f(x0+t x,y0+t y)
То же для функции любого числа переменных.
172

173.

• ТЕОРЕМА 46. Существует точка N U, для
которой справедливо равенство
f (M ) f (M 0 )
df
M0
1!
d2 f
M0
2!
...
dn f
M0
n!
d n 1 f
N
n 1 !
Все дифференциалы вычисляются при
dx= x, dy= y.
173

174.

• В форме Пеано:
f (M ) f (M 0 )
df
M0
1!
d2 f
M0
2!
...
dn f
M0
n!
o( n )
174

175. ЛОКАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 32. Функция f(M) (M Rn)
имеет в точке M0 локальный минимум
(максимум), если существует такая
окрестность точки M0 в пределах которой
f(M) f(M0) (f(M) f(M0)).
• Локальные экстремумы это локальные
максимумы и минимумы.
175

176. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 33. Пусть A – квадратная
симметрическая матрица n-го порядка.
Функция вида
n
n
F ( x1 ,..., xn ) aij xi x j
i 1 j 1
называется квадратичной формой.
F ( x1,..., xn ) F ( x1,..., xn )
2
176

177.

• ТЕОРЕМА 47. Если функция f(M) (M Rn)
имеет в точке M0
-все частные производные
- локальный экстремум,
то
f
xi
0 (i 1,..., n)
M0
ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО! Примеры: u=x2+y2+z2,
u=x2+y2 z2
Cтационарные (критические) точки.
177

178. ВИДЫ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

• 1. Положительно определенные.
F(M)>0 при M=(x1,…, xn) 0
Пример: F(x1, x2)=x12+x22
2. Отрицательно определенные.
F(M)<0 при M=(x1,…, xn) 0
Пример: F(x1, x2)= x12 x22
ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ
178

179.

• 3. Знакопеременная
F(M)>0 при некотором M Rn
F(N)<0 при некотором N Rn
Пример: F(x1, x2)=x12 x22
4. Квазизнакоопределенные
F(M) 0 (F(M) 0) при всех M и F(M)=0 при
некотором M 0
Пример: F(x1, x2)=x12+x22 2x1x2
179

180.

• ТЕОРЕМА 48. Для положительно
определенной квадратичной формы
F(x1,x2,…, xn) существует положительное
число m такое, что
F(x1,x2,…, xn) m(x12 +x22+…+xn2 )
Для отрицательно определенных
F(x1,x2,…, xn) m(x12 +x22+…+xn2 )
180

181.

Функция f (x1,x2,…, xn) трижды
дифференцируемая в точке M0.
2 f
i 1 j 1 xi x j
n
d2 f
M0
n
dxi dx j
M0
Квадратичная форма относительно
(dx1,dx2,…,dxn)
181

182.

• ТЕОРЕМА 49. Пусть функция f(M) трижды
дифференцируемая в окрестности
стационарной точки M0.
2
d
f
Если форма
M0
- положительно определенная, то в точке M0
локальный минимум.
- отрицательно определенная, то в точке M0
локальный максимум.
- знакопеременная, то в точке M0 локального
экстремума нет.
182

183. КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА

a11
a21
a
31
a41
...
a
n1
a12
a13
a14
a22
a32
a42
...
an 2
a23
a33
a43
...
an 3
a24
a34
a44
...
an 4
... a1n
... a2 n
... a3n
... a4 n
... ...
... ann
183

184.

• Угловые миноры
• Если 1>0, 2>0,…, n>0, то кв. форма
положительно определенная
• Если 1<0, 2>0, 3<0, 4>0,…, то форма
отрицательно определенная
184

185.

• Случай двух переменных
• f(x,y), M0, df=0
2 f
2 f
2 f
A 2 , B
,C 2
x
x y
y
• ТЕОРЕМА 50. Если AC B2>0, то функция
f(x,y) имеет в точке M0 локальный экстремум
(минимум при A>0, максимум при A<0)
Если AC B2<0, то функция f(x,y) не имеет в
точке M0 локального экстремума.
185

186.

Во втором случае:
Форма Ax2+2Bxy+Cy2
A>0
При x=1, y=0 форма положительная
B
B2 2
y C
y
Ax
A
A
2
• При x= B/A, y=1 форма отрицательная
186

187.

• ПРИМЕР
• f(x,y)= x2+y2 2x 2y
187

188. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ

• Задано уравнение F(x,y,z)=0
• Например, x2+y2+z2 1=0
• z(x,y) - ? z 1 x 2 y 2
188

189.

189

190.

• Вопросы:
• При каких условиях неявная функция
существует? Непрерывная?
Дифференцируемая?
190

191.

• ТЕОРЕМА 51. Пусть
- F(x0,y0,z0)=0
-!!!
F
z
0
M0
- F дифференцируема в некоторой
окрестности точки (x0,y0,z0).
ТОГДА
191

192.

• Для любого >0 существуют окрестность
точки (x0,y0)
и непрерывная и дифференцируемая
функция z(x,y), определенная на этой
окрестности, такая, что
- F(x,y,z(x,y))=0,
- |z(x,y) z0|<
192

193.

• Частные производные
F(x,y,z)=0
F
z
x
F
x
z
F
z
y
F
y
z
Пример. xyz=sin(x+y+z)
193

194.

• Для двух переменных
F(x,y)=0
F
0
y
F
dy
x
F
dx
y
Пример. sin(x2+y2)=exy
194

195.

• Касательная плоскость к поверхности,
заданной уравнением F(x,y,z)=0 в точке
M0(x0,y0,z0).
• Полагаем grad F(M0) 0
• Уравнение касательной плоскости
F
x
F
x x0
y
M0
F
y y0
z
M0
z z0 0
M0
195

196.

• Градиент – нормальный вектор к
касательной плоскости (к поверхности)
grad F (M ), M M 0
0
0
• Поверхности уровня
• Линии уровня
196

197. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

• Даны:
• - функция
• - условие связи.
Требуется найти
• Экстремум в точках, координаты которых
удовлетворяют условию связи
197

198.

• Пример.
• z=x2+y2
• Условие связи: x+y=1
198

199.

199

200.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 34. Говорят, что функция
F(x,y,z) достигает в точке M0(x0,y0,z0) условный
максимум (минимум) при условии связи
g(x,y,z)=0, если
- g(x0,y0,z0)=0
- существует окрестность U точки M0 такая, что
для любой точки (x,y,z) U, для которой
g(x,y,z)=0, справедливо неравенство
F(x,y,z) F(x0,y0,z0) (F(x,y,z) F(x0,y0,z0)).
200

201.

• ТЕОРЕМА 52. Если в точке M0(x0,y0,z0)
достигается условный экстремум функции
F(x,y,z) при уравнении связи g(x,y,z)=0 и при
этом grad g(M0) 0, то
grad g(M0) | | grad F(M0),
т.е. существует число такое, что
grad F(M0)+ grad g(M0)=0.
201

202.

• (x,y,z, )=F(x,y,z)+ g(x,y,z) – функция
Лагранжа,
• - множитель Лагранжа
• Уравнения Лагранжа – НЕОБХОДИМЫЕ
условия условного экстремума:
0
x y z
202

203.

• ПРИМЕР
• z=x2 y2
• x2+y2=1
203

204.

• В многомерном случае
F(x1,x2,…, xn) – целевая функция
• Уравнения связи
gi(x1,x2,…, xn)=0 (i=1,2,…,k), k<n
204

205.

• (x1,x2,…, xn, 1, 2,…, k)=
k
=F(x1,x2,…, xn) +
g ( x ,..., x )
i 1
i
i
1
k
– функция Лагранжа
205

206.

• Необходимые условия экстремума –
уравнения Лагранжа
0 j 1,..., n
x j
0 i 1,..., k
i
• (n+k) уравнений с (n+k) неизвестными
206

207. Двойной интеграл

Объем криволинейного цилиндра
Функция z=f(x,y)>0
Область D на плоскости
Объем цилиндра (простого) мы знаем
207

208.

Пусть область D прямоугольник [a,b] [c,d]
4 этапа
1. Разбиение на малые прямоугольники
2. Выбор точек
3. Нахождение интегральной суммы
4. Переход к пределу
208

209.

• 1.
• Выбираем точки a=x0<x1<…<xn=b
xi=xi xi 1 (i=1,…,n)
Выбираем точки c=y0<y1<…<ym=d
yj=yj yj 1 (j=1,…,m)
Разбиение - прямоугольнички Dij со
сторонами xi, yj
Площадь Sij= xi yj
(nm штук)
209

210.

• 2. В каждом прямоугольничке – точки
Mij=( ij, ij)
210

211.

• 3. Интегральная сумма
f ij , ij Sij
n
m
i 1 j 1
• Приближение к объему…
• Диаметр Dij равен xi 2 y j 2
max
xi 2 y j 2
211

212.

• 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 35. Двойным интегралом
называется
I lim 0 ,
если он существует.
Обозначения:
f ( x, y )dxdy,
D
f (M )dS
D
Функция называется интегрируемой.
212

213.

• ЗАМЕЧАНИЕ. Интегрируемая функция
ограниченная
• Вопросы:
• Когда двойной интеграл существует?
• Если существует, как его вычислять?
1dxdy
D
213

214.

• ТЕОРЕМА 53. Если функция f(x,y)
непрерывна в области D, то двойной
интеграл существует.
• Если ограниченная функция непрерывна во
всех точках области D кроме точек,
расположенных на некоторой спрямляемой
кривой (или нескольких спрямляемых
кривых), то функция интегрируема.
214

215.

• ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ПРОИЗВОЛЬНОЙ
ОБЛАСТИ D, ОГРАНИЧЕННОЙ ОДНОЙ ИЛИ
НЕСКОЛЬКИМИ СПРЯМЛЯЕМЫМИ
КРИВЫМИ
• Строим прямоугольник D D
• Определим функцию
( x, y ) D
f ( x, y ) при
F ( x, y )
при ( x, y ) D \ D
0
215

216.

• 1. Разбиение области произвольными
спрямляемыми кривыми. Получаем
подобласти Di с площадями Si (i=1,…,n)
• 2. Выбираем точки Mi Di
• 3. Интегральная сумма
n
f ( M i ) Si
i 1
216

217.

4. Диаметр области Di
diam (Di)=sup{ (x,y):x,y Di}
=max{diam (Di)}
f ( x, y)dxdy lim
0
D
217

218.

• Замечание. Определения двойного
интеграла в старом и новом смысле
эквивалентны.
218

219. Свойства двойных интегралов

• 1. Аддитивность
Если функция f(x,y) интегрируема по
области D и область разбита спрямляемой
кривой на две области D1, D2 без общих
внутренних точек, то f(x,y) интегрируема
по обеим областям D1, D2
f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy
D
D1
D2
219

220.

2. Линейность
f g dxdy fdxdy gdxdy
D
D
D
Здесь f,g – функции
, – числа
220

221.

• 3. Произведение интегрируемых функций
является интегрируемой функцией.
221

222.

4. Если f и g – функции, интегрируемые в D и
f g, то
fdxdy gdxdy
D
D
222

223.

5. Если функция f интегрируема в области D,
то функция |f| - также интегрируема в
области D и
f dxdy
D
f dxdy
D
223

224.

6. Если функция f интегрируема в области D,
U=sup {f (M ): M D},
V=inf {f (M ): M D},
то существует число [V,U], для которого
fdxdy S D .
D
S(D) – площадь области
224

225.

7. Если функция f непрерывна в связной
области D, то существует точка M D, для
которой
fdxdy f (M )S D .
D
225

226. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

• На прямоугольнике [a,b] [c,d]
d
• Определим функцию I ( x) f ( x, y )dy
c
226

227.

• К доказательству
• 1.
• Выбираем точки a=x0<x1<…<xn=b
xi=xi xi 1 (i=1,…,n)
Выбираем точки c=y0<y1<…<ym=d
yj=yj yj 1 (j=1,…,m)
• Разбиение на прямоугольнички
227

228.

• 2. В каждом прямоугольничке – точки
Mij=( ij, ij)
• ТЕПЕРЬ
– Выбираем точки i [xi 1, xi], j [yj 1, yj]
– Полагаем ij= i, ij= j
228

229.

• 3.
f i , j xi y j
n
m
i 1 j 1
xi f i , j y j
n
m
i 1
j 1
229

230.

• 4. Сначала устремляем к 0
max{ yj}
f , y
d
m
j 1
i
j
j
f i , y dy I i
c
n
I x
i 1
i
i
230

231.

• Теперь устремляем к 0
max{ xi}
b
n
I x I ( x)dx
i 1
i
i
a
231

232.

• ПРИМЕРЫ
1. x 2 y 2 dxdy, D : 0,1 0,1
D
2. e
2 x y
dxdy, D : 1, 1,
D
232

233.

• Вычисление интеграла по произвольной
области
• ТЕОРЕМА 55. Пусть функция f(x,y)
интегрируема в области D, ограниченной
прямыми x=a, x=b и графиками функций
y=g(x), y=h(x) (g(x) h(x)).
Если при любом x [a, b] существует
h( x)
I ( x)
g( x )
f ( x, y)dy
233

234.

и
b
I ( x)dx
существует, то
a
b
b
h( x)
f ( x, y)dxdy I ( x)dx dx
D
a
a
f ( x, y)dy
g ( x)
Можно интегрировать в другом порядке!
234

235.

• Пример.
x R
2
2
y
2
3/2
dxdy, D : x y R
2
2
2
D
235

236.

• Можно разбить на части:
• Кольцо
236

237. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ

• Отображение
(x(u,v), y(u,v))
- Взаимно однозначно отображает область D
плоскости (u,v) на область D плоскости
(x,y).
- Функции x(u,v), y(u,v) непрерывно
дифференцируемые.
237

238.

• Матрица Якоби:
xu xv
y y
v
u
• Якобиан:
xu
D ( x, y )
det
D(u , v)
yu
xv
yv
238

239.

• Полагаем, что якобиан всюду отличен от 0.
• Разбиваем область D на прямоугольнички
прямыми u=const, v=const.
• Соответственно область D разбивается на
области, близкие к параллелограммам
239

240.

• Пусть левый нижний угол прямоугольника
(u,v), стороны u, v.
Вершины “почти параллелограмма”
A(x(u,v), y(u,v))
B(x(u+ u,v), y (u+ u,v))
C(x(u,v+ v), y (u,v+ v))
240

241.

• Площадь:
AB AC abs
x
u
u
abs
x
v
v
x(u u , v) x(u, v)
y (u u, v) y (u, v)
x(u , v v) x(u , v)
y (u, v v) y (u , v)
y
u
D ( x, y )
u
u v abs
y
D
(
u
,
v
)
v
v
• Модуль якобиана – коэффициент искажения
площади, знак связан с ориентацией
241

242.

• Функция f(x,y) интегрируемая на D.
• Обозначение:
f (u, v) f ( x(u, v), y(u, v))
• Интегральная сумма
D ( x, y )
f ( M i j ) S ( Di j ) f ( M ij )
ui v j
D(r , )
i
j
i
j
• Диаметры областей связаны неравенствами
a diam( Dij ) diam( Dij ) b diam( Dij )
242

243.

• Переходя к пределу при max{diam Dij} 0,
получаем:
f ( x, y)dxdy
D
D
D ( x, y )
f (u, v)
dudv
D(u , v)
243

244.

• Полярные координаты
• x=r cos , y=r sin
D( x, y)
r
D( r , )
• ПРИМЕР
1 x y dxdy, D : x y 1, x 0, y 0
2
2
2
2
D
244

245.

• ПРИМЕР (интеграл Эйлера-Пуассона)
e
x2
dx
245

246. ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

• На плоскости xy – область D
• Поверхность задана уравнением z(x,y)
((x,y) D)
246

247.

1. Область D разбиваем на части Di с
площадями Si (i=1,…,n)
2. Выбираем точки Pi Di
В каждой точке Mi(Pi ,f (Pi)) проводим
касательную плоскость к поверхности
i – площадь области на касательной
плоскости, проекция которой совпадает с
Di.
247

248.

248

249.

249

250.

• 3. Находим
n
i 1
i
=max{diam (Di )}
• 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 37. Площадью
поверхности называется
n
( ) lim 0 i
i 1
250

251.

• Вычисление
i – угол между нормалью к поверхности в
точке Mi и осью z
i = Si /|cos i|
z
z
Вектор нормали: , , 1 (в точке Pi)
x y
Вектор k= (0,0,1)
251

252.

2
z z
i 1 Si
x y
2
( )
D
2
z z
1 dxdy
x y
2
252

253.

• ПРИМЕРЫ
• 1. Площадь сферы x2+y2+z2=R2
• 2. Площадь части цилиндра x2+y2=a2,
которая вырезается цилиндром x2+z2=a2
253

254.

254

255. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

• Вектор-функция скалярного аргумента t
r(t ) x(t ), y(t ), z (t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
• Если вектора отложить от начала
координат, то концы векторов пробегают
кривую – годограф вектор-функции.
255

256.

• Предел вектор-функции (совпадает с
покоординатным)
• Непрерывность
• Производная r (t ) , если не равна 0,
направлена по касательной к годографу.
256

257.

• Правила дифференцирования
• 1. Производная постоянной векторфункции равна 0.
• 2. Производная суммы равна сумме
производных.
• 3. u(t )r(t ) u (t )r(t ) u(t )r (t )
(u(t) – скалярная функция)
257

258.

• 4. (частный случай)
kr(t ) kr (t )
• 5. r1 (t ), r2 (t ) r1 (t ), r2 (t ) r1 (t ), r2 (t )
• 6. r1 (t ), r2 (t ) r1 (t ), r2 (t ) r1 (t ), r2 (t )
d
r
d
r
dt
7. Если t=t( ), то
d dt d
направление
касательной не зависит от параметризации
258

259.

• Если r (t ) 0,
то плоскость, проходящая через точку
r (t ) и параллельная векторам
годографа
r (t ), r (t )
называется соприкасающейся плоскостью к
кривой.
259

260.

• Особые точки – точки, в которых
r (t ) 0 или не существует
260