Многокритериальные задачи (лекция 6)

1.

ТЕОРИЯ
ПРИНЯТИЯ
РЕШЕНИЙ
Лекция 6. Многокритериальные задачи

2.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. МЕТОД РАНЖИРОВАНИЯ
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ
(ELECTRE)
Исходные данные
1.Перечень критериев С1...Сn;
2.Перечень альтернатив А1…Аm;
3. Количественные оценки альтернатив по
критериям aij, i=1..n, j=1..m.
Критерии
C1
…
Cn
Альтернативы
А1
a11
…
am1
…
…
…
…
Аm
a1m
…
anm

3.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. МЕТОД РАНЖИРОВАНИЯ
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ
(ELECTRE)
Отличие от метода АНР:
Определяется не количественный показатель
качества, а лишь условие превосходства одной
альтернативы над другой.
Суть метода:
Упорядочить альтернативы по степени их
предпочтения (Выделить группу лучших
альтернатив).

4.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. МЕТОД РАНЖИРОВАНИЯ
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ
(ELECTRE)
Алгоритм:
1.
2.
Эксперт устанавливает важность (вес) wi i=1..n
каждого критерия – это целое положительное
число (например, число голосов жюри).
Выдвигается
гипотеза
о
превосходстве
альтернативы А1 над А2.
Множество I
I+
II=

5.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. МЕТОД РАНЖИРОВАНИЯ
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ
(ELECTRE)
Алгоритм:
3. Формируется таблица индексов согласия с выдвинутой
гипотезой. Индекс согласия ZA1A2 определяет степень
превосходства альтернативы А1 над А2:
Таблица 1. Индексы согласия
w
Z A1 A 2 i Im , I
wi
i 1
i
А1
А2
…
Аm
А1
*
z21
…
zm1
А2
z12
*
…
zm2
…
…
…
…
…
Аm
z1m
z2m
…
*
0 ≤ ZA1A2 ≤ 1, ZA1A2 = 1, если I- - пустое множество

6.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. МЕТОД РАНЖИРОВАНИЯ
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ
(ELECTRE)
Алгоритм:
4. Формируется
таблица
индексов
несогласия,
определяющая степень отрицания гипотезы о
превосходстве альтернативы А1 над А2:
| i1 i 2 |
u A1 A 2( i )
,i I
Li
где L – длина шкалы i-го критерия из множества I-.
Окончательно индекс несогласия выбирается как
максимальный из возможных:
u A1 A 2 max u A1 A 2 (i )

7.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. МЕТОД РАНЖИРОВАНИЯ
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ
(ELECTRE)
o Алгоритм:
Таблица 2. Индексы несогласия
А1
А2
…
Аm
А1
*
u21
…
um1
А2
u12
*
…
um2
…
…
…
…
…
Аm
u1m
u2m
…
*

8.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. МЕТОД РАНЖИРОВАНИЯ
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ
(ELECTRE)
Алгоритм:
5.
а) Устанавливаются z(1) и u(1);
б) Сравнение индексов с z(1) и u(1);
z A1 A2 z (1)
u A1 A2 u (1)
Альтернативы
эквивалентны
Альтернатива А1
Альтернатива А2
(доминирующая)
(доминируемая)
Первое ядро
недоминируемых
альтернатив

9.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. МЕТОД РАНЖИРОВАНИЯ
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ
(ELECTRE)
Алгоритм:
6. Ослабляются
требования
к
предпочтению
альтернатив
a) уменьшается
предельное значение индекса
согласия до величины Z(2);
b) увеличивается
предельное значение индекса
несогласия до величины u(2);
c) Формируется
второе ядро недоминируемых
альтернатив;
Окончательное
количество
итераций
определяется аналитиком. В последнее ядро
входят
наилучшие
альтернативы,
а
последовательность
ядер
соответствует
упорядочению альтернатив по предпочтению.

10.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. МЕТОД РАНЖИРОВАНИЯ
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ
(ELECTRE). ПРИМЕР. ПОСТРОЙКА АЭРОПОРТА
Таблица 3. Количественная оценка
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
С1(млн)
180
170
160
150
С2(мин)
70
40
55
50
С3(тыс. чел)
10
15
20
25
С1 – стоимость постройки;
С2 – удаленность от центра города;
С3 – уровень шумового воздействия на жителей.
Длины шкал заданы и равны: L1=100, L2=50, L3=45

11.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. МЕТОД РАНЖИРОВАНИЯ
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ
(ELECTRE). ПРИМЕР. ПОСТРОЙКА АЭРОПОРТА
1.
Эксперты расставляют веса критериев
3
w1 3, w2 2, w3 1 wi 6
i 1
2.
Строим таблицу индексов согласия
Таблица 4. Пример. Индексы согласия
Z
1
2
3
4
1
*
5/6
5/6
5/6
2
1/6
*
3/6
3/6
3
1/6
3/6
*
5/6
1
3 2
5
Z12 , Z 21
6
6
6
4
1/6
3/6
1/6
*

12.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. МЕТОД РАНЖИРОВАНИЯ
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ
(ELECTRE). ПРИМЕР. ПОСТРОЙКА АЭРОПОРТА
3.
Строим таблицу индексов несогласия
Таблица 5. Пример. Индексы несогласия
U
1
2
3
4
1
*
1/9
2/9
1/3
2
3/5
*
3/10
2/9
3
3/10
1/10
*
1/9
4
2/5
1/5
1/10
*
| 11 12 | 180 170 1
| 21 22 | 70 40 3
u12(1)
u12( 2)
L1
100
10
L2
50
5
| 31 32 | 10 15 1
u12(3)
L3
45
9
max( u12(1) , u12( 2) , u12(3) ) u12( 2)
3
5

13.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. МЕТОД РАНЖИРОВАНИЯ
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ
(ELECTRE). ПРИМЕР. ПОСТРОЙКА АЭРОПОРТА
4.
Устанавливаем предельные значения
Z(1) = 5/6 и u(1) = 1/9.
1 5
z12 z (1) 6 6
Альтернатива 2
Альтернатива 1
(доминирующая)
(доминируемая)
u
u
(
1
)
3
1
12
5 9
и т.д …………………………………………. Альтернатива 3
(доминируемая)
Первое ядро
1и3

14.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. МЕТОД РАНЖИРОВАНИЯ
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ
(ELECTRE). ПРИМЕР. ПОСТРОЙКА АЭРОПОРТА
5.
Ослабляем предельные значения
Z(2) = 1/2 и u(2) = 1/5.
Второе ядро
4
ВЫВОД:
Лучшей является альтернатива 2, затем 4, затем
1 и 3.