Метод найменших квадратів наближення функцій

1. Черкаський державний технологічний університет

Тема: «Метод найменших квадратів
наближення функцій»
Дисципліна
“Інформаційні технології
аналізу систем”
Лекція 12-13
Викладач: Герасименко І. В.
© проф. Триус Ю.В.

2. Питання:

1. Постановка задачі наближення функцій.
2. Геометричний смисл задачі наближення функцій
за методом найменших квадратів (МНК).
3. Лінійне і квадратичне наближення за МНК.
4. Приклади наближення функцій за МНК.
5. Функції нелінійної регресії.
6. Засоби наближення функцій в системах
комп’ютерної математики.

3. 1. Постановка задачі наближеня функцій.

Дуже часто, особливо при аналізі емпіричних даних
виникає необхідність знайти в явному вигляді
функціональну залежність між величинами x та y , що
одержані в результаті вимірювань або спостережень.
При аналітичному дослідженні взаємозв’язку між двома
величинами x та y здійснюють ряд спостережень і в
результаті одержується таблиця значень:

4. 1. Постановка задачі наближення функцій.

5. 1. Постановка задачі наближення функцій.

6. 1. Постановка задачі наближення функцій.

7. 2. Геометричний смисл задачі наближення функцій за методом найменших квадратів (МНК).

yi
Рис.1.

8. 3. Лінійне і квадратичне наближення за МНК

3.1. Лінійне наближення
Розглянемо наближення функції за допомогою
лінійної функції за МНК. Тоді за формулою (2)
треба розв’язати задачу мінімізації виду:
n
S (a, b) (axi b yi ) 2 min .
i 1
Скориставшись для визначення невідомих
коефіцієнтів a,b необхідними умовами екстремуму
для функції від 2-х змінних, отримуємо таку систему
лінійних рівнянь:

9. 3. Лінійне і квадратичне наближення за МНК

3.1. Лінійне наближення
(3)
(4)
Розв’язавши цю систему відносно a і b, одержимо
явний вигляд лінійної функції наближення:
f ( x, a, b) ax b

10. Приклад лінійного наближення

Приклад 1.
Нехай дослідним шляхом знайдено таблицю значень
певної залежності. За допомогою МНК знайти лінійну
функцію, яка якнайкраще наближає шукану
залежність.
x
1
2
3
4
5
6
y
5,2
6,3
7,1
8,5
9,2
10,0

11. Приклад лінійного наближення

Розв’язування. Для розв’язування скористаємося
одержаними раніше формулами:
(4)
(3)
Для зручності занесемо результати проміжних обрахунків
у таблицю:
6
x
1
2
3
4
5
6
xi
i 1
y
6
yi
i 1
6
y i xi
i 1
6
x
i 1
2
i
5,2 6,3 7,1 8,5 9,2 10,0 21 46,3 179,1 91

12. Приклад лінійного наближення

Розв’язування. (продовження)
(4)
(3)
6
x
1
2
3
4
5
6
xi
i 1
y
6
yi
i 1
6
y i xi
i 1
6
x
i 1
2
i
5,2 6,3 7,1 8,5 9,2 10,0 21 46,3 179,1 91
Підставивши знайдені величини у рівняння (3), (4)
одержимо систему рівнянь:
91a+21b=179,1,
Звідси a=0,974, b=4,307
21a+6b=46,3.
Тоді f(x)=0,974x+4,307

13.

14.

15. 3. Лінійне і квадратичне наближення за МНК

3.2. Квадратичне наближення
Розглянемо наближення функції за допомогою
квадратного тричлена за МНК. Тоді за формулою
(2) треба розв’язати задачу мінімізації виду:
n
S (a, b, c) (axi2 bxi c yi ) 2 min .
(5)
i 1
Скориставшись для визначення невідомих
коефіцієнтів a,b,c необхідними умовами екстремуму
для функції від 3-х змінних, отримуємо таку систему
лінійних рівнянь:

16. 3. Лінійне і квадратичне наближення за МНК

3.2. Квадратичне наближення
n
n
n
n
a xi4 b xi3 c xi2 y i xi2
i 1
i 1
n
n
i 1
n
i 1
n
a x b x c xi y i xi
i 1
3
i
2
i
i 1
n
n
i 1
i 1
i 1
(7)
i 1
n
a x b xi cn y i
2
i
(6)
i 1
(8)

17.

18.

19. 3. Лінійне і квадратичне наближення за МНК

3.3. Поліноміальне наближення
Розглянемо наближення функції за
допомогою поліному m-го степеня за МНК.

20. 5. Функції нелінійної регресії

Враховуючи специфіку одержаної в
результаті спостережень або вимірювань
залежності, в якості апроксимуючої функції
обирати різні функції, зокрема:

21. Ваші запитання

8(0472) 730271
[email protected]
Дякую за увагу!