Предел функции и непрерывность функции

1.

Предел функции

2.

Определение
• Пусть функция f, принимающая действительные
значения, определена в некоторой окрестности
точки x0, кроме, быть может, самой точки x0.
• Функция f имеет предел в точке x0,
если для любой последовательности точек xn,
n = 1, 2,..., xn ≠ x0, стремящейся к точке x0,
последовательность значений функции f (xn) сходится
к одному и тому же числу А,
которое и называется пределом функции f в
точке x0, (или при x → x0) при этом пишется
lim f ( x) A
x x0
у
А
О
х0
х

3.

Предел функции
Все основные элементарные функции: постоянные,
• степенная функция (хα),
• показательная функция (ax),
• тригонометрические функции (sinx, cosx, tgx и ctgx)
• обратные тригонометрические функции
(arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx)
во всех внутренних точках своих областей определения имеют
пределы, совпадающие с их значениями в этих точках.

4.

Примеры функций,
имеющих предел в точке
у= x2
lim у 4
x 2
Предел функции
при x → 2 равен 4
(при x → 2 значения
функции → 4).
Предел функций при x → 0 равен 0.

5.

Примеры функций,
не имеющих предел в точке
у
О
а
у
у
А
1
О
х
х
-1
О
а
х

6.

Свойства предела функции в точке
Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a,
причем
То
если B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в δ-окрестности точки a.

7.

Вычисление предела функции в точке
Сначала просто пытаемся подставить число в функцию
lim ( x 2 5x 8) 9 15 8 2
x 3
Найдем
x2 5x 8
lim 2
.
x 3 x x 4
Предел числителя
lim ( x 2 5x 8) 9 15 8 2
x 3
Предел знаменателя
lim ( x 2 x 4) 9 3 4 10
x 3
.
Используя теорему о пределе частного, получим
lim ( x 2 5 x 8)
x 5 x 8 x 3
2 1
lim 2
.
2
x 3 x x 4
lim ( x x 4) 10 5
2
x 3

8.

Вычисление предела функции в точке
Найдем
x 2 5x 8
lim
.
x 3
x 3
Предел числителя
lim ( x 2 5x 8) 9 15 8 2
x 3
Предел знаменателя равен нулю, поэтому теорему о пределе частного
применять нельзя.
Величина 1/(x-3) является бесконечно большой величиной при x→3.
Тогда
x 2 5x 8
lim
.
x 3
x 3

9.

Раскрытие неопределенности
• При нахождении предела иногда сталкиваются с
неопределенностями вида
0
0
0
, , ( ), (1 ), (0 ), (0 )( ).
0
• Отыскание предела в таких случаях называется
раскрытием неопределенности.

10.

Раскрытие неопределенности
Для того, чтобы раскрыть неопределенность
необходимо разделить числитель и знаменатель на х в
старшей степени.
Пример 1.
Разделим числитель и знаменатель на х2

11.

Раскрытие неопределенности
Пример 2.
Разделим числитель и знаменатель на х4

12.

Раскрытие неопределенности
Пример 3.
Разделим числитель и знаменатель на х2
подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а
деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности
может получиться конечное число, ноль или
бесконечность.

13.

Раскрытие неопределенности
Пример 1.
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так называемая неопределенность 0/0
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и
имеется неопределенность вида 0/0, то для ее раскрытия нужно разложить
числитель и знаменатель на множители.
Очевидно, что можно сократить на (х+1)
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

14.

Раскрытие неопределенности
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Пример 2.
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела это
первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела.
Получена неопределенность вида
0/0 , которую нужно устранять
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или
корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия
неопределенности используют метод умножения числителя и
знаменателя на сопряженное выражение.

15.

Замечательные пределы
• первый замечательный предел
sin x
lim
1;
x 0
x
• второй замечательный предел
х
1
1
lim 1 lim (1 x ) x e.
x
x 0
x

16.

Замечательные пределы
Пример 1.
sin( 2 x)
0
lim
( )
x 0
x
0
2 sin( 2 x)
sin( 2 x)
lim
2 lim
x 0
x 0
2x
2x
2 1 2.
Пример 2.
е
4
3

17.

Односторонние пределы
Предел функции слева
• Число A1 называется пределом
у
функции f (x) слева в точке a, если для
любой последовательности
точек xn,n = 1,,...,п xn < x0, стремяА1
щейся к точке x0, последовательf(xn)
ность значений функции f (xn)
О
сходится к одному и тому же
числу A1 .
• При х приближающихся к а слева,
значения функции стремятся к А1
х
xn а
lim f ( x) A
х а 0
1

18.

Предел функции справа
• Число A2 называется пределом
функции f (x) справа в точке a, если
для любой последовательности
точек xn,n = 1,,...,п xn > x0, стремящейся к точке x0, последовательность значений функции f (xn)
сходится к одному и тому же
числу A2 .
• При х приближающихся к а справа,
значения функции стремятся к А2
• Функция, определённая в некоторой
окрестности точки, имеет предел в
точке, если её предел справа равен
пределу слева.
у
f(xn)
А2
О
а
xn
х
а
х
lim f ( x) A
2
х а 0
у
А
О

19.

Пример 1.
у
1
О
х
-1
lim у 1
Пример 2.
lim у 0
х 0
lim у 0
х 0
х 0 0
lim у 1
х 0 0

20.

Непрерывность
функции

21.

Непрерывность функции в точке
• Функция f (x), определенная в некоторой окрестности
точки a, называется непрерывной в этой точке,
если предел функции в точке а равен значению функции
в точке а:
у
А
О
а
х

22.

Точка разрыва функции
• Пусть функция определена в некоторой окрестности
точки a, быть может, за исключением самой точки a.
• Точка a называется точкой разрыва, если эта функция
либо не определена в точке a, либо определена, но не
является непрерывной в точке a.
у
О
х
у
у
А
О
а
А
а
х
О
а
х

23.

Таким образом, можно сказать, что функция
непрерывна в точке а, если выполнены 3 условия:
1.Функция определена в точке а и в некоторой её
окрестности;
2.Функция имеет предел при x → а;
3.Этот предел равен значению функции в точке а.
Например, функции изображённые на рисунке не
являются непрерывными

24.

Непрерывность функции на отрезке
• Функцию f (x) называют непрерывной на отрезке
[a; b], если она непрерывна в каждой точке
интервала (a; b) и, кроме того, непрерывна справа в
точке a и слева в точке b.
Теорема Вейерштрасса.
• Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то она
ограничена на этом отрезке и достигает своего
наибольшего и наименьшего значения.
у
В
А
О
а
в
х

25.

Пример 1. Установите непрерывность
функции на интервале (-∞;+∞)
x, если х 0,
f ( x)
x, если х 0
у
lim f ( x) lim x 0
1
lim f ( x) lim x 0
О
x 0
x 0
x 0
x 0
f (0) 0
lim f ( x) lim f ( x) f (0)
x 0
x 0
Функция непрерывна на (-∞;+∞).
х
-1

26.

Пример 2. Установите непрерывность
функции на интервале (-∞;+∞)
x, если х 1,
f ( x)
x, если х 1
lim f ( x) lim x 1
x 1
x 1
lim f ( x) lim x 1
x 1
x 1
f (1) 1
lim f ( x) lim f ( x)
x 1
x 1
Функция не является непрерывной на (-∞;+∞).
Разрыв в точке х=1
у
1
х
О
-1

27.

Пример 3. Установите непрерывность
функции на интервале (-∞;+∞)
x 2, если х 2,
2
f ( x) x , если 2 х 2,
х 2, если х 2
у
lim f ( x) lim x 2 4
x 2
-2
О 12
x 2
lim f ( x) lim x 2 4
x 2
x 2
f ( 2) 4
lim f ( x) lim f ( x) f ( 2)
x 2
x 2
Функция непрерывна в точке х=-2
lim f ( x) lim x 2 0
x 2
x 2
lim f ( x) lim x 2 4
x 2
x 2
lim f ( x) lim f ( x)
x 2
x 2
Функция не является непрерывной на
(-∞;+∞). Разрыв в точке х=2
х

28.

Пример 4. Установите непрерывность
функции на интервале (-∞;+∞)
6
х , если х 2,
х 1, если 2 х 2,
f ( x)
1
, если х 2
х 1
lim f ( x) lim х 1 3
x 2
-2 О 1 2
x 2
6
lim f ( x) lim 3
x 2
x 2 х
f ( 2) 3
lim f ( x) lim f ( x) f ( 2)
x 2
у
x 2
Функция непрерывна в точке х=-2
Разрыв в точке х=2, так как
функция в точке х=2 не
определена.
Функция не является непрерывной на (-∞;+∞).
х

29.

Классификацию точек разрыва
функций

30.

Классификацию точек разрыва
функций
f ( x) А ,
2. Если в точке х0: lim
f ( x) lim
x x0 0
x x0 0
но в точке х0 функция либо не определена, либо
то эта точка является точкой устранимого разрыва.
f ( х0 ) lim
x x0
f ( x)
(если доопределить или видоизменить функцию , положив
f ( x0 ) lim f ( x) lim f ( x),
x x0 0
x x0 0
то получится непрерывная в точке функция)
у
-2
О
1
2
Например,
на рисунке изображена
функция, имеющая разрыв 1х го рода, точку устранимого
разрыва в точке х=2

31.

Классификацию точек разрыва
функций
3. Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва
первого рода или точкой устранимого разрыва, является
точкой разрыва второго рода.
Очевидно, что точки разрыва второго рода - это точки, в
которых функция стремится к бесконечности.
1
в точке х=1 имеет разрыв 2-го рода.
x 1
Например, на рисунке изображена
функция, имеющая разрыв 2-го рода,
в точке х=-2
Например, y

32.

Пример 1.
Исследовать на непрерывность функцию и определить
характер точек разрыва:
х 2 , если х 0
у
х 1, если х 0
• Решение:
Эта функция может претерпевать разрыв только в точке 0,
где происходит переход от одного аналитического выражения
к другому, а в остальных точках области определения функция
непрерывна.
lim f ( x) lim x 2 0,
x 0
x 0
f (0) 0,
lim f ( x) lim ( x 1) 1.
x 0
x 0
Таким образом, в точке х=0 функция претерпевает разрыв
1-го рода со скачком 1.

33.

Пример 2
1
1 x
Исследовать на непрерывность функцию f ( x) 3
и определить характер точек разрыва:
Решение:
Как элементарная функция она всюду непрерывна, кроме
точки х=1.
1
1
1
,
1
lim 3 1 x 3 1 1 0 3 0 3
x 1 0
lim 3
x 1 0
1
1 x
3
1
1 1 0
3
0
3
Имеем разрыв 2-го рода с бесконечным скачком в точке х=1.

34.

Домашнее задание
1. Установите непрерывность функции на интервале (-∞;+∞)
x 2 3x 5, если x 2
f ( x)
4 x 5, если x 2
2. Найти пределы: