Предел функции. Непрерывность

1. Лекция 2. Предел функции. Непрерывность.

План лекции:
1. Предел функции. Теоремы о пределах
функции.
2. Замечательные пределы. Раскрытие
неопределенностей.
3. Непрерывность функции.
4. Классификация точек разрыва.

2. 1. Предел функции. Теоремы о пределах функции.

Опр. 1. Число А называется пределом функции
f(x) в точке х=а, если для каждого
положительного наперед заданного сколь
угодно малого числа >0 найдется такое
положительное число 0 , что для всех х,
отличных от а и удовлетворяющих
неравенству х а выполняется
неравенство: f ( x) A .

3.

Число зависит от , при
уменьшении уменьшается и .
Если А – это предел f(x) в точке х=а,
то обозначают
lim f x A.
x a

4. Пример 1.

• а) Вычислите предел:
4
x 4x 2 4 2 4
lim
x 2 6 x 1
13
13
6 2 1
2
2
• б) Вычислите следующий предел:
0
2 sin x
2 sin 0
0
lim
x 0 cos 3 x
1
cos 0

5. Бесконечно большие величины. Ограниченные функции. Бесконечно малые величины и их свойства.

1
lim
x 0 x
- бесконечно
большая величина
Переменная величина х
называется
бесконечно
большой, если в процессе
изменения ее абсолютная
величина
х становится и
остается
больше
любого
наперед заданного как угодно
большого
положительного
числа N>0: х >N.
Переменная х называется
бесконечно малой, если в
процессе
изменения
ее
абсолютная
величина
х
становится и остается меньше
наперед заданного как угодно
малого положительного числа
, т.е. начиная с некоторого
момента
выполняется
неравенство х .
lim
y
1
0
y
- бесконечно
малая величина

6. Основные теоремы о бесконечно малых.

• 1. Алгебраическая
сумма любого
конечного числа
бесконечно малых
есть также величина
бесконечно малая.
• 2. Произведение
бесконечно малой на
величину
ограниченную есть
также величина
бесконечно малая.
• Следствие 1: Произведение
бесконечно малой на величину
постоянную, есть бесконечно
малая.
• Следствие 2: Произведение
конечного числа бесконечно
малых величин есть
бесконечно малая величина.
• Следствие 3: Частное от
деления бесконечно малой
величины на величину
имеющую предел, отличный от
нуля, есть также бесконечно
малая величина.

7. Теоремы о пределах.

• Теорема 1. Предел
алгебраической
суммы конечного
числа слагаемых
равен сумме
пределов этих
слагаемых.
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x).
х а
х а
х а
Теорема 2. Предел
произведения
любого конечного
количества
сомножителей равен
произведению их
пределов.
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x).
х а
х а
х а

8. Теорема 3. Предел частного двух переменных равен частному их пределов, если только предел знаменателя отличен от нуля.

f ( x)
lim
f ( x)
х а
.
lim
х а g ( x)
lim g ( x)
х а
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить
за знак предела:
lim Cf ( x) C lim f ( x)
x a
x a
Следствие 2. Предел степени переменной равен той
же степени предела переменной:
n
lim f ( x)
x a
n
lim f ( x)
x a

9. Замечательные пределы

10.

Теорема 4. Предел
отношения
синуса
бесконечно
малой
дуги к самой дуге,
выраженной
в
радианах, равен 1:
sin x
1.
lim
x
x 0
Этот
предел
называется
1-ым
замечательным
пределом.
• Теорема 5. Последоваn
1
тельность 1 при n
n
имеет предел,
заключенный между числами
2 и 3:
n
1
1 e,
lim
n
n
где е = 2,71828…
Этот предел называется
2-ым
замечательным
пределом.

11. Раскрытие неопределенностей

12. Существуют неопределенности следующих видов:

1) 0 ,
2) ,
4) 0 ,
5) .
0
3) 1 ,

13. Неопределенность

0
0
1) 1 правило Лопиталя:
f ( x) 0
f ( x)
lim
lim
x a g ( x)
0 x a g ( x)
2) 1 замечательный предел ( формулу см. ранее).
Неопределенность
1) 2 правило Лопиталя (также применяется производная).
2) Вынесение переменной в наибольшей степени вместе с
коэффициентом и из числителя и из знаменателя
(применяется только при условиях: а) числитель и
знаменатель представляют собой целую рациональную
функцию; б) переменная стремится к ).

14. Пример 2.

• а) Вычислите предел:
2x 1 2 1 1
x x
0
lim
lim
x 1 6 x 6
0 x 1 6 0
6
6
2
• б) Вычислите следующий предел:
2 sin 5 x 0 2 lim 5 sin 5 x 10 3 1
lim
x 0
x 0
3
3
3
5x
0
3x

15. Пример 3.

• а) Вычислите предел:
2
2
1
x 4x
x
1
0
.
lim
lim
lim
2
4
x 3 x
x 6 x 3 x 4
x 3 x
• б) Вычислите следующий предел:
3
7 ln 3 x 7
3
x
lim x 0
lim
lim
x 0
x 0
2
2 x 0 1
x* x
x

16. Неопределенность

1
Метод
решения:
используется
2-ой
замечательный
предел
(формулу см. ранее).

17. 3. Непрерывность функции.

Определение 8. Функция
• Определение
7.
y=f(x) называется непрерывной
Функция
y=f(x)
в точке х0, если:
называется
непрерывной
в • Эта функция определена при
х=х0.
точке
х0,
если
бесконечно малому • Предел функции в точке х=х0
приращению
равен значению функции в
аргумента
точке х0.
соответствует
Определение 9. Функция
бесконечно малое
у=f(x) называется непрерывной
приращение
на отрезке [а; в], если эта
функции
функция непрерывна в каждой
точке этого отрезка.

18. 4. Классификация точек разрыва.

• Разрыв в точке х=х0 имеет
место, если нарушено хотя
бы одно из трех условий
непрерывности функции:
1) В точке х=х0 функция f (x)
не
имеет
конечного
предела;
2) Функция не существует в
х0;
3) Предел функции в точке
существует,
но
не
совпадает с ее значением
в этой точке, т.е.
lim f ( x) f ( x0 )
x x0
• Различают три вида
точек разрыва:
1) Точки разрыва I рода.
Если в точке х=а
левосторонний и
правосторонний
пределы существуют,
но не равны между
собой, то точка а
называется точкой
разрыва I рода.

19.

• 2) Точки разрыва второго рода. Если в точке
х=а не существуют левосторонний или
правосторонний пределы или оба
одновременно, то точка а называется точкой
разрыва II рода.
• 3) Устранимые точки разрыва. Если в точке
х=а функция f (x) имеет левосторонний и
правосторонний пределы и эти пределы
равны между собой, но их значения не
совпадают со значением функции в точке а,
то точка а называется точкой ”устранимого
разрыва”.