1 лекция ЭВМ

1. Комплексные числа.

2. ПЛАН:

1. Основные понятия. Формы записи.
2. Действия над комплексными числами:
a) Сложение комплексных чисел;
b) Вычитание комплексных чисел;
c) Умножение комплексных чисел;
d) Деление комплексных чисел ;
e) Возведение в n-степень;
f) Извлечение корней из комплексных
чисел.

3. Основные понятия.

Определение.
Комплексным числом называется выражение
вида z = + i
,
где и - действительные числа, а i - мнимая
единица, и
i 2 = −1
Например, = 6+ i или = 1-5i .
Число называется дейст вит ельной частью
комплексного числа и обозначается =Re z,
а − мнимой частью и обозначается =Im z.

4. Основные понятия.

Два комплексных числа
называются равными тогда и
только тогда, когда равны их
действительные и мнимые
части.
Два комплексных числа,
отличающихся лишь знаком
мнимой части, называются
комплексно-сопряженными.
z1 = 1 + 1i ;
z 2 = 2 + 2i
z1 = z2 1 = 2 ; 1 = 2
z1 = 1 + 1i
z2 = 2 − 2i

5. Примеры.

Пример 1.
Пример 2.
z1 = 5 + 3i ;
z1 = 5 + 3i ;
z2 = 25 / 5 + 15 / 5i
z2 = 5 − 3i
= 5 = 25 / 5
= 3 = 15 / 5
Вывод : z1 = z2
Вывод : z1 и z2
комплексно сопряженные числа.

6. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Всякое комплексное число
можно изобразить точкой
плоскости xOy такой, что
x=Re z, y=Im z.
И, наоборот, каждую точку
координатной плоскости
можно рассматривать как
образ комплексного числа.
= + i, М( )
y
M( ; )
O
x

7. Геометрическое изображение комплексных чисел.

y
M(x;y)
O
x
Плоскость, на которой
изображается комплексные
числа, называется
комплексной плоскост ью.
Ось абсцисс Ox называется
дейст вит ельной осью.
Ось ординат Oy называется
мнимой осью.

8. Геометрическое изображение комплексных чисел.

y
→
r = OM
M(x;y)
φ
O
x
Комплексное число можно задавать
с помощью радиус-вектора
.
→
r =называется
OM
Длина вектора
модулем
этого числа и обозначается
или r .
Величина угла между
положительным направлением оси
Ox и вектором
r
называется аргумент ом этого
комплексного числа и
обозначается Arg или
Аргумент комплексного числа
определяется с точностью до
слагаемого

9. Формы записи комплексных чисел.

1.
2.
3.
Алгебраическая.
Тригонометрическая.
Показательная.
Любое комплексное число можно записать в любой форме.

10. Формы записи комплексных чисел.

Модуль r и аргумент можно
рассматривать как полярные
→
координаты вектора r = OM
Тогда получаем
x = r cos
y = r sin
Комплексное число z= + i можно
записать в виде
z = r cos + ir sin
Или z = r (cos + i sin )
Запись числa
z= + i
называется
алгебраической формой
комплексного числа.
Запись числа z в виде
z=r(cosφ+isinφ)
называется
т ригономет рической формой
комплексного числа.

11. Переход от одной формы к другой.

От алгебраической формы к
тригонометрической
r = z = x2 + y 2
x
cos =
r
y
sin =
r
y
tg =
x
= Arg z = arg z + 2 k
cos = cos(arg z + 2 k )
sin = sin(arg z )
От тригонометрической формы к
алгебраической
x = r cos
y = r sin

12. При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента,

т.е.
= arg z
Т.к.
то
− arg z
tg =
y
x
y
arctg x для точек I и IV четвертей;
y
arg z = arctg + для точек II четверти;
x
y
arctg
− для точек III четверти.
x

13. Пример: Комплексное число изобразить на плоскости и записать в тригонометрической форме

z = 2 + 2i
x=2
y=2
y
r = 22 + 22 = 2 2
Для I четверти
2
φ
0
r = z = x2 + y 2
2
x
y
2
arg z = arctg = arctg = arctg1
x
2
= arg z =
4
2 + 2i = 2 2 (cos
4
+ i sin
4
)

14. Комплексное число можно записать в показательной (или экспонентной) форме

z = re
i
Где r = z и = arg z
i
В силу формулы Эйлера e = cos + i sin
i
функция e периодическая с основным периодом
2π.
Для записи комплексного числа в показательной
форме надо определить главное значение аргумента
и модуль.

15. 2. Действия над комплексными числами

Суммой двух комплексных
чисел
z =x +yi
1
1
1
z 2 = x2 + y 2 i
Называется комплексное
число
z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )i
Разностью двух комплексных
чисел
z1 = x1 + y1i
z 2 = x2 + y 2 i
Называется комплексное число
z1 − z2 = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )i
Геометрически комплексные числа
складываются и вычитаются, как
векторы.

16. Сложение (вычитание) комплексных чисел

Примеры:
1.
z1 = 4 + 2i
z2 = −5 + 3i
2.
z1 + z2 = (4 − 5) + (2 + 3)i = −1 + 5i
z1 = 3 − 5i
z2 = 2 − 7i
z1 − z 2 = (3 − 2) + (−5 − (−7)i = 1 + 2i

17. Произведение и частное комплексных чисел в алгебраической форме.

Произведением двух
комплексных чисел
z1 = x1 + y1i
z 2 = x2 + y 2 i
называется комплексное
число
z = z1 z2 = ( x1 x2 + y1 y2 ) + ( x1 y2 + y1 x2 )i
Формула получается путем
перемножения двучленов!
( x1 + y1i)( x2 + y2i)
Частным двух комплексных
чисел
z1 = x1 + y1i
z 2 = x2 + y 2 i
называется комплексное число
z1 x1 x2 + y1 y2 y1 x2 − x1 y2
=
+
i
z2
x22 + y22
x22 + y22
На практике используют
умножение числителя и
знаменателя на число,
сопряженное знаменателю!
z=
( x1 + y1i )( x2 − y2i )
( x2 + y2i )( x2 − y2i )

18. Произведение и частное комплексных чисел в алгебраической форме.

Произведение:
Частное:
z1 = 1 + 2i
z1 = 1 + 2i
z2 = 3 + 4i
z2 = 1 + i
z1 z2 = (1 + 2i) (3 + 4i) =
1 + 2i (1 + 2i)(1 − i)
=
=
1+ i
(1 + i)(1 − i)
= 1 3 + 2i 3 + 1 4i + 2i 4i =
= 4 + 6i + 4i + 8i 2 = 4 + 10i − 8 =
= −4 + 10i
=
z1 z2 = −4 + 10i
i = −1
2
1 + 2i − i + 2 3 + i
=
1+1
2
z1 3 1
= + i
z2 2 2

19. Произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме.

Произведение чисел
z1 = r1 (cos 1 + i sin 1 )
z2 = r2 (cos 2 + i sin 2 )
Частное чисел
z1 = r1 (cos 1 + i sin 1 )
z2 = r2 (cos 2 + i sin 2 )
Находим по формуле
Находим по формуле
z1z2 = r1r2 (cos( 1 + 2 ) + i sin( 1 + 2 ))
При умножении модули
перемножаются, а аргументы
складываются!
z1 r1
= (cos( 1 − 2 ) + i sin( 1 − 2 ))
z 2 r2
При делении модули делятся, а
аргументы вычитаются!

20. Произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме.

Произведение:
z1 = 3(cos
3
+ i sin
z1 z 2 = 3 5(cos(
3
z1 = 3(cos
)
3
z2 = 5(cos + i sin )
Частное:
+ ) + i sin(
)
3
z2 = 5(cos + i sin )
3
+ ))
4
4
z1 z 2 = 15(cos
+ i sin
)
3
3
3
+ i sin
z1 3
= (cos( − ) + i sin( − ))
z2 5
3
3
z1 3
2
2
= (cos( − ) + i sin( − ))
z2 5
3
3

21. Произведение и частное комплексных чисел в показательной форме.

z1 = r1e
i
i 1
z1 = 2e 2
i 2
i
z 2 = r2 e
z1 z2 = r1r2e
i ( 1 + 2 )
z1 r1 i ( 1 − 2)
= e
z 2 r2
z 2 = 3e 3
z1 z2 = 6e
i
5
6
z1 2 6
= e
z2 3
i

22. Возведение комплексных чисел в степень.

Правило умножения комплексных чисел позволяет
возвести число в n-степень:
zn =
z
z
z
...
Получим Формулу Муавра:
n
z n = r n (cos n + i sin n )
Для показательной формы используют формулу:
z n = r n e in

23. Возведение комплексных чисел в степень. Пример.

Найти (1 + 3i ) 9
Запишем число в тригонометрической форме:
r = 1 + 3 = 2,
arg z = arctg 3 =
z = 2(cos
3
+ i sin
3
3
,
)
z 9 = (1 + 3i )9 = 29 (cos 9
+ i sin 9 ) =
3
3
= 29 (cos 3 + sin 3 ) = 29 (−1) = −512.

24. Извлечение корней из комплексных чисел в тригонометрической форме.

Определение.
Корнем n-й степени из комплексного числа z
называется комплексное число ω, удовлетворяющее
равенству:
n = z
n
z =
Данное дейст вие выполняет ся над комплексными
числами в т ригономет рической форме.
+ 2 k
+ 2 k
n r (cos + i sin ) = n r (cos
+ i sin
)
n
Получим n различных корней!
n

25. Извлечение корней из комплексных чисел. Пример.

6
z
Найти
, если z = −1
В тригонометрической форме число имеет вид:
−1 = cos + i sin
+ 2k
+
i
sin
Используем формулу:
6
6
Найдем 6 возможных корней, придавая k последоват ельно значения
0,1,2,3,4,5:
6
− 1 = cos
+ 2k
3 1
k = 0, z1 = cos + i sin =
+ i
6
6
2 2
k = 1, z 2 = cos
5
5
3 1
k = 2, z1 = cos
+ i sin
=−
+ i
6
6
2 2
3
3
k = 4, z1 = cos
+ i sin
= −i
2
2
k = 3, z1 = cos
7
7
3 1
+ i sin
=−
− i
6
6
2 2
k = 5, z1 = cos
11
11
3 1
+ i sin
=
− i
6
6
2 2
2
+ i sin
2
=i