Числовые системы. Система рациональных чисел

1. ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ

2. ГЛАВА III. СИСТЕМА РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

§ 1. Определение системы рациональных чисел
§ 2. Непротиворечивость системы аксиом системы рациональных чисел
§ 3. Категоричность системы аксиом системы рациональных чисел
ЛЕКЦИЯ 4

3. § 1. Определение и основное свойство системы рациональных чисел

4. § 1. Определение и основное свойство системы рациональных чисел

Множество Q рациональных чисел в их интуитивном
понимании есть поле, для которого множество Z
целых чисел является подкольцом.
При этом очевидно, что если Q0 – подполе поля Q,
содержащее все целые числа, то Q0= Q.
Эти свойства мы и положим в основу строгого
определения системы рациональных чисел.

5. § 1. Определение и основное свойство системы рациональных чисел

Определение 1. Системой рациональных чисел наз.
такая алгебраическая система Q = (Q; +, ; Z) типа
(2,2;1), для которой выполняются условия:
1) алгебра (Q; +, ) является полем;
2) кольцо Z целых чисел является подкольцом поля
Q;
3) (условие минимальности) если подполе Q0 поля Q
содержит подкольцо Z , то Q0= Q.
Короче, система рациональных чисел – это
минимальное по включению поле, содержащее
кольцо целых чисел.

6. § 1. Определение и основное свойство системы рациональных чисел

Теорема
1 (основное
свойство
системы
рациональных
чисел).
Каждое рациональное число x представимо в виде частного
двух целых чисел, т. е.
a
x , где a,b Z , b 0 .
(1)
b
Это представление неоднозначно:
a c
ad bc, где a, b, c, d Z , b 0, d 0
b d
.
□ Обозначим через Q0 множество всех рациональных чисел,
представимых в виде (1). Достаточно убедиться, что Q0 = Q. Пусть
a c
, Q0 , где a, b, c, d Z , b 0, d 0
b d
.
Тогда по свойствам поля имеем:
a c ad bc
Q0 , с 0
b d
bd
a c ad
:
Q0
b d bd
.

7. § 1. Определение и основное свойство системы рациональных чисел

§ 1. Определение
и свойство
основноесистемы
свойстворациональных
системы рациональных
чисел
Теорема
1 (основное
чисел). Каждое
рациональное число x представимо в виде частного двух целых
чисел, т. е.
a
.
(1)
x , где a,b Z , b 0
b
Это представление неоднозначно:
a c
ad bc, где a, b, c, d Z , b 0, d 0
b d
.
Значит Q0 замкнуто относительно вычитания и деления на
неравные нулю числа, и, следовательно, является подполем
поля Q.
Так как любое целое число a представимо в виде a=a/1 , то
Z Q0. Отсюда в силу условия минимальности 3)
определения 1 и следует, что Q0 = Q.
Доказательство второй части теоремы очевидно. ◘
Замечание 1. Из теоремы 1 вытекает, что поле рациональных
чисел является полем частных для кольца целых чисел.

8. § 2. Существование системы рациональных чисел

9. § 2. Существование системы рациональных чисел

Система рациональных чисел определена как минимальное
поле, содержащее подкольцо целых чисел.
Естественно возникает вопрос – существует ли такое поле,
т.е. является ли непротиворечивой система аксиом,
определяющая рациональные числа.
Для доказательства непротиворечивости надо построить
интерпретацию этой системы аксиом. При этом можно
опираться на существование системы целых чисел и
исходить из того, что поле рациональных чисел является
полем частных для кольца целых чисел.
Из курса алгебры известно, что поле частных существует
для любой области целостности. Кольцо целых чисел, как
известно, является областью целостности. Итак,
справедлива

10. § 2. Существование системы рациональных чисел

Теорема. Система рациональных чисел существует.
◘ Укажем только схему доказательства этого факта.
Исходным при построении интерпретации будем считать
множество Z Z\{0}. На этом множестве определим бинарное
отношение :
(a,b) (c,d) ad = bc .
(1)
Нетрудно проверить, что отношение является отношением
эквивалентности на Z Z\{0} , а значит, все множество Z
Z\{0} разбивается на попарно непересекающиеся классы
эквивалентности.
Класс эквивалентности, содержащий пару (a,b), обозначим
через a\b :
a
{( x, y ) Z Z \ {0} | (a, b) ~ ( x, y )} {( x, y ) Z Z \ {0} | ay bx}
.
b

11. § 2. Существование системы рациональных чисел

Теорема. Система рациональных чисел существует.
Бинарное отношение ~
(a,b) (c,d) ad = bc
является отношением эквивалентности на Z Z\{0}.
Условимся класс, содержащий пару (a,b), обозначить через a/b.
Ясно, что
a c
(a, b) ~ (c, d ) ad bc
b d
.
(1)
(2)
a
Q | (a, b) Z Z \ {0}
b
Пусть
- множество всех классов экв. ~.
Определим на нем операции сложения и умножения
следующим образом:
a c ad bc
b d
bd
a c ac
b d bd
,
(3)
.
(4)

12. § 2. Существование системы рациональных чисел

Теорема. Система
рациональных чисел
существует.
.
a c
(a, b) ~ (c, d ) ad bc
b d
.
(2)
Обозначим через Q множество всех таких классов c операциями сложения и
умножения :
a c ad bc
a c ac
(3)
(4)
b d
bd
b d bd
Нетрудно проверить корректность этих операций, т.е. что результат
применения этих операций не зависит от выбора конкретных
представителей классов, к которым она применяется.
Целесообразность именно такого определения отношения ~ и
операций вытекает из того, что в данной интерпретации, класс a/b
можно будет рассматривать как частное целых чисел a и b.
Легко проверить, что операции (3) и (4) коммутативны,
ассоциативны и умножение дистрибутивно относительно сложения.
Все эти свойства проверяются на основании соответствующих
свойств сложения и умножения целых чисел.

13. § 2. Существование системы рациональных чисел

Теорема. Система
рациональных чисел
существует.
.
a c
(a, b) ~ (c, d ) ad bc
b d
.
(2)
Обозначим через Q множество всех таких классов c операциями сложения и умножения :
a c ad bc
,
b d
bd
(3) .
Из равенств
a 0 a 1 0 b a
b 1
b 1
b
a c ac
b d bd
(4)
a 1 a 1 a
b 1 b 1 b
,
следует, что элемент 0/1 является нулем, а элемент 1/1 единицей в
Q .
Наконец, из равенств
c 0
c d cd 1
a a ab ( a)b 0 0
d 1
d c cd 1
b
b
b2
b2 1
,
вытекает существование в Q противоположного и обратного (для
любого, неравного нулю элемента из Q ) элементов.
Все это означает, что алгебра( Q ; , ) является полем.

14. § 2. Существование системы рациональных чисел

Теорема. Система
рациональных чисел
существует.
a c
(a, b) ~ (c, d ) ad bc
b d
.
(3) .
a c ac
b d bd
(4)
Покажем, что с точностью до изоморфизма Q является полем частных
кольца Z.
Выделим в Q подмножество Z элементов вида x/1 , т.е. Z = { x/1 | x Z }.
Так как
x y x y x y
x y xy
Z,
Z
1 1 1
1
1
1 1 1
то Z является подкольцом поля Q .
Отображение f : Z Z такое, что f(x)=x/1, как нетрудно проверить,
является биекцией.
Равенства
xy x y
x y x y
f
(
xy
)
f ( x) f ( y )
f ( x y)
f ( x) f ( y )
и
1
1 1
1
1 1
(2)
Обозначим через Q множество всех таких классов c операциями сложения и умножения :
a c ad bc
,
b d
bd
показывают, что кольца (Z; +, ) и ( Z ; , ) изоморфны.

15. § 2. Существование системы рациональных чисел

Теорема. Система
рациональных чисел
существует.
a c
(a, b) ~ (c, d ) ad bc
b d
.
(2)
Обозначим через Q множество всех таких классов c операциями сложения и умножения :
a c ad bc
b d
bd
,
(3) .
a c ac
b d bd
(4)
Покажем, что с точностью до изоморфизма Q является полем частных кольца Z.
Выделим в Q подмножество Z элементов вида x/1 , т.е.
Z = { x/1 | x Z }.
Отображение f : Z Z такое, что f(x)=x/1 является изоморфизмом колец (Z; +, ) и ( Z ; , ) .
Отождествляя эти кольца, можно считать, что Z является
подкольцом поля Q .
В силу отождествления колец Z и Z имеем x x/1 для любого x Z
и тогда очевидное равенство
a b ab a
b 1 b 1 можно записать в виде
a
b a
b
Отсюда видно, что каждый элемент a/b из поля Q является
отношением двух элементов a,b Z , т.е. Q является полем
частных кольца Z.
.

16. § 2. Существование системы рациональных чисел

2. Существование
системы
рациональных чисел
Теорема.§Система
рациональных чисел
существует.
a c
(a, b) ~ (c, d ) ad bc
b d
.
(2)
Обозначим через Q множество всех таких классов c операциями сложения и
умножения :
a c ad bc
b d
bd
(3)
a c ac
b d bd
(4)
Q является полем частных кольца Z.
Остается доказать минимальность поля Q. Пусть Q0 –
любое подполе поля Q, Z Q0 и пусть a/b Q.
Так как a, b Z, а Z Q0, то a/b Q0. Отсюда следует,
что Q Q0 и поэтому Q = Q0.
Существование системы рациональных чисел доказано. ◙

17. § 2. Существование системы рациональных чисел

2. Существование
системы
рациональных чисел
Теорема.§Система
рациональных чисел
существует.
a c
(a, b) ~ (c, d ) ad bc
b d
.
(2)
Обозначим через Q множество всех таких классов c операциями сложения и
умножения :
a c ad bc
b d
bd
(3)
a c ac
b d bd
(4)
Q является полем частных кольца Z.
Остается доказать минимальность поля Q. Пусть Q0 –
любое подполе поля Q, Z Q0 и пусть a/b Q.
Так как a, b Z, а Z Q0, то a/b Q0. Отсюда следует,
что Q Q0 и поэтому Q = Q0.
Существование системы рациональных чисел доказано. ◙

18. § 3. Единственность системы рациональных чисел

19. § 3. Единственность системы рациональных чисел

Поскольку система рациональных чисел в их интуитивном
понимании существует только одна, то аксиоматическая теория
рациональных чисел, которая здесь излагается, должна быть
категоричной.
Теорема. С точностью до изоморфизма существует только одна
система рациональных чисел, т.е. любые две системы
рациональных чисел изоморфны.
Пусть Q1 = (Q1; +, ; Z) и Q2 = (Q2; , ; Z) – любые две системы
рациональных чисел. Достаточно доказать существование такого
биективного отображения f : Q1 Q2, при котором
( a Z) f(a) = a,
(1)
( x, y Q1) f(x + y) = f(x) f(x + y),
(2)
( x, y Q1) f(x y) = f(x) f(x + y)
(3)
для любых элементов x и y из поля Q1.

20. § 3. Единственность системы рациональных чисел

Теорема. С точностью
до изоморфизма
только
одна система
§ 3. Единственность
системысуществует
рациональных
чисел
рациональных чисел, т.е. любые две системы рациональных чисел изоморфны.
Частное целых чисел a и b в поле Q1 будем обозначать
через a/b, а в поле Q2 – через a:b. Так как Z есть подкольцо
каждого из полей Q1 и Q2 , то для любых целых чисел a и b
справедливы равенства
a + b = a b, a b = a b.
(4)
Пусть x Q1 и x=a/b , где a, b Z и b 0. Сопоставим этому
элементу x элемент y = а : b из Q2, т.е. положим f(a/b) = a:b.
Нетрудно проверить, что таким образом задано отображение
f : Q1 Q2.
Любой элемент из поля Q2 представим в виде а : b, где
a,b Z и, сл-но, является образом элемента a/b из поля Q1.
Значит, отображение f cюръективно.
Если f(a/b) = f(с/d), т.е. а : b = c : d, то a d = b c, а
отсюда в силу (4) ad = bc. Но тогда a/b = с/d . Это означает,
что отображение f инъективно.

21. § 3. Единственность системы рациональных чисел

( a Z)системы
f(a) = a, существует
(1)
Теорема. С точностью
до изоморфизма
только
одна система
§ 3. Единственность
рациональных
чисел
( x,
y системы
Q1) f(x + y)
= f(x) f(x + y),
(2)
рациональных чисел, т.е. любые
две
рациональных
чисел изоморфны.
( x, y Q1) f(x y) = f(x) f(x + y)
(3)
f : Q1 Q2, f(a/b) = a:b.
отображение f cюръективно и инъективно.
Если a Z , то в поле Q1 имеем a = a/1 и тогда
f(a) = f(a/1) = a:1 = a.
Таким образом, отображение f биективно и все целые числа
оставляет неподвижными, т.е. выполнено (1).
Остается доказать справедливость равенств (2) и (3). Пусть
a
c
.
x, y Q1 , x , y , a, b, c, d Z , b 0, d 0
b
d
Тогда
ad bc
f x y f
ad bc : bd a d b c : b d
bd
a : b c : d f ( x) f ( y )
.
ac
f xy f ac : bd a c : b d a : b c : d f ( x) f ( y ) .
Аналогично,
bd
Изоморфизм интерпретаций Q1 = (Q1; +, ; Z) и Q2 = (Q2; , ; Z)
доказан. ◙