Формула Герона

1.

2.

Герон Александрийский древнегреческий математик и механик, живший,
вероятно, в 1 в. н. э.

3.

Теорема. Площадь S треугольника, стороны которого равны
a, b, c вычисляется по формуле
S p( p a)( p b)( p c) ,
где p – полупериметр треугольника.
А
с
h
x
В
a-x
D a
Дано: ABC, AB=c, AC=b, BC=a
b
p –полупериметр АВС.
С
Док-ть:
S p( p a)( p b)( p c)
Доказательство.
Проведем высоту АD треугольника ABC. Введем обозначения: AD=h,
BD=x, тогда DC=a-x.
По теореме Пифагора AD2=AB2-BD2 и AD2=AC2-CD2. Поэтому
AB2-BD2=AC2-CD2, то есть c2-x2=b2-(a-x)2. (1)

4.

А
с
h
x
В
c2-x2=b2-(a-x)2 (1)
Из уравнения (1) получаем, что 2ax=a2+c2-b2,
b
a 2 c 2 b 2
x
2a
a-x
D a
С
Поскольку AD2=AB2-BD2, то h2=c2-x2 (2) и
(a
h2 c2
2
c 2 b 2 ) 2 4a 2c 2 (a 2 c 2 b 2 ) 2
2
4a
4a 2
(3)
Последовательно раскладывая на множители разность квадратов в числителе
правой части равенства (3), получаем:
1
(4)
h2
a b c a b c a c b b c a
4a 2
Периметр a+b+c треугольника ABC обозначим 2p. Получим
a+b-c=2p-2c, a+c-b=2p-2b, b+c-a=2p-2a. Поэтому окончательно
2
(5)
h
p( p a)( p b)( p c)
a
Так как площадь S треугольника АВС выражается формулой S=0,5ah, то,
подставляя в нее h по формуле (5), получаем, что
S
p( p a)( p b)( p c).

5.

Следствие.
Площадь равностороннего треугольника со стороной а
выражается формулой
S
a
2
4
3

6.

Решите задачи устно.
В
14
B
13
8
10
А
С
15
A
Найти: SABC
6
Найти: SABCD
B
9
C
11
7
A
C
H
Найти: SABCD
12
D
D

7.

Задача №1Меньшая сторона параллелограмма равна 29см.
Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к
большей стороне, делит ее на отрезки, равные 33см и 12см. Найдите
площадь параллелограмма.
Дано: АВСD – параллелограмм, АВ=29см,
В
С
O
29
АК AD, AK=33см, KD=12см.
H
А
33
12
K
АС, ВD – диагонали, АС BD=O,
Найти: SABCD.
D
Решение.
В треугольнике ABD проведем BH AD.
По теореме Фалеса HK=KD=12cм. Тогда AH=AK-HK=33-12=21(cм).
В прямоугольном треугольнике ABH по теореме Пифагора имеем:
BH AB 2 AH 2 292 212
SABCD=AD·BH=45·20=900(см2)
29 21 29 21 8 50 4 2 2 25 2 2 5 20(см)

8.

Задача №2. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если AB=5см,
BC=13см, CD=9см, DA=15см, АС=12см.
1 способ
В
5
А
S
ABC
p ACD
13
С
12
9
Применим к треугольникам ABC и ACD
формулу Герона.
p ABC
AB BC AC 5 13 12
15(см)
2
2
D
15
p p AB p BC p AC 15 15 5 15 13 15 12 15 10 2 3 5 3 5 2 2 3 5 3 2 30(см2 )
AC CD AD 12 9 15
18(см)
2
2
S ACD 18 18 12 18 9 18 15 6 3 6 9 3 6 3 3 54(см2 )
SABCD=SABC+SACD=30+54=84(см2)

9.

2 способ
В
5
А
13
С
12
9
15
D
В треугольнике АВС ВС2=АВ2+АС2, поэтому
треугольник АВС прямоугольный с
гипотенузой ВС.
SABC=0,5AB·AC=0,5·5·12=30(см2)
Аналогично доказывается, что треугольник ACD
прямоугольный
SACD=0,5AC·CD=0,5·12·9=54(см2)
SABCD=84(см2)