Вывод формулы Герона. Геометрия 8 класс

1. Вывод формулы Герона геометрия 8 класс

Учитель математики СОШ №2
п. Сенной Вольского района
Саратовской области
БРЮХАНОВА НАТАЛЬЯ
ИВАНОВНА

2. Формула Герона

Площадь треугольника со сторонами
a,b,c выражается формулой
S p( p a)( p b)( p c)
где
1
p (a b c)
2
полупериметр треугольника

3. Доказательство:

a
b
c
y
х
h
х+у=с

4. Треугольники АCН и ВСН – прямоугольные

По теореме Пифагора
в треугольнике
ВСН :
в треугольнике
АСН :
C
h2 = b2-у2
=
a
b
А
h2 = a2-х2
h
у
х
Н
c
B

5. Преобразуем получившееся равенство

2
2
2
2
а2 - х2 = в2 - у2 , у -х =b -a
(у-х)(у+х) =b2-a2 , но y+x=c
(у-х)с= b2-a2
у-х=
1
c
(b2-a2)
+ ,получим 2y=c+
y+x=c
1
c
(b2-a2)
Раскрыв скобки и сложив слагаемые в правой части, получим
2y=
b c a
c
2
2
2
, y=
b2 c2 a 2
2c

6. a2-х2

= b2-у2 =h2
но
h2 = b2-у2 =(b-y)(b+y)=
b2 c2 a 2
=(b2c
b2 c2 a 2
)(b+
2c
)=
b2 c2 a 2
y=
2c
2bc (b 2 c 2 a 2 ) 2bc (b 2 c 2 a 2 )
2c
2c
2bc b 2 c 2 a 2 2bc b 2 c 2 a 2
2c
2c
( 2bc b 2 c 2 ) a 2 ( 2bc b 2 c 2 ) a 2
2c
2c
a 2 (b c ) 2 (b c ) 2 a 2
2c
2c
( a b c )( a b c ) (b c a )(b c a )
2c
2c

7.

1
p (a b c)
2
2p a b c
2p a b c
2p b a c
2p c a b

8. Продолжим преобразование

( a b c )( a b c ) (b c a )(b c a )
2c
2c
( a c b)( a b c )(b c a )(b c a )
2
4c
( 2 p b b)( 2 p c c )( 2 p a a ) 2 p
2
4c
( 2 p 2b)( 2 p 2c )( 2 p 2a ) 2 p
2
4c
4 p ( p b)( p c )( p a )
c2

9. Итак,

4 p( p b)( p c)( p a)
Итак, h
2
c
2
h
4 p ( p b)( p c)( p a )
2
c
2 p ( p b)( p c)( p a )
h
c
1 2 p ( p b)( p c)( p a )
1
c
S hc
c
2
2
S p ( p b)( p c)( p a )

10.

11. Источники информации:

http://office.microsoft.com/ruru/templates/results.aspx?ctags=CL101810231&ver=12&app=powerpnt%
2Eexe
Геометрия: Учебник для 7–9 кл. общеобразовательных учреждений /Л.С.
Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М: Просвещение, 2008.