Формула Герона. Вывод формулы Герона

1. ФОРМУЛА ГЕРОНА

Вывод формулы Герона

2. Формула Герона

Площадь треугольника со сторонами
a,b,c выражается формулой
S
p( p a)( p b)( p c)
1
где p
(a b c) полупериметр треугольника
2

3. Доказательство:

a
b
c
y
х
h
х+у=с

4. Треугольники АCН и ВСН – прямоугольные

По теореме Пифагора
в треугольнике
ВСН :
h2 = a2-х2
в треугольнике
АСН :
h2 = b2-у2
C
a
b
А
=
h
у
х
Н
c
B

5. Преобразуем получившееся равенство

2
2
2
2
а2 - х2 = в2 - у2 , у -х =b -a
(у-х)(у+х) =b2-a2 , но y+x=c
(у-х)с= b2-a2
у-х=
1 (b2-a2)
c
y+x=c
1 2 2
+ ,получим 2y=c+
(b -a )
c
Раскрыв скобки и сложив слагаемые в правой части, получим
2y=
b c a
c
2
2
2
b2 c2 a 2
, y=
2c

6. a2-х2

= b2-у2 =h2
но
h2 = b2-у2 =(b-y)(b+y)=
b2 c2 a 2
b2 c2 a 2
=(b)(b+
2c
2c
)=
b2 c2 a 2
y=
2c
2bc (b 2 c 2 a 2 ) 2bc (b 2 c 2 a 2 )
2c
2c
2bc b 2 c 2 a 2 2bc b 2 c 2 a 2
2c
2c
( 2bc b 2 c 2 ) a 2 ( 2bc b 2 c 2 ) a 2
2c
2c
a 2 (b c ) 2 (b c ) 2 a 2
2c
2c
( a b c )( a b c ) (b c a )(b c a )
2c
2c

7.

1
p (a b c)
2
2p a b c
2p a b c
2p b a c
2p c a b

8. Продолжим преобразование

( a b c )( a b c ) (b c a )(b c a )
2c
2c
( a c b)( a b c )(b c a )(b c a )
2
4c
( 2 p b b)( 2 p c c)( 2 p a a ) 2 p
2
4c
( 2 p 2b)( 2 p 2c)( 2 p 2a ) 2 p
2
4c
4 p ( p b)( p c )( p a )
c2

9. Итак,

4 p ( p b)( p c)( p a )
Итак, h
2
c
2
h
4 p ( p b)( p c)( p a )
2
c
2 p ( p b)( p c)( p a )
h
c
1 2 p ( p b)( p c)( p a )
1
c
S hc
c
2
2
S p ( p b)( p c)( p a )