Матрицы и действия с ними

1. Матрицы и действия с ними

2.

Матрица. Определение

3.

Нулевая, квадратная матрицы. Главная диагональ квадратной
матрицы

4.

Единичная матрица. Матрица-вектор.

5.

Транспонированная матрица.

6.

Свойства транспонированной матрицы. Симметрическая
(симметричная) матрица.

7.

Сложение матриц. Умножение на действительное число

8.

Свойства операций суммирования и умножения на
действительное число.

9.

Скалярное произведение векторов.
Ранее, матрицей – вектором, мы называли матрицу, состоящую
только из одной строки или только из одного столбца. Назовем
элементы такой матрицы координатами вектора, тогда:

10.

Умножение матриц.

11.

Формула для умножения матриц

12.

Правила умножения матриц
Произведение матриц определено только для случая, когда длина
строки первой матрицы совпадает с высотой столбца второй.
Операция умножения матриц не коммутативна! При умножении матрицы
нельзя менять местами – результат умножения может измениться.
* В Excel для умножения матриц может быть использована функция
МУМНОЖ(…, …). Для ее применения необходимо выделить пустые
клетки на месте результирующей матрицы (предварительно определив
ее размер), внести в окно диалога адреса перемножаемых матриц и
нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter

13.

Свойства произведения матриц.

14.

Матрицы элементарных преобразований

15.

Матрицы элементарных преобразований (2).

16.

Матрицы элементарных преобразований (3).

17.

Арифметические операции над строками матрицы.

18.

Элементарные преобразования.

19.

Преобразование матрицы к единичному виду
Обратите внимание!
К единичному виду может быть преобразована только квадратная
матрица, причем только при выполнении определенных условий,
наложенных на ее значения, которые позволяют называть такую
матрицу невырожденной.

20.

Порядок преобразования матрицы к единичному виду.

21.

Пример получения единичной матрицы с помощью
элементарных преобразований.

22.

Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных
преобразований.
Пусть используя матрицы элементарных преобразований мы получили
единичную матрицу, то есть можем записать выражение:
Отсюда получим:

23.

.

24. Определители матриц

25.

Понятие определителя. Упорядоченные наборы элементов

26.

Понятие определителя. Инверсия в перестановках номеров
столбцов

27.

Понятие определителя. Определение

28.

Определители первого и второго порядка.

29.

Определитель матрицы третьего порядка.

30.

Минор элемента матрицы.

31.

Алгебраическое дополнение элемента матрицы.

32.

Теорема Лапласа.

33.

34.

Общие свойства определителей.

35.

.

36.

В Excel определитель матрицы может быть вычислен с
помощью функции МОПРЕД (…)
.

37.

Вычисление обратной матрицы с помощью определителя.

38.

В Excel обратная матрица вычисляется с помощью функции
МОБР(…).

39.

Ранг матрицы.

40.

.

41.

.

42.

Определение ранга путем преобразования матрицы к
ступенчатому виду
Чему равен ранг матрицы А?

43.

Линейная зависимость строк (столбцов) матрицы.

44.

Связь между линейной зависимостью строк (столбцов) матрицы
и ее рангом.
Если какая-то из строк матрицы является линейной
комбинацией остальных, с помощью элементарных преобразований
третьего типа мы можем получить из исходной матрицы матрицу с
нулевой строкой. Определитель такой матрицы равен 0, и, в то же
время, равен определителю исходной матрицы.
Матрица называется невырожденной, когда ее строки (столбцы)
линейно независимы.
Матрица вырождена, когда ее строки (столбцы) линейно зависимы.
Определитель вырожденной матрицы равен 0.