Урок 15
Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание
Дисперсия
Дисперсия
Свойства дисперсии
Единицы измерения
Пример
Пример
Пример
Тесты
1. Чему равно математическое ожидание постоянной величины (M (const))?
2. Чему равно математическое ожидание отклонения X – M [X] случайной величины X от ее математического ожидания M [X]
3. Чему равно среднее квадратическое отклонение?
4. Чему равна дисперсия постоянной величины (D (const))?
5. Вам понравилась моя презентация?
Спасибо за внимание!
1.02M
Категория: МатематикаМатематика

Числовые характеристики случайных величин

1. Урок 15

Числовые характеристики
случайных величин
Презентацию подготовил
студент группы ПОВ 54/2
Фомин Евгений
2011 год

2. Числовые характеристики случайных величин

Назначение числовых характеристик случайной величины – в
сжатой форме выразить наиболее важные черты распределения.
Математическое ожидание
Свойства математического ожидания
Дисперсия
Свойства дисперсии
Тесты

3. Математическое ожидание

X
x1
x2

xi

xn
P(X)
p1
p2

pi

pn
Математическим ожиданием М(X) дискретной случайной величины Х
называется сумма произведений всех возможных значений
случайной величины на соответствующие вероятности значений:
n
M (X) = x1p1 + ….+ xnpn = xi pi
i 1
Пример:
X
2
5
8
19
P
0,2
0,3
0,4
0,1
M (X) = 2 0,2 + 5 0,3 + 8 0,4 + 19 0,1 = 7.

4.

Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной
M (const) = const.
2. Постоянный множитель случайной величины может быть вынесен за знак
математического ожидания
M (const X) = const M (X).
3. Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных величин Х и У
равно алгебраической сумме их математических ожиданий
M (X × Y) = M (X) + M (Y).
4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин
X и Y равно произведению их математических ожиданий
M (X × Y) = M (X) × M (Y).
5. Математическое ожидание отклонения X–M[X] случайной величины X от ее
математического ожидания M[X] равно нулю
M (X – M (X)) = 0.

5. Дисперсия

Дисперсия оценивает меру рассеивания значения случайной
величины вокруг ее математического ожидания.
X
2
3
4
5
Y
-1
3
8
11
P (X)
0,1
0,2
0,3
0,4
P (Y)
0,2
0,5
0,2
0,1
M (X) = 4
M (Y) = 4
X
0
1
2
3
4
5
Y
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

6. Дисперсия

Дисперсией случайной величины Х называют Математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее
математического ожидания M (X).
Для дискретной случайной величины:
n
2
D ( X ) ( X i M ( X )) Pi
i 1
Для непрерывной случайной величины :
2
D ( X ) ( X M ( X )) f ( X ) dx
Среднее квадратическое отклонение:
( X ) D( X )

7. Свойства дисперсии

1.
Дисперсия постоянной величины равна нулю
D (const) = 0.
2.
Постоянный множитель случайной величины можно выносить за знак дисперсии,
предварительно возведя его в квадрат
D (const X) = const2 D (X).
3.
Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин Х и Y равна
сумме дисперсий этих величин
D (X Y) = D(X) + D(Y).
4.
Дисперсия случайной величины Х равна разности между математическим
ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического
ожидания.
D (X) = M (X2) – (M (X))2

8. Единицы измерения


Среднеквадратичное отклонение
измеряется в той же единице
измерения что и случайная величина.
Дисперсия измеряется в той же
единице измерения что и случайная
величина, но в квадрате.

9. Пример

Для случайной величины X задан ряд
распределения:
xi
0
2
4
pi
0.3
0.3
0.4

10. Пример

Найдем математическое ожидание
M(X) = 0 ∙ 0.3 + 2 ∙ 0.3 + 4 ∙ 0.4 = 2.2
M(X2) = 02 ∙ 0.3 + 22 ∙ 0.3 + 42 ∙ 0.4 = 7.6
дисперсию:
D(X) = M(x2) - (M(x))2 = 7.6 - 4.84 = 2.76.

11. Пример

Отсюда можем найти
среднеквадратичное отклонение:
σ = √D(X) = √2.76 ≈ 1.66;
Теперь отметим всё это на графике…

12.

xi
0
2
4
pi
0.3
0.3
0.4
Среднеквадратичное отклонение на графике:
M(X)
pi
0.
4
0.
3
M(X) = 2.2;
D(X) = 2.76;
σ=1,66
σ
σ(X) = 1.66;
0.
1 0
0
0.
5
2.
0
4.
0
Xi
Среднеквадратичное отклонение откладывается
по обе стороны от математического ожидания.

13.

14. Тесты

15. 1. Чему равно математическое ожидание постоянной величины (M (const))?

1.
M (const) = 0
2.
M (const) = M (X)
3.
M (const) = const
4.
M (const) = M (Y)

16. 2. Чему равно математическое ожидание отклонения X – M [X] случайной величины X от ее математического ожидания M [X]

1.
M (X – M (X)) = М (Х)
2.
M (X – M (X)) = - X
3.
M (X – M (X)) = 1
4.
M (X – M (X)) = 0

17. 3. Чему равно среднее квадратическое отклонение?

1.
2.
3.
4.
(X ) M (X )
(X )
D( X )
( X ) D( X )
(X ) 0

18. 4. Чему равна дисперсия постоянной величины (D (const))?

1.
D (const) = const
2.
D (const) = 0
3.
D (const) = M (X)
4.
D (const) = 1

19. 5. Вам понравилась моя презентация?

1.
Да
2.
Презентация?!
3.
Нет
4.
Я не смотрел

20. Спасибо за внимание!

English     Русский Правила