Числовые характеристики дискретных случайных величин

1. Числовые характеристики дискретных случайных величин

2. 1. Мода и медиана ДСВ

Модой ДСВ называется такое ее значение,
вероятность которого наибольшая.
Обозначение: Мо(Х)
(!!) Ряд распределений может не иметь моды
или иметь не одну, а несколько мод.

3. 1. Мода и медиана ДСВ

Медианой ДСВ называется среднее по
положению в пространстве событий
значение ДСВ.
Обозначение: Мс(Х)
(!!) В ряду с нечетным количеством членов медиана
есть значение ДСВ на «среднем месте». Если в ряду
распределения четное число членов, то медиана
вычисляется как среднее арифметическое
двух
значений, стоящих в середине ряда.

4.

Пример 1.
Найти моду и медиану ДСВ Х – «производительность труда»,
если учет производительности труда станочников цеха за
смену задан ведомостью:
№ по списку
Производительность
труда (дет./смену)
1
52
2
56
3
54
4
52
5
53
6
58
7
57
8
58
Составим ряд распределения:
Х
р
52
0,2
53
0,1
54
0,2
56
0,1
57
0,1
58
0,3
9
58
10
54

5. 2. Математическое ожидание

6. 1. Математическое ожидание

(!!) Математическое ожидание называют еще
средним значением СВ или центром распределения.
(!!)
Математическое
ожидание
дискретной
случайной величины есть неслучайная (постоянная)
величина.

7.

Пример 2.
Найти математическое ожидание случайной величины Х,
имеющей следующий закон распределения:
Х
1
2
3
4
5
p
0,3
0,2
0,1
0,2
0,2
М(Х) = 0,3∙1+0,2 ∙ 2+0,3 ∙ 1+0,4 ∙ 2+0,2 ∙5 = 2,8
М(Х) = 0,3+0,4+0,3+0,8+1 = 2,8

8.

Задание 1
Найти математическое ожидание случайной
величины Х, имеющей следующий закон
распределения:
Х
1
2
3
4
5
p
0,4
0,8
0,1
0,3
0,4

9.

Пример 3.
Из 100 лотерейных билетов в тридцати выигрыш составляет
100 тыс. руб., в десяти – 200 тыс. руб., в пяти – 300 тыс. руб.
и в одном – 1 млн. руб. Найти числовые характеристики
выигрыша.
Составим ряд распределения СВ Х – «сумма выигрыша»:
Х
0
р
0,54
100
тыс.
0,30
200
тыс.
0,10
Мо(Х) = 0
Мс(Х) = 200 тыс.
М(Х) = … = 75 тыс.
300
тыс.
0,05
1 млн.
0,01

10.

Задание 2
Из 100 лотерейных билетов в сорока
выигрыш составляет 100 тыс. руб., в
пятнадцати – 200 тыс. руб., в шести – 300
тыс. руб. и в двух – 1 млн. руб. Найти
числовые характеристики выигрыша.
Составить ряд распределения и найти
Мо(Х) = 0
Мс(Х) =
М(Х)=

11. Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание
величины равно этой постоянной:
постоянной
М(С) = С.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за
знак математического ожидания:
М(С·Х) = С·М(Х).
Свойство 3. Математическое ожидание произведения
независимых случайных величин равно произведению
математических ожиданий сомножителей:
М(Х·У) = М(Х) · М(У)

12. Свойства математического ожидания

Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных
величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М(Х + У) = М(Х) + М(У)
Свойство 5. Математическое ожидание отклонения
случайной величины Х от ее математического ожидания
М(Х) равно нулю:
М(Х – М(Х)) = 0
Математическое ожидание M(X) – вполне определенная постоянная. В
результате опыта СВ Х принимает одно из ее возможных значений хi.
Разность хi – M(X) показывает, насколько отклонилось это значение СВ
в данном опыте от М(Х). Очевидно, что эта разность сама является
случайной величиной. Эту величину обозначают Х – М(Х) и называют
отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания.

13.

Пример 4.
Найти математическое ожидание случайной величины Х·У,
если независимые случайные величины Х и У заданы
следующими законами распределения:
Х
2
4
5
p
0,1
0,3
0,6
У
7
9
p
0,8
0,2
М(Х) = 0,2 + 1,2 + 3 = 4,4
М(У) = 5,6 + 1,8 = 7,4
М(ХУ) = 4,4 ∙ 7,4 = 32,56

14.

Пример 5.
Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые
могут выпасть при бросании 2-х игральных костей.
Х/У
1
2
3
4
5
6
p
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
М(Х) = 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = 3,5
М(У) = 3,5
М(Х + У) = 3,5 + 3,5 = 7

15.

Пусть даны законы распределения ДСВ Х и У:
Х
р
- 0,01
0,5
0,01
0,5
У
р
- 100
0,5
100
0,5
Математические ожидания обеих величин одинаковы и равны
нулю, а возможные их значения различны: Х имеет значения, близкие
к математическому ожиданию, а У – далекие от математического
ожидания. Это означает, что математическое ожидание СВ
полностью ее не характеризует. Важно знать, как рассеяны
значения СВ вокруг ее математического ожидания. Для такой
оценки пользуются, в частности, числовой характеристикой,
которую называют дисперсией.