Неопределенный интеграл. Определения и теоремы

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.Определение и свойства
неопределенного интеграла

2. Определения и теоремы:

Определение. Первообразной функцией для
данной функции f(x) на данном промежутке
называется, такая функция F(x),
производная которой равна f(x) или
дифференциал которой равен f(x)dx на
рассматриваемом промежутке.

3.

Теорема. Две различные первообразные
одной и той же функции, определенной в
некотором промежутке, отличаются друг от
друга на этом промежутке на const.

4.

Определение. Общее выражение для всех
первообразных данной непрерывной
функции f(x) называется неопределенным
интегралом от функции f(x) или от
дифференциального выражения f(x)dx и
обозначается символам f (x)dx .
f (x)dx F (x) C

5. Свойства неопределенного интеграла

1.Если непрерывно дифференцируемая
функция, то
d
(
x
)
(
x
)
C
2.
d f x dx f x dx
f x dx ' f x
Af
(
x
)
dx
A
f
(
x
)
dx

6.

3. Неопределенный интеграл от
алгебраической суммы конечного числа
непрерывных функций равен
алгебраической сумме неопределенных
интегралов от этих функций.

7. 2.Таблица простейших неопределенных интегралов

Таблица интегралов

8.

1.
m
1
u
m
u du m 1 C,m 1
2.
du lnu C
u

9.

3.
4.
5.
u
u
e
du
e
C
u
a
u
a du lna C
cos udu sin u C

10.

6.
7.
8.
sin
udu
cos
u
C
du tgu C
cos 2u
du ctgu C
sin 2u

11.

9.
du arcsinu C arccosu C
1 u2
10.
du arctgu C arcctgu C
1 u 2

12. Дополнительные формулы:

1.
du 1 ln a u Ca
a2 u2 2a a u
2.
du 1 ln a u C
u2 a2 2a a u

13.

3.
du lnu u2 a C
u2 a
du
u
arcsin
C
4.
a
2
2
\ / a u
du 1 arctg u C
5. a2 u2 a
a

14. 3.Основные методы интегрирования :

1.Метод разложения.
Пусть
f x f x f x
1 2
, тогда
f x dx f1 x dx f 2 x dx

15.

2.Метод подстановки (метод введения
новой переменной)
t dt
f
x
dx
f
t
'

16.

3.Метод интегрирования по частям.
udv
uv
vdu

17. Неберущиеся интегралы

Sinx ln xdx e dx
Cosx ln xdx e dx
dx
Cosx
ln x
dx
x
x2
x
2

18. Теорема Коши

• Теорема: Всякая непрерывная функция
имеет первообразную (от всякой
непрерывной функции существует
неопределенный интеграл).