Решение линейного неоднородного ДУ

1.

Решение линейного неоднородного ДУ
Рассмотрим ДУ
y '' py ' qy f ( x ).
Теорема 3 (о структуре общего решения
неоднородного уравнения).
Пусть
y0 ( x ) — общее решение ЛОДУ
y '' py ' qy 0;
( x ) — частное решение ДУ (3).
Тогда
y ( x ) y0 ( x ) ( x )
— общее решение ДУ (3).
(3)

2.

Теорема 4 (о суперпозиции решений).
Рассмотрим ДУ
y '' py ' qy f1 ( x ) f 2 ( x ).
Пусть
y1 ( x) — частное решение ДУ
y '' py ' qy f1 ( x ),
y2 ( x ) — частное решение ДУ
y '' py ' qy f 2 ( x ).
Тогда
y1 ( x ) y2 ( x )
— частное решение ДУ (4).
(4)

3.

Нахождение частного решения
неоднородного уравнения
1) Общий случай.
Метод Лагранжа
(метод вариации произвольных постоянных)
Пусть
y1 ( x ), y2 ( x )
— фундаментальная система решений ЛОДУ
y '' py ' qy 0,
т.е.
y1 py1 qy1 0,
y2 py2 qy2 0. (5)

4.

Частное решение ДУ (3) ищем в виде
( x ) C1 ( x ) y1 ( x ) C 2 ( x ) y2 ( x ).
Найдем производную
y ' C1 y1 C1 y1 C 2 y2 C 2 y2 .
Подберем функции C1 ( x ), C 2 ( x ) так, чтобы
C1 y1 C2 y2 0.
Тогда
y ' C1 y1 C 2 y2 ,
y '' C1 y1 C1 y1 C 2 y2 C 2 y2 .
Подставим в уравнение (3):
(6)

5.

C1 y1 C1 y1 C 2 y2 C2 y2 p (C1 y1 C2 y2 )
q (C1 y1 C2 y2 ) f ( x );
C1 ( y1 py1 qy1 ) C 2 ( y2 py2 qy2 )
C1 y1 C2 y2 f ( x ).
Учитывая (5), получаем
C1 y1 C 2 y2 f ( x ).
Значит, функции C1 ( x ), C 2 ( x ) можно найти из
условий
C1 y1 C2 y2 0,
C1 y1 C2 y2 f ( x).

6.

Можно показать, что система имеет
единственное решение
C1 ( x ) 1 ( x ), C 2 ( x ) 2 ( x ).
Тогда
C1 ( x ) 1 ( x ) dx, C 2 ( x ) 2 ( x )dx.
Подставив найденные функции в (6), получим
частное решение уравнения (3).

7.

Пример. Решить уравнение
1
y '' 4 y
.
cos x
Решение. Решим однородное уравнение:
1 0,
1,2 i.
2
y0 C1 cos x C2 sin x.
Частное решение исходного уравнения ищем
в виде
( x ) C1 ( x ) cos x C 2 ( x ) sin x.
Фундаментальная система решений:
y1 cos x, y2 sin x.

8.

Для решения системы
C1 y1 C2 y2 0,
C1 y1 C2 y2 f ( x )
поступим следующим образом:
y1
W
y1
y2
cos x sin x
2
2
cos x sin x 1;
y2 sin x cos x
определитель Вронского
0
1
f ( x)
0
y2
1
y2
cos x
sin x
cos x
tg x;

9.

cos x
0
y1
0
2
1 1;
y1 f ( x ) sin x
cos x
1
2
C1 ( x )
tg x; C1 ( x )
1;
W
W
C1 ( x ) tg xdx ln | cos x |;
C2 ( x ) dx x.
Частное решение исходного уравнения:
( x ) ln | cos x | cos x x sin x.
Общее решение исходного уравнения:
y y0 C1 cos x C 2 sin x ln | cos x | cos x x sin x.

10.

2) Случай специальной правой части.
Рассмотрим ДУ
y '' py ' qy f ( x ).
Рассмотрим следующие случаи:
а)
f ( x ) P ( x ).
б)
в)
x
f ( x ) P ( x )e .
x
x
f ( x ) P ( x )e cos x Q ( x )e sin x.
P ( x ), Q ( x ) — многочлены.

11.

Найдем числа:
n — степень многочлена (в случае в)
наибольшая из степеней);
(в случае а) 0 , в случае в) i );
r — количество корней характеристического
уравнения, равных .
Частное решение уравнения (3) ищем в виде
а, б)
r x
( x) P( x) x e ,
в)
r x
x r
( x ) P ( x ) x e cos x Q ( x )e x sin x,
P ( x ), Q ( x ) — многочлены степени n в общем
виде.

12.

Замечание 1.
Общий вид многочлена степени n
n
0
1
2
3
P( x)
A
Ax B
2
Ax Bx C
3
2
Ax Bx Cx D
Замечание 2.
Неизвестные коэффициенты ищут методом
неопределенных коэффициентов,
подставляя ( x ) в исходное уравнение.