Векторная алгебра. Основные понятия

1.

Векторная алгебра
Основные понятия
Лекция 1

2. Учебники

1. А.В. Клетеник. Сборник задач по аналитической
геометрии.
2. Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического
анализа.
3. М.Л. Каган, М.В. Самохин. Математика в инженерном вузе.
Алгебра и геометрия.
4. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное
исчисление для втузов. Том I.

3. Вычисление определителей второго и третьего порядка Миноры и алгебраические дополнения элементов. Разложение определителя по

строке и по столбцу.
Определитель второго порядка:
a11 a12
a11 a22 a12 a21
a21 a22
Пример.
5 3
5 4 3 ( 2) 20 6 26
2 4

4. Определитель третьего порядка

Определитель третьего порядка:
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a21 a32 a13 a13 a22 a31 a23 a32 a11 a12 a21 a33
a33
Со знаком « + » берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали
и в вершинах двух равнобедренных треугольников с основанием, параллельным
главной диагонали. Со знаком « – » берутся произведения элементов, стоящих на
побочной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников с
основанием, параллельным побочной диагонали.

5. Примеры

Вычислить определитель третьего порядка:
1).
2).
1 2 3
2 3 5 1 3 9 2 8 3 7 2 5 3 3 7 2 2 9 1 5 8 6
7 8 9
1 2 3
2 1 5
3 2 7
Самостоятельно, ответ: -2

6. Решение примера 2):

1 2 3
2 1 5 1 1 7 ( 2) ( 5) 3 ( 2) 2 3 3 1 3 ( 2) ( 2) 7 1 ( 5) 2
3 2 7
7 30 12 9 28 10 2

7. Миноры и алгебраические дополнения

Минором M ik элемента aik определителя называется определитель,
получающийся вычеркиванием i-ой строки и k-го столбца.
Алгебраическим дополнением
элемента
A
ik
взятый со знаком
i k :
называется его минор,
( 1)
Aik ( 1)i k M ik
Пример. Найти миноры и алгебраические дополнения элементов
,
a11 a32
и
определителя
1 2 3 ,
a13
то есть найти
0
3
M11 , M 23 , M13
2
1
и
1
2
A11 , A23 , A13
.

8. Данный определитель:

1. Чтобы найти M11 , вычеркиваем первую строчку и первый
столбец
M11
2 1
4 ( 1) 4 1 5
1 2
A11 ( 1)1 1 M11 ( 1)1 1 5 5
Или:
A11 ( 1)1 1 M11 ( 1)1 1
2 1
( 1)2 (4 ( 1)) 4 1 5
1 2

9. Продолжение решения. Данный определитель:

1 3
M 32
1 0 1,
0 1
M13
0 2
0 6 6,
3 1
A32 ( 1)3 2 M 32 ( 1)3 2 ( 1) 1
A13 ( 1)1 3 M13 ( 1)4 ( 6) 6

10. Второй способ вычисления определителя - разложением по строке или столбцу

Второй способ вычисления определителя разложением по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений всех элементов
любой его строки (столбца) на их алгебраические
дополнения.
Например, разложение по первой строке:
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13
a33

11. Пример

Вычислить определитель, разложив его по первой строке.
1 2 3
2 1
5 1
5 2
5 2 1 1 A11 ( 2) A12 3 A13 1 ( 1)1 1
( 2) ( 1)1 2
3 ( 1)1 3
1 2
3 2
3 1
3 1 2
1 (4 1) 2 (10 3) 3 (5 6) 28

12. Вычислить определитель, разложив его по строке или столбцу (самостоятельно):

13. Решение

Можно выбрать первый столбец
1 2 3
2 1
2 3
0 2 1 1 A11 0 A21 3 A31 1 ( 1)1 1
0 3 ( 1)3 1
1 (4 1) 3 (2 6) 7
1 2
2 1
3 1 2

14. Основные понятия

Математическая величина
Скалярная величина
Векторная величина
(характеризуется численным
значением)
(Характеризуется численным
значением и направлением)

15.

• Определение 1.
• Вектором называется отрезок, имеющий
определенную длину и направление.
В
А
Обозначения:
a, b,
a
b
• Определение 2.
• Модулем вектора (длиной вектора)
называется длина отрезка :
a AB
AB ,...

16. Основные понятия

0 - вектор, у которого начало и конец совпадают.
0 0
• Определение 3.
Коллинеарными называются векторы, если они лежат на одной
прямой или на параллельных прямых.
Определение 4.
b
a
c
Обозначение:
b a c
Углом между векторами
называется наименьший угол,
на который надо повернуть
один из векторов, чтобы их
направления совпали.
a
b

17. Сонаправлеными называются коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление.

Обозначение: a b
Противоположно направлеными
называются коллинеарные векторы,
имеющие противоположные направления.
Обозначение: a b

18. понятия

• Определение 5.
Два вектора называются равными, если
они коллинеарные, имеют одинаковую длину
и одинаковое направление.
a
b
a b
Следствие.
При параллельном переносе получаются равные векторы.

19. Основные понятия

• Определение 6.
Два вектора называются противоположными, если
они коллинеарные, имеют одинаковую длину
и противоположное направление.
a
b a
a
b a
• Определение 7.
Компланарными называются векторы,
если они лежат в одной плоскости или
на параллельных плоскостях.
Замечание. Два вектора всегда компланарны.
b
c

20. Операции с векторами

Сумма векторов.
1. (правило треугольника).
Пусть начало второго вектора совпадает с концом первого.
первого вектора
с концом второго, называется суммой этих векторов.
Тогда вектор, соединяющий начало

21. Операции с векторами

• 2. (правило параллелограмма).
Пусть начала первого и второго векторов совпадают.
Построим на этих векторах параллелограмм.
Тогда вектор, совпадающий с диагональю, проходящей
через общее начало, называется суммой этих векторов.

22.

23. Операции с векторами

• Произведение вектора на число.
• Определение.
Произведением вектора
вектор
коллинеарный вектору
равный по модулю
a на число называется
, a
a
a,
,a
0в ту же сторону, что и a,
• и в противоположную сторону, если . 0
направленный при

24. Орт вектора - это единичный вектор, сонаправленный с вектором .

Орт вектора a - это единичный вектор,
сонаправленный с вектором .
• Орт вектора
обозначается
a
o
o
(a o a,|
a
. | 1)
• Согласно этому определению: a | a | a o или
1
a
a
|a|
o
a
a
o

25. Операции с векторами

• Пример.
Задан вектор
Построение :
1
1
2a, a, a .
2
2
a . Построить векторы
2a
a
,
a
1
a
2
a
1
a
2

26. Теорема. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов

Для того, чтобы два вектора a и b были
коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы
один из них мог быть представлен в виде
произведения некоторого числа на другой вектор,
т.е.
b a b a
(или
a b ).

27.

В этой теореме мы должны доказать два признака: один из
них является необходимым для данного утверждения, а
другой – достаточным.
Что это значит?
Пусть имеется некоторое утверждение и какой-либо признак
для проверки справедливости этого утверждения.
Если из справедливости данного утверждения
следует выполнение признака, то такой признак
называется необходимым для данного
утверждения.

28.

Если же наоборот – из выполнения признака
следует справедливость утверждения, то такой
признак называется достаточным для данного
утверждения.
Признак может быть только необходимым, или
только достаточным, или одновременно и
достаточным и необходимым.

29. Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии коллинеарности двух векторов разобьем на две части.

1.
Докажем необходимость.
Если один из векторов, например, b 0 то
b 0 a a (при 0 ) и теорема доказана.
Пусть векторы a и b коллинеарны, a 0 и b 0
Докажем, что существует действительное число
такое, что b a .

30. Рассмотрим орты векторов :

Рассмотрим орты векторов a и b :
o 1
o 1
a a и b b.
|a|
|b|
o
o
а) Если векторы a и b сонаправлены, то a b , т.е.
|b|
b
a
b a .
или
|a|
|b| |a|
|b|
Обозначив , получим b a .
|a|
Заметим, что 0.

31. б) Если векторы направлены противоположно,

б) Если векторы a и b направлены противоположно,
b
a
то a o b o т.е. | b | | a | или b || ba || a .
|b|
Обозначив , получим b a .
|a|
Заметим. что в этом случае 0.
Таким образом, если векторы a и b коллинеарны, то
b a.

32. Основные свойства операций над векторами

• 1. a b b a
• 2. (a b) c a (b c)
• 3. a ( a) 0
• 4. (a b) a b
• 5. ( 1 2 )a 1 a 2 a
• 6. ( 1 2 )a 1 ( 2 a)
Самостоятельно доказать свойства 3-6.

33.

34.

Базисом на плоскости называются любые два
неколлинеарных вектора в этой плоскости.

35. Разложение векторов по базису на плоскости.

• Теорема 1.
a и b - неколлинеарные,
• векторы a , b, c- компланарные.
Пусть векторы
Тогда найдутся такие постоянные
что
Такое разложение единственное.
Доказательство.
и ,
c a b
p
q
c p q
a
p a
c
b
q b
c a b

36.

Единственность.
Предположим :
c a b
c 1 a 1 b (хотя бы одно из неравенств
1 и 1 выполнено)
Пусть
1
0 ( 1 )a ( 1 )b
( 1 )
b
a
( 1 )
b a
(противоречие)

37. Разложение векторов в пространстве

• Теорема 2.
a, b, c - некомпланарные.
• Тогда найдутся такие постоянные ,
, ,
Пусть векторы
что любой вектор
в виде
(разложить по векторам
Такое разложение единственное.
d можно записать
d a b c
a , b, c
Д.з. Самостоятельно построить
чертеж и получить разложение

38. Разложение векторов в прямоугольной системе координат

• Рассмотрим прямоугольную систему координат.
z
i , j, k
Векторы
-единичные (орты),
направленные по осям x, y, z (соответственно)
k
i
0
Определение 2.
y
j
x
Тройка векторов i, j , k называется
ортонормированным базисом
в пространстве.
• Теорема 3.
В пространстве любой вектор
базису
:
Такое разложение единственное.
d
можно разложить по ортонормированному
d xi y j z k

39. Координаты вектора

Определение 3.
Коэффициенты x, y, z разложения
d xi y j z k
называются прямоугольными координатами
вектора:
Частный случай.
d
;
d x, y, z
d расположен на координатной плоскости хоу,
• то разложение будет иметь вид
d xi y j
Если вектор
Коэффициенты х, у называются прямоугольными координатами
вектора на плоскости :
d x, y

40. Проекции вектора

• Рассмотрим вектор M M и ось
1
2
M2
M1
0
x1
x2
• Определение.
Проекцией вектора M 1M 2 на ось
называется
разность проекций конца M 2 и начала M 1 вектора на эту ось;
Пр M1M 2 x2 x1

41.

• Свойства проекций
• 1. Пр (a b) Пр a Пр b
• 2. Пр ( a) Пр a
• 3. Пр a a cos ,
a
где угол между a и
• 4. Связь координат вектора и проекций на оси.
Пусть вектор d на плоскости имеет разложение:
d Xi Y j
d p q Прх d i Пру d j
у
q
d
j
0
i
х
p
X Пр х d; Y Пр у d

42. Следовательно,

Координаты вектора – это его проекции на оси
координат.
a {X; Y}

43. Координаты вектора в пространстве: OA = X; OB = Y; OC = Z.

a {X ;Y;Z}

44. Координаты вектора в пространстве

d X, Y, Z Пр х d, Пр у d, Пр z d
• Следствие.
Если вектор M 1M 2 задан двумя точками,
M1 ( x1 , y1 , z1 ) начало, M 2 ( x2 , y2 , -z2 ) конец,
то
M1M 2 x2 x1 , y2 y1 , z2 z1
• Чтобы найти координаты вектора, надо от координат
конца вычесть координаты начала.

45. Действия с векторами, заданными в координатной форме

• Сумма и разность векторов,
• произведение вектора на число.
Пусть
Тогда
a x1 , y1 , z1 и b x2 , y2 , z 2
a b x1 x2 , y1 y2 , z1 z2
2. a x , y , z
1
1
1
1.
Модуль вектора
a x y z
2
1
Орт вектора
2
1
x y z
a 1 , 1, 1
a a a
o
2
1

46.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности
векторов, заданных в координатной форме.
Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда
соответствующие координаты этих векторов пропорциональны.
Пусть
Доказательство.
a x1 , y1 , z1 и b x2 , y2 , z 2
Тогда
x1
y1
z1
a b
x2
y2
z2
x1
y1
z1
x1 x2
a b a b y1 y2
x2
y2 z 2
z1 z2