Построение сечений многогранников на основе аксиоматики

1.

2.

Через любые три точки, не лежащие
Аксиома 1. на одной прямой, проходит
плоскость, и притом только одна.
В
А
С
A, B, C одной прямой
! : А , В , С

3.

Если две точки прямой лежат в
Аксиома 2:
плоскости, то все точки прямой
лежат в этой плоскости.
В
А
А , В прямая АВ

4.

Аксиома 3:
Если две плоскости имеют общую
точку, то они имеют общую прямую,
на которой лежат все общие точки
этих плоскостей.
М
M ,
M ,
m
m
В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой

5.

1. Через прямую и не лежащую на ней точку
проходит плоскость, и притом только одна.
m
М
М m ! плоскость

6.

2. Через две пересекающиеся прямые
проходит плоскость, и притом только одна.
b
а
a b ! плоскость

7.

Две прямые лежат в одной плоскости
1. Прямые
параллельны
2. Прямые
пересекаются
Нет общих точек
Одна общая точка

8.

Не лежат в одной плоскости:
являются скрещивающимися
m
М
a
a , m M , M a a m

9.

1. Прямая лежит в плоскости
Бесконечно
много общих
точек
2. Прямая пересекает плоскость
Одна общая
точка

10.

3. Прямая параллельна плоскости.
Нет общих точек
Признак параллельности прямой и плоскости:
Если прямая, не лежащая в данной плоскости,
параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в
этой плоскости, то она параллельна данной
плоскости.

11.

По трем точкам
(аксиома 1)
По прямой и не лежащей
на ней точке (следствие 1)
По двум пересекающимся По двум параллельным
прямым (по определению
прямым (следствие 2)
параллельных прямых)

12.

13.

А
Нет точек пересечения
А
В
Пересечением
является отрезок
Одна точка пересечения
В
А
С
Пересечением
является плоскость

14.

Секущей плоскостью многогранника называют любую
плоскость, по обе стороны от которой имеются точки
данного многогранника.
Многоугольник, полученный при пересечении многогранника
и плоскости, называется сечением многогранника
указанной плоскостью

15.

16.

Какие многоугольники могут
получиться в сечении тетраэдра?

17.

Какие многоугольники могут
получиться в сечении
параллелепипеда?

18. Алгоритм построения сечения

Построить точки пересечения секущей плоскости с
ребрами многогранника.
Полученные точки, лежащие в одной грани, соединить
отрезками.
Многоугольник, ограниченный данными отрезками, и
есть построенное сечение.
Замечание: если секущая плоскость пересекает
противоположные грани параллелепипеда по каким –
либо отрезкам, то эти отрезки параллельны.

19.

№1. Построить сечение, определенное
точками K, L, M.
Р
1. Прямая КМ
K
2. Прямая МL
L
3. Прямая КL
В
КМL –сечение
?
А
M
(аксиома 1)

20.

N2. Построить сечение, определяемое
пересекающимися прямыми АС1 и А1С.
В1
А1
С1
D1
2. Прямые АА1 и СС1
АА1С1С - сечение
В
А
1. Прямые А1С1 и АС
С
D
?
(следствие 2)

21.

N3. Определите вид сечения куба АВСДА1В1С1Д1
плоскостью, проходящей через ребро А1Д1 и
середину ребра ВВ1.
D1
С1
А1
В1
1. Прямая А1М
2. Прямая МК A1D1
К 3. Прямая D1K
A1D1KM - сечение
D
А
С
М
В

22.

N4. Постройте сечение куба плоскостью,
проходящей через точку М и прямую АС .
К
В1
А1
М
С1
А
С
D
2. Прямая МК II AC
3. Прямая AK
D1
В
1. Прямая СМ
AKМС - сечение

23.

N5. Построить сечение пирамиды плоскостью,
проходящей через точку К и параллельно
плоскости основания пирамиды.
S
1. Прямая КМ II AD
2. Прямая КN II DC
3. Прямая МP II AB
4. Прямая PN II BC
В
P
N
M
К
С
KMPN - сечение
А
D