Теорема 5 (основная теория векторной алгебры)

1.

(уже записали к прошлой лекции)
ТЕОРЕМА 5 (основная теор. векторной алгебры).
Пусть {α1, α2, α3} – координаты вектора ā в базисе ē1, ē2,
ē3
же базисе.
Тогда
{β1, β2, βn} – координаты вектора b̄ в том
1) вектор ā + b̄ будет иметь в базисе ē1, ē2, ē3
координаты
{α1 + β1, α2 + β2, α3 + β3};
2) λ ℝ вектор λā будет иметь в базисе ē1,ē2,ē3
координаты10 клеточек
пропустить
{λα1 , λα2, λα3} .

2.

ТЕОРЕМА 6 (критерий коллинеарности свободных векторов в
координатной форме).
Векторы ā = {α1 ; α2 ; α3} и b̄ = {β1 ; β2 ; β3} коллинеарны
их координаты пропорциональны, т.е.
1 2 3
k.
1 2 3
Причем, если коэффициент пропорциональности k > 0 , то
векторы ā и b̄ – сонаправлены; если k < 0, то ā и b̄ –
противоположно направлены .
пропустить 15 клеточек

3. Cвязь координат вектора в разных базисах

(отсюда начинается новенькое)
Cвязь координат вектора в разных базисах
пропустить 30 клеточек

4. Простейшие задачи векторной алгебры

Пусть задана декартова система координат и базис i, j, k (i, j).
1. Координаты вектора по известным координатам начала и
конца A( x1 , y1 , z1 ) B( x2 , y2 , z2 )
AB {x2 x1 , y2 y1 , z2 z1}
пропустить 10 клеточек
2. Длина вектора по известным координатам.
y
B
ay
A
O
ax
C
x
Оставить место

5.

3. Координаты орта вектора.
ОПР. Ортом вектора ā называется вектор ā0,
сонаправленный с вектором ā и имеющий единичную длину .
Пусть , и – углы, которые вектор ā образует с координатными осями Ox , Oy и Oz соответственно .
cos , cos и cos называются направляющими косинусами
вектора ā .
пропустить 20 клеточек

6.

4. Деление отрезка в заданном соотношении.
Задача. Найти координаты точки, которая делит отрезок в
заданном отношении, если известны координаты концов
отрезка.
ОПР. Говорят, что точка M0 делит отрезок M1M2 в
отношении ( –1) если
M1M0 M0M 2
Если > 0 , то точка M0 лежит между точками M1 и M2 .
Тогда точка M0 делит отрезок M1M2 во внутреннем
отношении.
Если < 0 , то точка M0 лежит на продолжении отрезка M1M2.
Тогда точка M0 делит отрезок M1M2 во внешнем отношении.
пропустить 15 клеточек

7. Нелинейные операции на множестве векторов

1. Скалярное произведение векторов
2. Векторное произведение векторов
3. Смешанное произведение векторов
1. Скалярное произведение векторов
ОПР.
Скалярным
произведением
двух
ненулевых векторов ā и b̄ называется
число, равное произведению их модулей на
косинус угла между ними, т.е. число
(ā,b̄) = | ā | | b̄ | cos
Если ā = 0̄ или b̄ = 0̄, то скалярное
произведение векторов ā и b̄ полагают равным
Обозначают: (ā,bнулю.
̄), < ā,b̄> .

8.

СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
1) (a, b ) (b , a ) (коммутативность), т.к. cos a, b cos b, a
2) ( a , b ) a Пр a b b Пр b a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией вектора ā на вектор b̄ называется проекция вектора ā на ось, определяемую вектором b̄ .
пропустить 6 клеточек
3) ( a, b ) (a, b ) (a, b )
4)
(a1 a2 , b ) (a1, b ) (a2 , b )
(a, b1 b2 ) (a, b1) (a, b2 )
5) ( a , a ) a
2
6) Критерий перпендикулярности векторов. Если (a, b) 0, то a b

9.

7) Если в декартовом прямоугольном базисе векторы ā и b̄
имеют координаты: ā = {ax; ay; az} , b̄ = {bx; by; bz} , то
(ā , b̄ ) = axbx + ayby + azbz .
(1)
Формулу (1) называют выражением скалярного произведения через декартовы координаты векторов.
Почему так?
пропустить 20 клеточек
8) Если под действием постоянной силы F̄ точка перемещается
по прямой из точки M1 в M2 , то работа силы F̄ будет
равна
A F, M 1 M 2
(физический смысл скалярного произведения).