Построение сечений многогранников на основе аксиоматики

1.

2.

Цель: обобщить, систематизировать, закрепить
полученные знания..
Общекультурная и научная задача:
развитие визуального, наглядно-образного типов
мышления.
Воспитательная задача:
привитие аккуратности, коллективизма.

3.

Что изучает стереометрия ?
Стереометрия знакомит с разнообразием
геометрических тел, формирует
необходимые пространственные
представления.
Стереометрия дает метод научного
познания, способствует развитию
логического мышления.
Стереометрия – сама по себе очень
интересна. Она имеет яркую историю,
связанную с именами знаменитых
ученых

4.

"Те, кто влюбляются в практику без теории,
уподобляются мореплавателю, садящемуся
на корабль без руля и компаса и потому
никогда не знающему, куда он плывет".
Леонардо да Винчи

5.

Через любые три точки, не лежащие
Аксиома 1. на одной прямой, проходит
плоскость, и притом только одна.
В
А
С
A, B, C одной прямой
! : А , В , С

6.

Если две точки прямой лежат в
Аксиома 2:
плоскости, то все точки прямой
лежат в этой плоскости.
В
А
А , В прямая АВ

7.

Аксиома 3:
Если две плоскости имеют общую
точку, то они имеют общую прямую,
на которой лежат все общие точки
этих плоскостей.
М
M ,
M ,
m
m
В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой

8.

1. Через прямую и не лежащую на ней точку
проходит плоскость, и притом только одна.
m
М
М m ! плоскость

9.

2. Через две пересекающиеся прямые
проходит плоскость, и притом только одна.
b
а
a b ! плоскость

10.

Две прямые лежат в одной плоскости
1. Прямые
параллельны
2. Прямые
пересекаются
Нет общих точек
Одна общая точка

11.

Не лежат в одной плоскости:
являются скрещивающимися
m
М
a
a , m M , M a a m

12.

1. Прямая лежит в плоскости
Бесконечно
много общих
точек
2. Прямая пересекает плоскость
Одна общая
точка

13.

3. Прямая параллельна плоскости.
Нет общих точек
Признак параллельности прямой и плоскости:
Если прямая, не лежащая в данной плоскости,
параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в
этой плоскости, то она параллельна данной
плоскости.

14.

По трем точкам
(аксиома 1)
По прямой и не лежащей
на ней точке (следствие 1)
По двум пересекающимся По двум параллельным
прямым (по определению
прямым (следствие 2)
параллельных прямых)

15.

А
Нет точек пересечения
А
В
Пересечением
является отрезок
Одна точка пересечения
В
А
С
Пересечением
является плоскость

16.

Секущей плоскостью многогранника называют любую
плоскость, по обе стороны от которой имеются точки
данного многогранника.
Многоугольник, полученный при пересечении многогранника
и плоскости, называется сечением многогранника
указанной плоскостью

17.

Используя
полученные
знания,
применим их к построению сечений
многогранников на основе аксиоматики.
ПРОБЛЕМА!!!

18.

Умение решать задачи –
практическое искусство,
подобное плаванию, или
катанию на лыжах … :
научиться этому можно
лишь подражая избранным
образцам и постоянно
тренируясь..
Д. Пойа

19. Алгоритм построения сечения

Построить точки пересечения секущей плоскости с
ребрами многогранника.
Полученные точки, лежащие в одной грани, соединить
отрезками.
Многоугольник, ограниченный данными отрезками, и
есть построенное сечение.
Замечание: если секущая плоскость пересекает
противоположные грани параллелепипеда по каким –
либо отрезкам, то эти отрезки параллельны.

20.

№1. Построить сечение, определенное
точками K, L, M.
Р
1. Прямая КМ
K
2. Прямая МL
L
3. Прямая КL
В
КМL –сечение
?
А
M
(аксиома 1)

21.

N2. Построить сечение, определяемое
пересекающимися прямыми АС1 и А1С.
В1
А1
С1
D1
2. Прямые АА1 и СС1
АА1С1С - сечение
В
А
1. Прямые А1С1 и АС
С
D
?
(следствие 2)

22.

N3. Определите вид сечения куба АВСДА1В1С1Д1
плоскостью, проходящей через ребро А1Д1 и
середину ребра ВВ1.
D1
С1
А1
В1
1. Прямая А1М
2. Прямая МК A1D1
К 3. Прямая D1K
A1D1KM - сечение
D
А
С
М
В

23.

N4. Постройте сечение куба плоскостью,
проходящей через точку М и прямую АС .
К
В1
А1
М
С1
А
С
D
2. Прямая МК II AC
3. Прямая AK
D1
В
1. Прямая СМ
AKМС - сечение

24.

N5. Построить сечение пирамиды плоскостью,
проходящей через точку К и параллельно
плоскости основания пирамиды.
S
1. Прямая КМ II AD
2. Прямая КN II DC
3. Прямая МP II AB
4. Прямая PN II BC
В
P
N
M
К
С
KMPN - сечение
А
D

25.

МЕТОД СЛЕДОВ
Суть метода: построение вспомогательной
прямой, являющейся линией пересечения
секущей плоскости с плоскостью грани фигуры.
Эту линию называют следом секущей
плоскости.

26.

Постройте сечение куба, проходящее через
точки P, М, К.
М
А
К
О
С
1. Прямая МК
В
Т
2. Прямая КР
3. Прямая ОТ
Р
4. Прямая МТ
МАВРС - сечение

27.

M
P
M
N
P
M
N
N
P
N
M
N
M
P
N
P
P
M

28.

Решения варианта 1.
M
P
M
N
P
M
N
N
P
Решения варианта 2.
N
M
N
M
P
N
P
P
M

29.

ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА
Какие многоугольники могут
получиться в сечении тетраэдра?

30.

Какие многоугольники могут
получиться в сечении
параллелепипеда?

31.

N2. Построить сечение, определяемое
параллельными прямыми АА1 и CC1.
В1
С1
А1
1. Прямая А1С1
2. Прямая АС
D1
В
А
С
D
АА1С1С - сечение
?

32.

N4. Построить сечение по прямой BC и
точке М.
Р
1. Прямая ВС
2. Прямая СМ
М
3. Прямая ВМ
В
ВСМ - сечение
?
А
С
(следствие 1)

33.

N7. Построить сечение правильной призмы
плоскостью, проходящей через ребро АВ и
точку М середину ребра В1С1.
А1
К
С1
М
В1
А
С
1. Прямая ВМ
2. Прямая МК
параллельно АВ
3. Прямая АК
АКМВ - сечение
В

34.

Дана пирамида MABCD. Постройте сечение
пирамиды, проходящее через точки P, Q, R.
M
P
R
A
F
1) PR AB=F;
N
B
C
Q
T
D
E
2) FQ AD=E;
3)FQ BC=T; 4)PT MC=N;
5)PREQNP – ИСКОМОЕ СЕЧЕНИЕ

35.

Составить две задачи на
построение сечений
многогранников с использованием
полученных знаний.

36.

Если вы хотите научиться плавать, то
смело входите в воду, а если хотите
научиться решать задачи, то решайте
их.
(Д. Пойа)