Волновая функция в импульсном представлении

1.

Волновая функция в импульсном представлении
Задача. Волновая функция частицы в координатном представлении имеет вид
ip0 x x 2
x C exp
2
2a
Вычислить плотность распределения вероятности импульса частицы в этом состоянии?

2.

Принцип суперпозиции
x dp a p p ( x)
a p - волновая функция частицы в импульсном представлении
Плотность распределения вероятности импульса
p ap
2
a p dx *p ( x) x ?

3.

Волновая функция частицы в импульсном представлении
i p p0 x x 2
1
1
ap
dx exp
2
1/ 4
2
2a
2 a
Табличный интеграл
dx exp px qx
2
ap ?
p2
exp
q
4q

4.

Волновая функция частицы в импульсном представлении (продолжение)
2 2
2 2
p p0 a
p p0 a
1
1
a
2
ap
2 a exp
exp
1/ 4
2
1/ 2
2
2
2
2
2 a
Плотность распределения вероятности импульса
p p0 2 a 2
p
exp
2
2
a2

5.

Облегчённый способ получения нормировочного множителя в случае
гауссова распределения
Из табличного интеграла следует, что
ap
p p0 2 a 2
exp
2
2
Поэтому плотность распределения вероятности импульса
p p0 2 a 2
p A exp
2
Условие нормировки
p p0 2 a 2
a2
1 A
2
2
dp p A dp exp

6.

Задача для самостоятельного решения. Найти собственные волновые функции
операторов импульса и координаты в импульсном представлении.