(8.2) 11_2_Free_particle_in_pulse_presentation (2)

1.

«Нерасплывание» волнового пакета в импульсном представлении
Найти волновую функцию свободной частицы в произвольный момент времени в
импульсном представлении если начальное состояние в координатном представлении
описывается «гауссовой» функцией
ip0 x x 2
( x, t 0) ( x)
exp
2
2 1/ 4
2a
a
1
Нестационарное уравнение Шрёдингера в координатном представлении
( x, t ) pˆ 2
i
( x, t )
t
2m
Записать уравнение Шрёдингера и начальное условие в импульсном представлении?

2.

Нестационарное уравнение Шрёдингера в импульсном представлении
i
a p (t )
t
p2
a p (t )
2m
Начальное условие в импульсном представлении
1/ 4
a
a p t 0 dx ( x) x 2
2
*
p
Найти решение?
p p0 2 a 2
exp
2
2

3.

Ищем решение в виде
ip 2t
a p t f p exp
2
m
Найти
fp ?

4.

Решение
2 2
p p0 a
pt a
ip 2t
a p t a p t 0 exp
2 exp
2
2
2m
2m
2
2
Найти дисперсию импульса?
p p ?
2

5.

Дисперсия импульса не зависит от времени
p p dp p p a p t
2
2
2
2
2a 2
В то же время дисперсия координаты от времени зависит!
2 2
1 2
t
x x a 2 2
2
ma
2
Почему?

6.

Вычислить оператор
d pˆ p
?
dt
2
Что для этого надо сделать?

7.

Производная по времени
d pˆ p
i ˆ
2
H , pˆ p
dt
2
«Медицинский факт»: коммутатор не зависит от представления, в котором его вычисляют!
Вычислить производную в импульсном представлении?

8.

Производная по времени в импульсном представлении
d pˆ p
i ˆ
i 2
2
2
H , pˆ p
p , p p 0
2m
dt
2
Дисперсия импульса для любого состояния свободной частицы
является интегралом движения?