Похожие презентации:
Потенциальная яма в импульсном представлении
1. 1.5. Потенциальная яма в импульсном представлении
Импульсное представление.Распределение по импульсам.
Возврат в координатное представление
2. Импульсное представление
Спектр квантовой задачи является инвариантом, не зависящим от выборабазиса
Импульсное представление – фурье-преобразование координатного
пространства
Базис в импульсном представлении
L – ширина ямы или ширина области, в которой локализован потенциал
или волновые функции частицы
Формально базис при построении гамильтоновой матрицы можно
представить в виде
Единица означает, что соответствующая базисная функция описывает
состояние частицы
с импульсом k
3. Точное решение задачи
Известно аналитическое решение этой задачи:0
-2
-4
U(x)
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
4. Решение в координатном представлении
Решение задачи в координатном представлении (случай конечной ямы):1.2
n=5
n=4
n=3
n=2
n=1
| (x)| 2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
5. Решение в импульсном представлении
Для решения задачи в импульсном представлении следует записатьгамильтониан в терминах импульсного базиса
Кинетическая энергия диагональна в импульсном представлении:
Слагаемое, отвечающее потенциальной энергии частицы, недиагонально:
Результат расчета практически не изменится, если последнее выражение
рассчитать аналитически:
6. Решение в импульсном представлении
Гамильтонова матрица в импульсном представлении:Матрица является плотной
Результатом диагонализации будут собственные значения, являющиеся
спектром системы, и собственные функции, отвечающие этим
собственным значениям, которые теперь будут зависеть не от координаты,
а от импульса частицы
Значения импульса меняются от – π/h до π/h с шагом π/a
7. Распределение по импульсам
Спектр системы не зависит от представления, в котором построена гамильтонова матрица. Решение задачи в импульсномпредставлении:
Собственные функции зависят от представления, в котором построена гамильтонова матрица. После диагонализации матрицы будут
получены собственные функции в импульсном представлении.
8. Распределение по импульсам
n=1n=2
n=3
n=4
0.25
| (p)| 2
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-6
-4
-2
0
p
2
4
6
9. Возврат в координатное представление
Чтобы получить из собственных функций в импульсном представлениисобственные функции в координатном представлении, необходимо
выполнить обратное фурье-преобразование:
Для четных собственных функций:
Для нечетных собственных функций:
10. Возврат в координатное представление
1.2n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
| (x)|2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4