лекция 2 СЛУ

1.

2.

Системой n линейных уравнений с n
неизвестными называется система вида

3.

Матрицу коэффициентов при неизвестных
обозначим
неизвестные переменные системы
свободными коэффициентами считаем

4.

Решить систему линейных уравнений
(СЛУ), значит, найти такие значения
,
которые при подстановке в уравнения
системы дают верное равенство.
СЛУ может иметь единственное решение,
множество решений или не иметь
решения.

5.

СЛУ называется совместной, если она имеет
хотя бы одно решение.
СЛУ называется несовместной, если она не
имеет решений.
Совместная СЛУ называется определенной, если
она имеет единственное решение.
Совместная СЛУ называется неопределенной,
если она имеет более одного решения.

6.

Матрица А называется невырожденной,
если ее определитель не равен нулю.
Если матрица коэффициентов при
неизвестных является невырожденной,
то СЛУ имеет единственное решение.

7.

В противном случае СЛУ может иметь
множество решений (является
неопределенной) или не иметь решения
(является несовместной).

8.

Если свободные коэффициенты СЛУ
равны нулю, то она называется
однородной (ОСЛУ).

9.

Если матрица коэффициентов при
неизвестных ОСЛУ является
вырожденной, то система имеет
множество решений.
Если матрица коэффициентов при
неизвестных является невырожденной,
то ОСЛУ имеет единственное нулевое
решение , т.е.
х1=0, х2=0, … хn=0.

10.

Решение систем линейных
уравнений методом Крамера

11.

Рассмотрим алгоритм метода Крамера на
данной СЛУ

12.

Пусть определитель матрицы
коэффициентов при неизвестных
т.е. матрица А –невырожденная.
Значит, система имеет единственное
решение.

13.

Вычислим определители
:

14.

Можно доказать, что решение данной
системы линейных уравнений будет
единственным и вычисляется по
формулам:

15.

Пример
Решить СЛУ
Решение:
Вычислим определитель коэффициентов
при неизвестных

16.

Вычислим определители

17.

Тогда решение СЛУ имеет вид

18.

При подстановке полученных значений в
заданную
систему
получаем
верное
тождество:
Значит, решение найдено верно.
Ответ:

19.

Решение системы линейных
уравнений с помощью
обратной матрицы

20.

СЛУ можно представить в матричном
форме
что легко проверить

21.

Здесь А - невырожденная матрица
коэффициентов при неизвестных Х;
Х - столбец неизвестных переменных;
В - столбец свободных коэффициентов.
Так как матрица А - невырожденная, то
обратная к ней существует.

22.

Тогда из матричного уравнения
следует
или
или
Таким образом решение СЛУ, равно
произведению обратной матрицы
коэффициентов при неизвестных на
столбец свободных коэффициентов.

23.

Пример
Рассмотрим решение предыдущей СЛУ с
помощью обратной матрицы:
Решение:
Как было показано в предыдущем
решении определитель

24.

Так как определитель матрицы не равен
нулю, можно найти обратную к исходной
матрице
Находим союзную матрицу, вычислив
алгебраические дополнения элементов
матрицы А.

25.

26.

Союзная матрица имеет вид
Обратная матрица

27.

Тогда решение заданной СЛУ имеет вид
Ответ:

28.

Решение системы линейных
уравнений методом Гаусса

29.

Метод Гаусса - это классический метод
решения СЛУ.
Назван в честь немецкого математика
Карла Фридриха Гаусса.
Он представляет собой итерационный
(пошаговый) процесс.

30.

На каждом шаге производятся
последовательные исключения
неизвестных переменных.
С помощью элементарных преобразований
система уравнений приводится к
равносильной системе треугольного вида,
из которой последовательно, начиная с
последних (по номеру), находятся все
искомые переменные системы.

31.

Пусть дана система n-уравнений с n
неизвестными
В матричной форме:
Решение существует и единственно
тогда и только тогда, когда

32.

Метод Гаусса: прямой ход
Пусть
, тогда ко всем уравнениям,
начиная со второго прибавим первое,
умноженное на
, где i=2,3, …n

33.

Получим систему

34.

Повторяем предыдущий шаг с
уравнениями i=3,4,…n и получаем
систему линейных уравнений в верхнетреугольном виде:
Теперь можно выразить

35.

Метод Гаусса: обратный ход

36.

Пример
Решить СЛУ методом Гаусса
Решение
Для удобства, запишем все коэффициенты данной
системы в, так называемую, расширенную матрицу

37.

Выполняем элементарные преобразования над
элементами расширенной матрицы, чтобы
привести исходную матрицу к треугольному виду
(прямой ход)
Переписываем первую строку без изменения.
Чтобы получить ноль под элементом а11=1 во
второй строке, необходимо все элементы первой
строки умножить на (-2) и прибавить ко второй
строке.

38.

В результате получаем
Далее переписываем первую и вторую строки
без изменения.
Чтобы получить ноль под элементом а11=1 в
третьей строке необходимо все элементы
первой строки умножить на (-1) и прибавить к
третьей строке.

39.

В результате получаем
Разделим вторую строку на 7
Теперь получаем ноль в третьей строке под
диагональным элементом второй строки а22=1

40.

Для этого все элементы второй строки
необходимо умножить на (-1) и прибавить к
третьей строке.
Перейдем из матричной формы к обычному
виду СЛУ

41.

Получаем систему в виде
Применяем обратный ход.
Из последнего уравнения х3 = -0,4. Подставляем во
второе уравнение, получаем х2 = -0,6. Подставляем в
первое уравнение найденные решения, получаем
х1 = 0,2.

42.

Пример 2
Решить СЛУ