Системы линейных уравнений

1. Высшая математика

Преподаватель: Лучникова Н.И.

2. Системы линейных уравнений

Тема 2. Системы линейных уравнений.
п.2.1.Основные понятия и определения
Определение. Уравнение называется линейным, если оно содержит
переменные только в первой степени и не содержит произведений
переменных.
Пример. 2x – 3y + 5 = 0 – линейное уравнение.
Уравнение 3x + 4 x y - 5y + 2 = 0 не является линейным.
В общем виде система m линейных уравнений с n переменными
записывается так:
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...
...
...
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bm
,
(1)
где числа aij (i = 1, …, m, j = 1, …, n) называются коэффициентами
при переменных, bi (i = 1, …, m) – свободными членами.

3. Системы линейных уравнений

Определение. Совокупность чисел ( х1, х2, … , хn) называется решением
системы (1), если при подстановке их вместо переменных во все уравнения
они обращаются в верные равенства.
Определение. Система (1) называется несовместной, если у нее нет ни
одного решения и совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Определение. Система (1) называется однородной, если все свободные
члены равны нулю, в противном случае система называется неоднородной.
Определение. Совместная система называется определенной, если она имеет
только одно решение.

4. Системы линейных уравнений

Матричная форма записи системы линейных уравнений
Системе линейных уравнений (1) соответствует матрица
а12
...
а1п
а11
а 22
...
а2п
а 21
А
,
...
...
...
...
а
ат 2
...
а тп
т1
называемая матрицей системы.
Запишем систему (1) в матричной форме. Пусть
х1
х2
х
,
х
п
членов.
b1
b
b 2
b
m
–
матрицы-столбцы
Тогда легко показать,
следующей матричной форме:
что
система
переменных
(1)
может
Ax b
а12
...
а 22
...
...
...
ат 2
...
а1п
а2п
...
а тп
быть
свободных
записана
в
(2)
Действительно, произведение
равно числу строк x :
а11
а
А x 21
...
а
т1
и
Ax
определено, т.к. число столбцов A
x1
a11 x1
x2
a 21 x1
=
...
a
xn
m1 x1
a12 x2
...
a 22 x2
...
...
...
a m 2 x2
...
a1n xn
a 2 n xn
...
a mn xn
Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы.
Поэтому, приравнивая соответствующие элементы A x и b , получим
систему (1). Итак, систему (1) можно записать в компактной матричной
форме (2).
Перейдем теперь
уравнений.
к
рассмотрению
способов
решения
систем
линейных

5. Системы линейных уравнений

п.2.2. Методы решения системы n линейных уравнений с n переменными
1.Матричный способ решения систем линейных уравнений
Рассматривается система линейных уравнений (1), когда число уравнений
равно числу неизвестных:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...
...
...
...
...
ап1 х1 ап 2 х2 ... апп хп bп
Эту систему представим в матричной форме
Ax b .
Пусть det A = 0. Тогда существует обратная матрица A-1. Умножим
обе части матричного уравнения на A-1 слева. Получаем:
A-1(A x ) = A-1 b ;
(A-1A) x = A-1 b ;
A-1A = E
E x = A-1 b ;
x = A-1 b , т.к. E x = x .
Таким образом, решение системы можно найти по формуле
x = A-1 b .

6. Системы линейных уравнений

Пример. Решим систему линейных уравнений
2 х1 3 х 2 2 х3 9
х1 2 х 2 3 х3 14
3 х 4 х х 16
1
2
3
матричным способом.
Решение.
Запишем систему в матричной форме A х b , где
2
A 1
3
3
2
4
x1
x x2
x
3
2
3
1
,
9
b 14
16
Решение матричного уравнения имеет вид:
x = A-1 b .
Поскольку обратная матрица равна (убедиться самим):
A 1
14
1
10
6
2
5
4
1
13
8 ,
1
то имеем:
x
14
1
10
6
2
5
4
1
13 9
126
1
8 14
90
6
1 16
18
x1
x2
x
3
x1 = 2; x2 = 3; x3 = - 2.
70
56
14
2
3
2
208
12
2
1
128
18
3
6
12
2
16

7. Системы линейных уравнений

2. Правило Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений (1), когда число уравнений
равно числу неизвестных:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a
21 1
22 2
2 n xn b2
...
...
...
...
...
а п1 х1 а п 2 х2 ... апп хп bп
(3)
Систему (3) принято называть квадратной, ей соответствует матрица
системы:
а11
а
А 21
...
а
п1
а12
...
а 22
...
...
...
ап 2
...
а1п
а2п
...
а пп
Теорема Крамера. Если определитель системы (3) 0 , то система
уравнений имеет единственное решение, вычисляемое по формулам Крамера
xi
i
(i = 1, 2, …n),
где i – определитель, получаемый из определителя путем замены i - го
столбца столбцом свободных членов.
Т.е. 1
и т.д.
b1
a12
...
a1n
b2
a 22
...
a2n
...
...
...
...
bn
an 2
...
a nn
,
2
a11
b1
a13
...
a1n
a 21
b2
a23
...
a2n
...
...
...
...
...
a n1
bn
a n3
...
ann

8. Системы линейных уравнений

Пример. Решить систему линейных уравнений
х1 2 х 2 3 х 3 0
2 х1 х 2 3 х 3 1
3 х х 2 х 3
2
3
1
Решение. Легко убедиться, что определитель системы = -10. Поэтому
система имеет единственное решение, которое может быть найдено по
формулам Крамера:
x1
1
, x 2 2 , x3 3 ,
где i получается из определителя заменой в нем i - го столбца столбцом
свободных членов.
1 =
2 =
3 =
0
2
3
1
1
3
3
1
2
1
0
3
2
1
3
3
3
2
1
2
0
2
1
1
3
1
3
= -10
= -20
= 10.
Определители вычесляются, например, по правилу треугольника (см.
тему Определители).
Остается привести решение системы уравнений:
x1 = 1 = 1; x2 = 2 = 2; x3 = 3 = -1.

9. Системы линейных уравнений

3. Метод Гаусса
Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных –
заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система
уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или
треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по
номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
!!!!! Это универсальный метод, который позволяет решать не только
системы линейных уравнений, где
рассмотрим более общий случай.
m=n,
но и при
m≠n.
Поэтому

10. Системы линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными (общий случай)
Рассмотрим теперь общий случай системы уравнений:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...
... ...
...
...
ат1 х1 ат 2 х2 ... атп хп bm
,
(4)
Данной системе соответствует матрица
а11
а21
А
...
а
т1
b1
а22 ... а2п
b2
,
... ... ...
...
ат 2 ... атп
bm
называемая расширенной матрицей системы.
Матрица A вполне определяет систему (4): по ней полностью можно
воспроизвести систему (4) с точностью до обозначения неизвестных.
а12
...
а1п

11. Системы линейных уравнений

Приведем без доказательства критерий совместности систем линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений (4) совместна
тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу её
расширенной матрицы, т.е. r (A) = r( А ).
Этот критерий позволяет установить совместность или несовместность
системы без предварительного её решения.
Без доказательства приведем одно очевидное утверждение.
Утверждение. Элементарным преобразованиям матрицы А системы (4)
соответствуют элементарные преобразования уравнений этой системы:
(а) вычеркивание уравнения с нулевыми коэффициентами;
(б) перестановка двух уравнений системы местами;
(в) умножение строки на число, неравное нулю;
(г) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное
число.
Из элементарной математики нам известно, что при элементарных
преобразованиях системы получается новая система, эквивалентная данной.

12. Системы линейных уравнений

БОЛЕЕ ПОДРОБНО О МЕТОДЕ ГАУССА.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса – это метод последовательного исключения переменных из
уравнений системы. Смысл метода заключается в том, что с помощью
к
приводится
уравнений
система
преобразований
элементарных
равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно,
начиная с последних переменных, определяются остальные неизвестные.
Метод Гаусса состоит из прямого и обратного хода. Если прямым
ходом заданная система приводится к ступенчатому виду, то решение
системы находится обратным ходом метода Гаусса.

13. Системы линейных уравнений

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса
х1 х2 х3 5 х4 0
3 х1 2 х2 2 х3 х4 1
х1 4 х2 11х4 0
Решение. Имеем
1
А 3
1
1
1
2
2
4
0
х1
х
х 2
х3
4
1 ,
11
5
,
1
A 3
1
0
b 1 ,
0
1
1
5
2
2
1
4
0
11
А
Далее,
расширенную
матрицу
с
помощью
преобразований приведем к ступенчатому виду:
1
A 3
1
1
1
0
1
1 0
0
0
5
2
2
1
4
0
11
1
0
0
1
1
5
5
1
16
5
0
0
1
1
5
5
1
16
5
1
16
0
1
0
элементарных
0
1
0
0
1 = В
1
Матрица В имеет ступенчатый вид и, следовательно, ранг расширенной
матрицы равен 3. Заметим, что и матрица системы (до вертикальной черты)
одновременно тоже приведена к ступенчатому виду, но она имеет ранг r = 2,
т.е. r(A)
совместной.
r( А ).
По
теореме
Кронекера-Капелли
система
не
является
Выпишем соответствующую систему уравнений:
х1 х2 х3 5 х4 0
5 х2 х3 16 х4 1
0 х 0 х 0 х 0 х 1
2
3
4
1
Видно, что не существует таких числовых значений x1, x2, x3, x4, чтобы
последнее уравнение выполнялось, а значит, система несовместна.

14. Системы линейных уравнений

!!!!! Всегда, если в ступенчатом виде расширенной матрицы есть
строка, в которой до вертикальной черты стоят только нули, а за
вертикальной чертой стоит ненулевой элемент, можно сделать
вывод о несовместности системы уравнений.
!!!!! Если же r(A) = r( А ), т.е. ранги расширенной матрицы и матрицы
системы совпадают, то ступенчатая форма матрицы В заканчивается
нулевыми строками.
В этом случае исходная система совместна согласно теореме
Кронекера-Капелли.
Научимся теперь находить решения системы линейных уравнений в
случае ее совместности.

15. Системы линейных уравнений

Пример. Пусть дана система уравнений:
х1 2 х 2 х3 х 4 1
2 х 3х х х 2
1
2
3
4
3
х
х
х
11
х
1
2
3
4 0
3 х1 5 х 2 2 х4 3
Решение. Выпишем расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому
виду (прямой ход метода Гаусса):
1
2
А
3
3
2
1
1
3
1
1
1
11
1
5
0
2
1
0
0
0
1
1
2
0
0
0
3
0
2
1
1
1
3
1
0
1
1
0
0
0
2
1
1
1
3
1
5
14
4
1
3
1
1
0
3
0
1
0
=B
3
0
Поскольку после элементарных преобразований расширенной матрицы
и матрицы системы остались
совместна.
3 ступеньки, то r(A) = r( А ) и система
Равносильная ступенчатая система уравнений имеет вид:
х1 2 х2 х3 х4 1
х2 3 х3 х4 0
х3 х4 3
Мы отбросили последнее уравнение, которое выполняется
тождественно (при всех значениях х1, х2, х3, х4 имеем 0х1 + 0х2 + 0х3 + 0х4 =
0).

16. Системы линейных уравнений

Обратный ход метода Гаусса начинается с того, что объявляем
переменные х1, х2, х3 («связанные» с угловыми элементами) главными, а
переменную х4 – свободной.
Выражаем через эту свободную переменную х4 остальные переменные:
из последнего уравнения находим х3, а затем, подставляя выражение для х3 во
второе уравнение, получаем выражение х2 через х4 и, поднимаясь ещё
«выше», аналогично находим х1.
Запишем общее решение системы:
х1 4 х4 14
х2 2 х4 9
х х 3
4
3
или
х = (- 4х4 – 14; - 2х4 – 9; - х4 -3; х4).
Давая переменной х4 конкретные числовые значения и вычисляя х1, х2,
х3, мы будем получать все новые и новые решения системы.
Например, если х4 = 0, то х1 = -14, х2 = -9, х3 = -3 и вектор х = (-14, -9, 3, 0) будет частным решением системы уравнений.
Т.о. система совместна и неопределена (т.е. имеет множество
решений).

17. Системы линейных уравнений

Особо
отметим
единственное решение.
ситуацию,
когда
система
уравнений
имеет
!!!! Это возможно тогда, когда угловых элементов в ступенчатой форме
расширенной матрицы ровно столько, сколько переменных в задаче.
Пример. Рассмотрим систему линейных уравнений
3 х1 2 х 2 х3 5
х1 х 2 х3 0
4 х х
1
2 5 х3 3
Решение. Воспользуемся методом Гаусса. Для этого выпишем расширенную
матрицу системы уравнений и приведем к ступенчатому виду:
3
1
4
1
0
0
2
1
1
1
1
5
5
(1)
0
3
1
1
1
4
5
9
1
3
4
0
(3)
5
3
1
1
2
1
1
5
1
0
0
0
( 2)
5
3
1
1
1
4
0
11
22
0
5
(1) - переставили местами I и II строки;
(2) - к II и III строкам прибавили I-ю строку, умноженную соответственно на
(-3) и (-4);
(3) - к III строке прибавили II-ю строку, умноженную на (-5).
Последней матрице соответствует матрица
х1
х2
х3
х2
4 х3
0
5
11х3
22
Система приведена к треугольному виду, она имеет единственное
решение:
x3 = 2; x2 = 4x3 – 5 = 4 2 – 5 = 3; x1 = x3 – x2 = 2 – 3 = - 1.
Решением системы является вектор
определенная.
= (-1; 3; 2), система совместная и

18. Системы линейных уравнений

!!! Метод Гаусса по сравнению с другими методами имеет
следующие достоинства:
значительно менее трудоемкий;
позволяет однозначно установить, совместна система
или нет, а в случае совместности найти ее решения
(единственное или бесконечное множество);
дает возможность найти максимальное число линейно
независимых уравнений – ранг матрицы системы.

19. Системы линейных уравнений

п.2.3. Нахождение базисных решений системы уравнений

20. Системы линейных уравнений

21. Системы линейных уравнений

п.2.3. Системы линейных однородных уравнений
Фундаментальная система решений
Определение: Система m линейных уравнений с n переменными называется
системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены
равны нулю. Такая система имеет вид:
!!!

22. Системы линейных уравнений

23. Системы линейных уравнений

24. Системы линейных уравнений

25. Системы линейных уравнений

26. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!