Метод_врщений

1.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ВРАЩЕНИЯ.

2.

Как и в методе Гаусса, целью прямого хода
преобразований в методе вращений является
приведение системы линейных уравнений к
треугольному виду методичным обнулением
поддиагональных элементов сначала 1-го
столбца, далее 2-го и так далее.

3.

Допустим с1 и s1 – ненулевые числа.
Умножаем 1-е уравнение системы на с1, 2-е
на s1 и складываем их; уравнением, которое
мы
получили,
заменяем
1-е
уравнение
системы. Далее 1-е уравнение начальной
системы нужно умножить на – s1, 2-е – на c1 и
итогом этого заменяем 2-е уравнение. Т.о.,
первые 2 уравнения заменяем уравнениями:

4.

На параметры с1 и s1 наложим 2 условия:
- условие исключения х1 из второго уравнения
и
- условие нормировки
Получаем:

5.

Эти
числа
можно
истолковать
как cos и sin некоторого угла α1 (все шаги этого
преобразования
рассматриваются
как
вращение расширенной матрицы системы в
плоскости индекса, который обнуляется).
После преобразований получаем систему:

6.

7.

Теперь 1-е уравнение системы заменяем
полученным, результатом сложения итогов
умножения
1-го
и
3-го
уравнений
соответственно на:

8.

а 3-е – уравнением, которое получим после сложения
результатов умножения уравнений соответственно на –
s2 и с2. Получаем систему:

9.

Выполняя преобразование m-1 раз, приходим к
системе:

10.

11.

Вид системы, которую мы получили, такой же, как
и после 1-го этапа преобразований методом Гаусса.
У этой системы следующие свойства: длина всех
векторов-столбцов расширенной матрицы остается
такая же, как у исходной матрицы. То есть, при
выполнении преобразований не роста элементов нет.
Далее, по этому же алгоритму преобразуем
матрицу:

12.

13.

и так далее.
В итоге m-1 этапов прямого хода система
приведется к треугольному виду:

14.

Определение неизвестных такое же как и в
обратном ходе метода Гаусса.
Треугольная, или, трапециевидная структура
последней системы дает нам поочередно 1 за
другим вычислить значения неизвестных,
начиная с последнего: