решение_системы_уравнений_методом_гаусса_1

1. Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса

2.

Правило Крамера
1. Если главный определитель системы отличен от нуля
0
то система совместна и имеет единственное решение, причем
x
x
,
y
y
.
2. Если главный определитель системы равен нулю
0
а хотя бы один из вспомогательных отличен от нуля x 0 ( y 0),
то система несовместна.
3. Если главный определитель системы и оба вспомогательных
равны нулю, то система совместна и имеет бесконечное
множество решений (является неопределенной), причем, если
x t, тогда
где
c1 a1 t
c2 a2 t
y
или y
,
b1
b2
t R.

3.

Решить системы уравнений
x 2y 5,
2x 3y 8;
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
1 2
1 3 2 2 3 4 1,
2 3
5 2
x
5 3 8 2 15 16 1,
8 3
1 5
y
1 8 2 5 8 10 2.
2 8
Главный определитель системы отличен от нуля
1 0,
значит система совместна и имеет единственное решение
y 2
x 1
x
1, y
2.
1
1
Ответ: (1; 2).

4.

2.
9x 6y 3,
3x 2y 2;
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя
системы:
9 6
9 ( 2) 3 ( 6) 18 18 0,
3 2
9 3
3 6
x
3 ( 2) 2 ( 6) 6 12 0,6 y
9 2 3 3 18 9 9.
3 2
2 2
Главный определитель системы равен нулю,
вспомогательных не равен нулю
( y 9 0),
Ответ:
система несовместна.
а
один
из

5.

3. 3x 4 y 5,
6x 8 y 10.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
3 4
3 8 6 4 24 24 0,
6 8
5 4
x
40 40 0,
10 8
3 5
y
30 30 0.
6 10
Главный и оба вспомогательных определителя равны нулю, значит система
совместна и имеет бесконечное множество решений. Чтобы найти все пары
решений системы, достаточно взять любое из уравнений системы и,
придавая
переменной
x
произвольные
значения
из
множества
действительных чисел x = t R, найти значения y:
5 3t
y
Ответ: система имеет б/м решений, x t, y
4
5 3t
, где
4
.
t R.

6. Метод Гаусса – это метод последовательного исключения переменных

• Систему уравнений приводят к
эквивалентной ей системе с
треугольной матрицей. Это называется
прямым ходом.
• Из полученной треугольной системы
переменные находят с помощью
последовательных подстановок. Это
называется обратным ходом.

7. При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

1. Умножение или деление коэффициентов
свободных членов на одно и то же число;
2. Сложение и вычитание уравнений;
3. Перестановка уравнений системы;
4. Исключение из системы уравнений, в
которых все коэффициенты при
неизвестных и свободные члены равны
нулю.

8. Решить систему уравнений методом Гаусса

x y 5
2 x y 7
Нужно записать расширенную матрицу системы
1 1 5
2 1 7
Вертикальная черта внутри матрицы не несёт
никакого математического смысла – это
просто отчеркивание для удобства
оформления.

9.

Матрица системы – это матрица,
составленная только из
коэффициентов при неизвестных.
Расширенная матрица системы – это
та же матрица системы плюс
столбец свободных членов, в
данном случае.

10. Решение. Умножим первую строку на (-2)

1 1 5
2 1 7
2 2 10
2 1 7

11. ко второй строке прибавим первую строку умноженную на -2

1 1 5
2 1 7
2 2 10
0
3
3
2 2 10
2 1 7

12. Разделим опять первую строку на (-2)

1 1 5
2 1 7
2 2 10
0 3 3
2 2 10
2 1 7
1 1 5
0 3 3
строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ – не изменилась.
Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ.

13. Цель элементарных преобразований –

Цель элементарных преобразований –
привести матрицу к ступенчатому виду.
Сам термин «ступенчатый вид» не
вполне теоретический, в научной и
учебной литературе он часто
называется трапециевидный
вид или треугольный

14. В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений

В результате элементарных преобразований
получена эквивалентная исходной система уравнений
x y 5
2 x y 7
x y 5
y 1
Выполняем обратный ход, т.е. подстановку в первое
уравнение вместо у,
х =-5+у
х=-5+1
х=-4
Ответ: (-4; 1)

15. Решить систему уравнений методом Гаусса

3 x 2 y z 4
2 x y 3z 9
x 2 y 2z 3
Решение.
Переставим третье уравнение на место первого и запишем расширенную
матрицу:
x 2 y 2z 3
3 x 2 y z 4
2 x y 3z 9
1 2 2 3
3 2 1 4
2 1 3 9

16. Чтобы в первом столбце получить а2=а3=0, умножим 1-ю строку сначала на 3, а затем на 2 и вычтем результаты из 2-й и 3-й строк

1 2 2 3
3 2 1 4
2 1 3 9
1 2 2 3
0 8 7 5
0 3 1 3

17. Разделим 2-ю строку на 8, полученные результаты умножим на 3 и вычтем из 3-й строки

1 2 2 3
3 2 1 4
2 1 3 9
1 2 2 3
0 1 7 5
8 8
0 3 1 3
1 2 2 3
0 8 7 5
0 3 1 3
1 2 2 3
0 3 21 15
8
8
0 3 1 3
1 2 2
3
21
15
0
3
8
8
39
0 0 13
8
8

18. Запишем новую эквивалентную систему с учетом расширенной матрицы

x 2 y 2z 3
7
5
y
z
8
8
13
39
z
8
8
x 2 y 2z 3
7
5
y z
8
8
13
39
z
8
8
Выполняем обратный ход, с помощью
последовательных подстановок находим
неизвестные
13
39
z
z 3
8
8
7
5
5 21 16
y 3
y
2
8
8
8 8
8
x 2 2 2 3 3 x 3 4 6 1
Ответ: (1; 2; 3)