Определители второго и третьего порядка. (Лекция 2)

1. Лекция 2 Определители второго и третьего порядка.

Векторное произведение двух
векторов
Смешанное произведение
трех векторов

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го И 3-го ПОРЯДКОВ

О п р е д е л е н и е 1. Определителем квадратной
матрицы А второго порядка или определителем
второго порядка) называется число, обозначаемое:
a11
a21
a12
a22
(или
|A|)
и вычисляемое по формуле:
a11
a12
a21 a22
а11а22 а12 а21
(1)

3. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го И 3-го ПОРЯДКОВ

О п р е д е л е н и е 2. Определителем квадратной матрицы
А третьего порядка (или определителем третьего
порядка) называется число, обозначаемое:
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
(или
|A|)
и вычисляемое по формуле:
a11 a12 a13
a22 a23
a21 a23
a21 a22
a21 a22 a23 a11
a12
a13
a32 a33
a31 a33
a31 a32
a31 a32 a33
(2)

4. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го И 3-го ПОРЯДКОВ

З а м е ч а н и е 1. Определитель третьего порядка может быть
вычислен не только по формуле (2), называемой разложением
определителя по элементам первой строки.
1) Для вычисления определителя третьего порядка можно
воспользоваться правилом разложения определителя по
элементам л ю б о й строки (столбца) матрицы А.
При этом элементы выбранной строки (столбца) берут со
знаками, указанными в следующей схеме:
то есть знак «+» ставят у тех элементов аij , для которых сумма
индексов i+j есть число четное, «–» – сумма индексов i+j есть
число нечетное.

5. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го И 3-го ПОРЯДКОВ

Например, выбрав для разложения вторую строку
определителя, получим формулу разложения
определителя третьего порядка по элементам
второй строки:
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a12
a23 a21
a32
a33
a13
a11 a13
a11 a12
a22
a23
.
a33
a31 a33
a31 a32

6. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го И 3-го ПОРЯДКОВ

2) Для вычисления определителя третьего порядка можно
воспользоваться правилом треугольников:
где выделенные элементы нужно перемножить.

7. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го И 3-го ПОРЯДКОВ

3) Определитель третьего порядка равен сумме шести слагаемых,
получаемых перемножением элементов, попавших на параллельные
линии матрицы, полученной из исходной матрицы А приписыванием
к ней справа дополнительно первых двух столбцов матрицы А:
1
2
3 1 2 1 2 3
1
2

8. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го И 3-го ПОРЯДКОВ

4) Определитель третьего порядка равен сумме шести
слагаемых, получаемых перемножением элементов,
попавших на параллельные линии матрицы, полученной из
исходной матрицы А приписыванием к ней снизу
дополнительно первых двух строк матрицы А:
1
2
3
1
2
1
2
3
1
2

9. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ

О п р е д е л е н и е 3. Каждой квадратной матрице А
порядка n (где n 1) ставится в соответствие число,
называемое определителем матрицы А, обозначаемое
А , вычисляемое по правилу:
а11 а11 ;
а11
а12
а 21 а 22
а11
а 21
а 31
а12
а 22
а 32
а11 а 22 а 21 а12 ;
а13
а 22
а 23 а11
а 32
а 33
и так далее:
а 23
а 21
а12
а 33
а 31
а 23
а 21
а13
а 33
а 31
а 22
;
а 32

10. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Свойства определителя:

1. Определитель не меняется при замене в нем
всех строк соответствующими (по номеру)
столбцами;
2. Определитель равен нулю, если содержит
нулевую строку или нулевой столбец;
3. Определитель равен нулю, если содержит
две одинаковые строки или два одинаковых
столбца;

11. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Свойства определителя:

5.Определитель изменит знак на противоположный,
если в нем поменять местами любые две строки
или столбца (то есть применено элементарное
преобразование первого типа);
6.Определитель не изменится, если в нем заменить
строку суммой этой строки и некоторой другой,
вспомогательной, предварительно умноженной на
какое-либо число (то есть применено элементарное
преобразование второго типа);
7.Если строку (столбец) определителя умножить
на некоторое число (то есть применено
элементарное преобразование третьего типа), то
определитель умножится на это число.

12. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Примеры:

Вычислить определитель:
1 2
6
4 3 1
2 2 5
Р е ш е н и е.
Способ I (разложение по элементам первой строки):
1 2
6
3 1
4 1
4 3
4 3 1 1
2
6
2 5
2 5
2 2
2 2 5
3 5 2 1 2 4 5 2 1 6 4 2 2 3
15 2 2 20 2 6 8 6 13 44 84 115 .

13. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Примеры:

Способ II (присоединение двух дополнительных
строк):
1
2
6
4
3
1 1 3 5 4 ( 2) 6 2 2 ( 1) 6 3 2
2
2
5
1
4
2
3
6
1
( 1) ( 2) 1 5 2 4 15 48 4
36 2 40 115.

14. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Примеры:

П р и м е р . Вычислить определитель
1 2 3
0
5
7
3
4
3
Р е ш е н и е. Способ I (правило треугольников):
1 2 3
0 7
4 1 7 3 2 4 5 0 3 3 5 7 3
5 3 3
3 4 1 0 2 3 21 40 105 12 178

15. Компланарные векторы

Определение. Три вектора a, b , c
называются
компланарными , если они лежат на одной
плоскости или на параллельных плоскостях.
В противном случае векторы a, b , c
называются некомпланарными .
Если хотя бы один
из векторов
a, b , c
нулевой, то эти векторы
компланарны.

16. Ориентация тройки векторов

Определение. Три некомпланарных вектора
a, b , c образуют правую тройку (левую тройку) или
положительно ориентированным (отрицательно
ориентированным), если с конца третьего вектор а
c кратчайший поворот от первого вектора a ко
второму вектору b виден против часовой стрелки
( по часовой стрелке).
Ориентация тройки векторов
не меняется при циклической
перестановке этих векторов.
.

17. Векторное произведение двух векторов

Определение. Векторным произведением вектора a
на вектор b называется вектор c удовлетворяющий
условиям:
1. длина вектора c равна c a b sin ,
где угол между векторов a и b .
a
2. вектор c ортогонален векторам a и b .
3. векторы
образуют правую тройку.
a, b , c
Векторное произведение вектора a на вектор b
обозначается a b или a, b .

18. Векторное произведение двух векторов

a b
a b
PS PQ PR.

19. Основные свойства векторного произведения

Теорема 1. Векторное произведение a b равно
нулю только и только тогда, когда векторы a и b
коллинеарные.
Теорема 2. Длина вектора a b числено равна
площади параллелограмма, сторонами которого
служат векторы a и b .
S a b
Теорема3. Векторное произведение
антикоммутативно, т.е.
a b b a.

20. Основные свойства векторного произведения

Теорема 4. Для произвольных векторов a и b
произвольного выполняется неравенство
(a b) a b.
и

21. Выражение векторного произведение через прямоугольные координаты

Пусть Oxyz - прямоугольная система
координат,
i , j, k
орты координатных
осей этой системы.
i
j
k
a b ax
ay
az ;
bx
by
bz
ay
az
by
bz
a b
i
ax
az
bx
bz
j
ax
ay
bx
by
k

22. Смешанное произведение трех векторов

Пусть a, b , c -произвольные векторы пространства.
Определение: Число (a b) c называется смешанным
произведением векторов
и обозначается
через (a b) c (a, b, c) (a b, c) (a b c) a b c
Теорема 1. Смешанное произведение векторов a, b , c
равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы
компланарны.
Теорема 2. Смешанное произведение трех
некомпланарных векторов равно объему
параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому
со знаком «+», если эти векторы образуют правую тройку,
и со знаком «-», если они образуют левую тройку.

23. Выражение смешанного произведения через прямоугольные координаты

Пусть Oxyz –прямоугольная система координат в
пространстве, а i , j , k орты координатных осей этой
системы.
Теорема. Пусть a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ), c (c1 , c2 , c3 ).
Тогда
a1 a2 a3
a b c b1
b2
c1
c2
b3 .
c3
Следствие. Векторы a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ), c (c1 , c2 , c3 ).
компланарны только и только тогда, когда
a1 a2
a b c b1 b2
c1
c2
a3
b3 0.
c3

24. Смешанное произведение трех векторов

Пример. Найти объем пирамиды с вершинами
A(3,0,0), B (1,3,0), C ( 2, 1,0), D (1,1,6).
Решение. Данная пирамида построена на векторах
a AB ( 2, 3,0), b AC ( 5, 1,0), c AD ( 2,1,6).
Вычислим смешанное произведение этих векторов по
2 3 0
формуле
2 3
a b c 5 1 0 6
6 (2 15) 102.
5 1
2 1 6
V
1
102
a b c
17.
6
6
Ответ : 17