тв 5 СлВел

1. Лекция № 5 Теория вероятностей

Случайные величины

2.

Опр. Случайной называется
величина, которая в результате
опыта может принять одно и
только одно возможное
значение, неизвестно заранее,
какое именно.
Сокращенно – СВ.

3.

Например, посеяно 100 зерен
пшеницы для определения ее
всхожести. Число взошедших
зерен есть СВ, которая может
принять одно из значений: 0, 1,
2, …, 100.

4.

Еще примеры СВ:
• число очков, выпавших при бросании
игральной кости;
• число выстрелов до первого попадания в
цель;
• время безотказной работы прибора;
• рост человека;
• курс доллара;
• количество бракованных деталей в партии;
• температура воздуха;
• выигрыш игрока;
• координата точки при случайном выборе ее
на [0; 1];
• прибыль фирмы, и т.п.

5.

Случайные
обозначают
латинскими
(или строчными
буквами ξ (кси), η
θ (тэта), ψ (пси) и
т.д.) , а
принимаемые ими
значения
соответственно

6.

Опр. СВ
называется
дискретной, если
она принимает
отдельные,
изолированные
друг от друга
возможные
значения,
которые можно

7.

Опр. Непрерывной
случайной
величиной
называется такая
СВ, возможные
значения которой
непрерывно
заполняют какойто промежуток,
конечный или

8.

Опр. Законом
распределения СВ
называется
соотношение
(правило, таблица,
функция, график),
устанавливающее
связь между
возможными
значениями СВ и

9.

Для ДСВ закон
распределения
можно задать в
виде
таблицы
x1
x2
x3
…
xn
p1
p2
p3
…
pn
xi – возможные
значения СВ
(обычно в порядке

10.

Такую таблицу
называют рядом
распределения.
Т.к. события {X = x1}, {X =
x2}, ... несовместны и
образуют полную
группу, то сумма
их вероятностей
pi 1
равна единице
,
т.е.
i

11.

Закон
распределения
ДСВ можно задать
графически, если
на оси абсцисс
отложить
значения СВ, а на
оси ординат —
вероятности этих
значений.
Ломаную,

12.

13. Пример

В урне 8 шаров, из
которых 5 белых,
остальные —
черные. Из нее
вынимают наудачу
3 шара. Найти
закон

14. Решение

Возможные
значения СВ
X — числа белых
шаров в выборке
равны
x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3.

15.

C C
1
p1 P{ X 0}
3
C8
56
0
5
3
3
C C
15
p2 P{ X 1}
3
C8
56
1
5
2
3

16.

C C
30
p3 P{ X 2}
3
C8
56
2
5
1
3
C C
10
p4 P{ X 3}
3
C8
56
3
5
0
3

17.

Закон
распределения
запишем в виде
таблицы
X
0
1
2
3
P
1
56
15
56
30
56
10
56
Конт
4
1 15 30 10
роль:
pi
1
56 56 56 56
i 1

18. Интегральная функция распределения (функция распределения)

Интегральная
функция
распределения
(функция
распределения
)

19.

Универсальным
способом задания
закона
распределения
вероятностей,
пригодным как
для ДСВ, так и для
НСВ, является
функция

20.

Опр.
Интегральной
функцией
распределения
СВ X называется
функция F(x),
выражающая
F ( x) P( X x).
вероятность
того, что СВ X
примет значение,

21. Свойства интегральной функции F(x).

1. Значения
интегральной
функции
принадлежат
отрезку [0; 1].

22.

2. F(x) - неубывающая
функция, т.е. F(x2) ≥ F(x1),
если x2 > x1.
lim F ( x) 0,
3. x
lim F ( x) 1.
x

23.

4. Вероятность
того, что СВ X
примет значение
в интервале (a; b),
равна приращению
интегральной
функции на этом
интервале:
P(a < X < b) = F(b) – F(a).

24.

5. Вероятность
того, что НСВ X
примет одно
конкретное
значение, равна
нулю,
т.е. P(x = x0) = 0.
⇒ для НСВ

25. Пример.

По условию
предыдущего
примера найти
функцию
распределения F(x)
и построить ее
график.

26.

Закон
распределения,
записанный в
виде таблицы
X
0
1
2
3
P
1
56
15
56
30
56
10
56

27.

Решение.
Будем задавать
различные
значения х и
находить для них
F(x) = P(X < x):

28.

• 1. Если х ≤ 0, то,
очевидно,
F(x) = P(X
< 0) = 0;
• 2. Если 0 < х ≤ 1, то
F(x) = P(X < x) = P(X = 0) = 1/56;
• 3. Если 1 < х ≤ 2, то
F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1/56 +

29.

• 4. Если 2 < х ≤ 3, то
F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) +
P(X = 2) = 1/56 + 15/56 + 30/56 =
46/56.
• 5. Если 3 < х, то
F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) +
P (X
= 2) + P(X = 3) = 46/56 + 10/56 = 1.

30.

0,
1 / 56,
F ( x) 16 / 56,
46 / 56,
1,
если
x 0;
если 0 x 1;
если 1 x 2;
если 2 x 3;
если
3 x.

31.

32. Дифференциальная функция распределения (плотность распределения)

Дифференциа
льная
функция
распределен
ия
(плотность
распределен
ия)

33.

Важнейшей
характеристико
й НСВ (помимо
функции
распределения)
является
плотность
распределения
вероятностей.

34.

Опр. Плотностью
распределения
вероятностей
(плотностью
распределения,
плотностью
вероятностей или
просто
плотностью) НСВ X
называется

35.

Интегральная
функция
выражается через
дифференциальну
x :
ю формулой
F ( x) f (t )dt

36. Свойства дифференциальной функции распределения

Свойства
дифференциаль
ной функции
распределения
• 1. f (x) ≥ 0, т.е.
дифференциальна
я функция
неотрицательна.

37.

• 2. Вероятность
того, что СВ
примет значение,
принадлежащее
интервалу
(-∞; ∞),
равна
единице:
f
(
x
)
d
x
1

38.

• 3. Вероятность
того, что НСВ X
примет значение
в интервале (a; b),
равна
определенному
интегралу от
b
дифференциально
P(a X b) f ( x)dx
й функции
распределения
,
a

39.

Геометрически
эта вероятность
равна площади S
криволинейной
трапеции: