Лекция №3 матем

1. Теория вероятностей и математическая статистика

ГУ ЛНР «Луганский государственный медицинский
университет им. Святителя Луки»
кафедра медицинской, биологической физики и
информатики
Лекция 3 по дисциплине «Физика, математика» по теме
Теория вероятностей и
математическая статистика
Лектор: к.п.н, доц. Березкина И.А.
Луганск, 2020

2. История развития теории вероятностей

• Становление теории вероятностей
относится к эпохе Возрождения в
Италии (15 век):
- итальянец Кардано (16 век),
«Книга об игре в кости»
- Галилео Галилей (16-17 века),
«О выходе очков при игре в кости»
• Считается, что теория вероятностей зародилась как
наука в переписке двух ученых Б. Паскаля и П. Ферма
(17 век)
• Якоб Бернулли, который в 1713 г. выпустил книгу
«Искусство предположений»
• А.Н. Колмогоров в 1933 г. – аксиоматическое
построение теории вероятностей ...
2

3. Основные определения

Испытание - выполнение определенного комплекса
условий, в которых наблюдается то или иное
явление, фиксируется тот или иной результат.
Def Событие есть результат испытания.
Виды событий:
–Достоверное, которое обязательно
произойдет при определенной совокупности
условий.
–Невозможное, которое заведомо
не произойдет.
–Случайное, которое может либо
произойти, либо не произойти.
3

4. Виды случайных событий

4
Виды случайных событий
• События называют несовместными, если
появление одного из них исключает
появление других событий в одном и том
же испытании. В противном случае это
совместные события.
•События называют равновозможными, если есть
основания считать, что ни одно из них не является
более возможным, чем другое.
•Несколько событий образуют полную группу, если
в результате испытания появится хотя бы одно из
них.
Пример: бросание игральной кости W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

5. Классическое определение вероятности

5
Классическое определение вероятности
• Вероятностью события А называется
отношение числа m случаев,
благоприятствующих этому событию
(т.е. приводящих к наступлению события А),
к общему числу случаев n:
m
P( A)
n

6. Свойства вероятности

6
Свойства вероятности
• Свойство 1. Вероятность достоверного
события равна единице.
• Свойство 2. Вероятность невозможного
события равна нулю.
• Свойство 3. Вероятность случайного
события есть положительное число,
заключенное между нулем и единицей.
0 P( A) 1

7.

7
Статистическое определение вероятности:
Р(А) P*(A) = nА / n - относительная частота
Геометрическое определение
вероятности:
SA
P( A)
S
tA
P( A)
t
tA
t

8. Условная вероятность

8
Условная вероятность
Условной вероятностью события В при условии,
что произошло событие А называется отношение
вероятности произведения этих событий к
вероятности события А, причем Р(А) 0:
P( A B)
P( B / A)
P( A)

9. Действия над событиями

9
Действия над событиями
Сложение
Умножение
Отрицание
Вычитание
Включение

10. Вероятность произведений событий

10
Вероятность произведений событий
Теорема умножения вероятностей
Вероятность произведения двух событий равна
произведению вероятности одного из них на
условную вероятность другого при условии, что
первое событие произошло:
P( A B) P( А) P( В / А)

11. Независимые события

11
Независимые события
Событие А называется
независимым от события В,
если его условная вероятность
равна безусловной Р(А / В) = Р(А).
Теорема умножения вероятностей
для независимых событий:
P( A B) P( A) P( B)

12. Вероятность суммы совместных событий

Теорема сложения вероятностей
Р (А+В) = Р (А) + Р (В) - Р (А В)
Для несовместных событий:
Р (А+В) = Р (А) + Р (В)
12

13.

13
Предмет математической статистики
В широком смысле статистика является
наукой, изучающей массовые явления
протекающие в совокупностях некоторых
факторов или явлений.
Статистика в узком смысле представляет
собой метод обработки данных индивидуальных
наблюдений.

14.

14
Этапы статистического исследования
1. Сбор информации
2. Обработка информации
3. Анализ данных

15. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

15
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Def Случайной называют величину, которая в
результате испытания примет одно и только
одно возможное значение, наперед не
известное и зависящее от случайных причин.
Виды случайных величин:
•Дискретной называют случайную
величину, которая принимает
отдельные, изолированные возможные
значения с определенными
вероятностями.
•Непрерывной называют случайную
величину, которая может принимать
все значения из некоторого конечного
или бесконечного промежутка.

16. Закон распределения случайной величины

Пусть Х – дискретная случайная величина,
принимающая значения х1, х2,…. с некоторыми
вероятностями рi
Способы задания закона распределения:
• формула рi = Р {X=xi }
• таблица распределения (или ряд распределения)
16

17. Функция распределения

17
Функция распределения
• Функцией распределения случайной
величины Х называется функция F(х),
которая для любого х равна вероятности
события { X < x }:
F(х) = Р { X < x }
F (x < - ) = 0
F (x < + ) = 1

18. Плотность распределения

18
Плотность распределения
• Плотностью распределения вероятностей
непрерывной случайной величины X
называют функцию f(х) - первую производную
от функции распределения F(х):
f(х) = F '(х)
b
P(a X b) f ( x)dx
a

19. Математическое ожидание

Математическим ожиданием дискретной
случайной величины Х называется число,
равное сумме произведений всех ее значений
на соответствующие им вероятности
n
M [ X ] xi pi
i 1
• Математическим ожиданием непрерывной
случайной величины X с плотностью вероятности f(x),
возможные значения которой принадлежат отрезку
[а, b], называют определенный интеграл
b
M [ X ] x f ( x)dx
a
19

20. Дисперсия

• Дисперсией случайной величины Х
называется математическое ожидание
квадрата ее отклонения от своего
математического ожидания.
• Дисперсия характеризует разброс значений
случайной величины относительно ее
математического ожидания.
D[ X ] xi M [ X ] 2 pi
i
20

21. Нормальный закон распределения

• Нормальным называют распределение
вероятностей непрерывной случайной
величины, которое описывается функцией
плотности вероятности
f ( x)
1
e
2
( x M )2
2D
M=a - математическое ожидание
1< < 2
D - среднее квадратическое отклонение
21

22.

22
Мыслимое множество всех изучаемых
объектов называется генеральной совокупностью.
Выборка - это последовательность
чисел x1, . . . , xn , полученных при nкратном повторении эксперимента в
неизменных условия.
Характеристики выборки (среднее,
дисперсия) являются приблизительными
оценками истинных параметров неизвестного
нам генерального распределения.

23. Центральная тенденция

Измерение центральной тенденции заключается в
выборе числа, которое наилучшим способом
описывает все значения признака набора данных.
Среднее значение:
n
xi
x i 1
n
Главная цель среднего – обобщение набора
данных для их последующего анализа,
сопоставления и сравнения.
23

24.

Дисперсия – основная характеристика
разброса случайной величины около
среднего.
n
( xi x)
s 2 i 1
2
n 1
Корень из дисперсии называется
стандартным отклонением (std).
s
s2
24

25.

Использование стандартного
отклонения в медицине
25

26.

26
Доверительный интервал
генерального среднего
• Доверительным интервалом
для среднего значения является
интервал значений вокруг оценки,
где с данным уровнем доверия
находится "истинное" среднее
популяции.
• расчет границ генерального среднего
s
X x Δx x tкр
n
X x

27.

Доверительный интервал
Таблица критических значений
коэффициентов Стьюдента
Доверительная вероятность:
p = 0,90; 0,95; 0,99
(90%, 95%, 99%)
Уровень значимости:
a=1–p
(0,10; 0,05; 0,01)
Число степеней свободы: df = n - 1
27

28.

Литература
1. Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики.
2. Тимонюк В.А. Биофизика.
3. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика.
4. Чалий О.В. Медична і біологічна фізика.