reshenie-zadaniy-chasti-c-po-algebre

1.

2. Решение заданий части С по алгебре

3. Задание С1 в КИМах ЕГЭ интересно тем, что решить его можно различными способами. Например, сделать выбор корней можно методом

перебора, можно применить знания
графиков тригонометрических функций,
решить двойное неравенство или
воспользоваться единичной окружностью.
Рассмотрим уравнения представленные
сразу всеми способами выбора корней.

4.

3
а). Решите уравнение 2 cos 2 х 4 sin
х 1 0
2
2
2
cos 2 x cos x sin x
б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 3 ;
Применим формулу приведения:
2 cos 2х 4 cos х 1 0
Название «синус» изменится на
VI чет.
«косинус», т.к.
2
2
sin2 хx 41cos
cos
2 cos 2 х sin
х 1x 0
2 cos 2 х 2 sin 2 x 4 cos х 1 0
3
sin
x – cos х
2
В VI чет. знак исходной функции
синуса отрицательный
2 cos 2 х 2 1 cos 2 х 4 cos х 1 0
2
4
a
4a1
2 cos х 2 2 cos х 4 cos
х
30 0
2
2
2
D
4
1х 3 0
1 4 4 ( 32) 64
4 cosarccos
х 4 cos
arccos
12
Нам будет2удобно 3
3
1 2
a
1;1
cos х
записать решение в 1
4
8
8
2
виде a
двух
множеств.
2 1
1
2 4
х arccos
2 n; 2 n
a2
3
2
2
2

5.

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 3 ;
2
n=-1 x x
2 n
2
3
2 n
3
3 ;
2
2
3 2n 1
3
3
2
2
3 2n 1
3
3
11
5 :2
2n
3
3
11
5
n
6
6
n 1,
4
x
3
:
2
2 n
3
3 ;
n=-1
2
3 2 n 1 2
3
3
1
1
2 2n
3
3
7
1
:2
2n
3
3
7
1
n
6
6
n 1,
82
3
xx
2 ,
33
:

6.

Отбор корней с помощью графиков
б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
1
cos x
2
3
- 8
3
5
2
y cos x
2
- 4
3
3
2
2
y
1
x
5 3
15
16
8
.
2 6
6
6
6
3
4
3
9
8
.
3
2 6
6 6
6
3
3 ;
-1

7.

Отбор корней с помощью числовой окружности.
б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Выбрать корни по тригонометрическому кругу
удобно, т.к. этот промежуток …
ровно один круг
Б). Ответ:
Эти корни
можно было
найти иначе.
Посмотрим…
3 ;
4
x
3
8
x
3
- 4
3
-
3
-
-3
-1
2
+
3
- 8
3
3 ;
+2
3
-2
- 2
3
Если вы хорошо понимаете
тригонометрический круг, то
этот способ можно с успехом
применить

8.

Эксперты оценивают выполнение
задания по следующим критериям.
- Обоснованно получены ответы в обоих
пунктах - 2 балла, это максимальный
балл.
- Обоснованно получен ответ в
пункте а или в пункте б - 1 балл.
- Решение не соответствует ни одному из
критериев, перечисленных выше - 0
баллов.

9.

б). Найдите все корни этого уравнения,
а). Решитеsin
уравнение
2x 2 sin x cos x
2 cos x 1 sin 2х sin х
принадлежащие отрезку ; 3
2
2 cos х 1 2 sin x cos x sin x
2 cos х 1 sin x 2 cos x 1
1 2 cos х 1 sin x 2 cos x 1 0
1
2
1
1 sin x 2arccos
cos x 1 0 arccos
2
3
3
2
1
sin x 1
cos x
2
1
х arccos 2 n Нам будет удобно
x 2 n
записать решение в
2
2
2
виде двух множеств.
х
2 n;
3
2
2
х
2 n х
2 n
3
3

10.

Отбор корней с помощью решения неравенств
б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
х
2
n=0
2 n
3
:
2
1
3
1
1 2n
2
2
2
3
2n 1 : 2
2
3
1
n
4
2
n 0,
x
2
3
; 2

11.

б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
2
х
2 n
3
n=0
n=1
3 :
2
2
3
2
1 2n
3
2
3
1
13
2n
:2
3
6
1
13
n
6
12
2
n 0, x
3
4
n 1, x
3
3
; 2

12.

б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
2
х
2 n
3
3
2
3
1 2n
3
2
5
5
2n
3
6
5
5
n
6
12
2
n 0, x
3
2
n=0
3
; 2
:
2
3
:2
2 4
2
б ). ;
;
;
.
2 3 3
3

13.

Отбор корней с помощью графиков
3
б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ;
2
1
cos x
2
2
3
2
y cos x
y
- 2 2
3
1
2
3
2
-1
4
3
3
2
x
2
2
3
4
.
3
2 6
6 6
6
3
3 4 2
.
3
2 6
6 6
6
3
3 9 8 4
.
3
2 6
6 6
6
3

14.

Отбор корней с помощью графиков
3
б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ;
2
2
3
2
y sin x
y
sin x 1
2
1
2
-1
2
2 4
x
3
2
2
б ). ;
;
;
.
2 3 3
3
2

15.

Отбор корней с помощью числовой окружности.
3
б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ;
2
Выбирать корни по тригонометрическому
кругу не удобно, т.к. этот промежуток …
более одного круга ; 3
2
Если вы хорошо понимаете
тригонометрический круг, то
этот способ тоже можно с
успехом применить
-
0
Но попробуем сделать выбор
корней с помощью круга.
Рассмотрим отдельно первый полный
,
; корни.
круг
выберем
3
; 2
Затем, рассмотрим четверть круга
3
2

16.

3
б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ;
2
Рассмотрим отдельно первый полный круг ; , выберем корни.
sin x 1
1
cos x
2
Эти корни
можно было
найти иначе.
Посмотрим…
x
2
2
x
;
3
2
x
;
3
4
x
3
2
3
-
3
2
+2
3
-1
2
-
0
+
3
2
-4
3
3
Теперь, рассмотрим четверть круга ;
2
3
2
- 2
3
2 4
2
б ). ;
;
;
.
2 3 3
3

17.

Третье задание части С
из экзамена ЕГЭ
по математике посвящена
решению системы неравенств.

18.

19. Пример1: (1 способ)

log 0,5 x (0,25x 2 1,25x 1,5) 1

20. (2 способ)

log 0,5 x (0,25x 1,25x 1,5) 1
2
(2 способ)
Решение.
log 0,5 x (0,25x 1,25x 1,5) 1
log 0,5 x (0,25x 2 1,25x 1,5) 1 0
2
f
(
x
)
log
(
0
,
25
x
1,25x 1,5) 1
0
,
5
x
Функция
2
определена при:
Найдём нули функции:

21.

log 2 (3 2 x 1 1)
1
x
Решение.
log 2 (3 2 x 1 1)
1
x
Рассмотрим функцию
log 2 (3 2 x 1 1)
1 0
x
log 2 (3 2 x 1 1) x
y
x
log 2 (3 2 x 1 1) x
0
x

22. Основные ошибки при решении неравенств (С3)

Ошибки в применении свойств логарифма.
Плохое знание свойств логарифмической функции,
показательной.
Неумение применять замену переменной.
Неумение применять метод интервалов при решении
неравенств повышенного и высокого уровней
сложности.
Неумение
применять
метод
равносильных
преобразований,
при
решении
неравенств
повышенного и высокого уровней сложности.
Некорректное использование систем и совокупностей.
Незнание рациональных методов решения неравенств
повышенного и высокого уровня сложности.
22

23. Алгоритм решения задач с параметром графическим методом

1. Преобразовываем исходное условие задачи к
системе неравенств, в которых неизвестное
выражается через параметр, или, наоборот,
параметр выражается через неизвестное.
2. Вводим систему координат (а;х), если мы
неизвестное выражали через параметр, или
(х;а) , если, наоборот, параметр выражали
через неизвестное.
3. Изображаем в выбранной координатной
плоскости фигуру, которая задается
множеством решений системы неравенств.
4. «Сканируем» эту фигуру, двигаясь вдоль оси
параметра и определяем, при каких
значениях параметра выполняются заданные
в задаче условия.

24. Найдите все значения р, при каждом из которых для любого q система имеет решения.

x 2 y 2 1,
y q x p
Решение.
График функции, заданной первым уравнением – окружность радиуса 1
с
центром в начале координат. График функции, заданной вторым
уравнением
Нетрудно видеть, что это условие для
должен пересекать эту окружность
приугла
любом
q, т.е.
при любом
любого
наклона
выполняется
приугле
наклона
сдвиге вершины ломаной по оси у не
прямых этой ломаной.
более чем на единицу вниз или вверх .
Ответ:
1 p 1.

25.

• Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых
уравнение `ax + sqrt( -7 -8x -x^2) = 2a +3`имеет единственное
решение
`ax + sqrt(-7-8x-x^2) =2a+3` перепишем как `sqrt(-7 - 8*x x^2) = a*(-x + 2) + 3`...
`y = sqrt(-7 - 8*x - x^2) ` - уравнение верхней половины
окружности с центром `(-4; 0)` и радиуса `3`...
`y = a*(-x + 2) + 3` - прямая, проходящая через точку `(2; 3)`... и
угловым коэффициентом `k = -a`...
Графики имеют одну общую точку в следующих случаях
1) касание с окружностью в точке `(-4; 3)`... при этом `a = 0`...
2) угловые коэффициенты прямых, проходящих через точки на
оси икс от точки `(-7; 0)` (не включая этот случай, поскольку
получаем 2 точки пересечения) до точки `(-1; 0)`... Получаем `k
(3/9; 1]`...
Ответ: ` [-1; -1/3) {0}`

26. Для успешного решения задач типа С5 необходимо:

• Уметь решать уравнения и неравенства
• Решать рациональные, иррациональные,
показательные, тригонометрические и
логарифмические уравнения, их системы
• Решать уравнения, простейшие системы
уравнений, используя свойства функций и
их графиков; использовать для
приближенного
решения уравнений и неравенств
графический метод
• Решать рациональные, показательные и
логарифмические
неравенства, их системы

27. Источники:

1. http://alexlarin.narod.ru
2. http://www.akipkro.ru/
3. http://4ege.ru/matematika/
4. http://www.ctege.info/content/
5. http://seklib.ru/
6. http://mathege.info/category/zadaniya-ege/c5-zadanie-ege/
7. http://shpargalkaege.ru/egepomatematike.shtml
8. http://4ege.ru/matematika/4132-realnye-varianty-ege-pomatematike-2009-2013-godov.html
9. Решу ЕГЭ
10. http:// alleng.ru/
11. ege.edu.ru

28. Спасибо за внимание !