Использование преобразований тригонометрических выражений при решении заданий ЕГЭ

1. Использование преобразований тригонометрических выражений при решении заданий ЕГЭ

2. Задание 10

Найдите sin x, если cos x = 0,6 и
∏<Х<2∏
Найдите tg x , если sin x = 0,8 и
∏/2<Х<2∏

3. Известные формулы:

основные тригонометрические тождества;
формулы двойного аргумента;
синус, косинус, тангенс, котангенс суммы и
разности двух углов;
формулы понижения степени;
формулы преобразования
тригонометрических сумм в произведение.

4. Свойства тригонометрических функций:

чётность;
периодичность;
ограниченность.

5. Реши устно:

1. sin x = ∏/3
2 cos x = √3
3.
tg ∏/4 + tg x
=2
1 - tg ∏/4 + tg x
4. √2 cos2 7x - cos 7x = 0
5. 3 cos2x - sin2x - 2 sin x cos x = 0

6. Способы решения уравнений:

разложение на множители;
использование тригонометрических
формул;
замена переменной;
однородное уравнение, делением на
синус или косинус.

7. Определи способы решения уравнения:

1. (2sin x - cos x) (1+cos x)=sin2x
2. 2 cos 2x + cos x = 1
3. 4 cos4x – 3 cos 2x – 1 = 0
Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие интервалу
(-7∏/2;-2∏)

8. Тест

9. Решение 1 варианта

10. Решение 2 варианта

11. Работа с тестами из интернета

ЕГЭ 2015 по математике;
случайные вопросы;
режим тренировки;
С1 а;
С1 б.

12. Пример 2

Решите уравнение
2 cos2x − 7cos(π/2+x) + 2 = 0
1
2
3
4
±π/6+2πn, n∈Z
π/6+2πn, n∈Z; 5π/6+2πk, k∈Z
−π/6+2πn, n∈Z; −5π/6+2πk, k∈Z
−π/3+2πn, n∈Z; −2π/3+2πk, k∈Z

13.

Преобразуем выражение cos(π/2+x) по формуле
косинуса суммы (или формуле приведения).
Получится cos(π/2+x) = −sinx.
Уравнение примет вид 2cos2x +7sinx + 2 = 0
Это уравнение может быть сведено к функции sinx с
помощью основного тригонометрического тождества:
2(1−sin2x) +7sinx +2 =0;
2−2sin2x +7sinx +2 = 0;
−2sin2x +7sinx +4 = 0.
Сделаем замену переменной sinx = t, при
этом t∈[−1,1]. Получим квадратное уравнение
−2t 2+7t+4=0
t1 = −1/2, t 2 =4. Корень t2 не удовлетворяет условию t
∈[−1,1].
Вернемся к переменной x при t = −1/2:
sin x = −1/2;
x= −π/6+2πn, n∈Z или x= −5π/6+2πk, k∈Z.
Ответ: x = −π/6+2πn, n∈Z;
x = −5π/6+2πk, k∈Z.

14.   Найдите корни уравнения 2 cos2x − 7cos(π/2+x) + 2 = 0 принадлежащие промежутку  [0;11π/6)

Найдите корни уравнения
2 cos2x − 7cos(π/2+x) + 2 = 0
принадлежащие промежутку
[0;11π/6)
1
2
3
4
5π/6
7π/6
π/3
0; π

15. Составим и решим двойное неравенство для корней первой серии x = −π/6+2πn: 

Составим и решим двойное неравенство
для корней первой серии x = −π/6+2πn:
0<−π/6+2πn <11π/6 ∣:π;
0<−16+2n <11/6
∣⋅6;
0<−1+12n <11
∣+1;
1< 12n <12;
1/12< n <1.
Вспомним, что n – это целое число. Но в полученном
промежутке нет целых чисел, значит, первая серия
корней не содержит корней с заданным условием.

16. Запишем неравенство для другой серии корней x = −5π/6+2πn

0<−5π/ 6+2πn <11π/ 6 ∣:π;
0<−5/6+2n <11/6
∣⋅6;
0<−5+12n <11
∣+5;
5<12n <16;
5/12<n <16/12.
В этом промежутке имеется единственное целое
число n=1. Найдем соответствующее значение
переменной:
х = −5π/ 6+2π⋅1= −5π/ 6+12π = 7π/ 6.
Ответ: x=7π/ 6.

17. Из истории

Слово тригонометрия впервые появляется в
1505 году в заглавии книги немецкого
математика Питискуса.
Тригонометрия – слово греческое, и в
буквальном переводе означает измерение
треугольников ( trigonan – треугольник, metreo
- измеряю).
Возникновение тригонометрии было тесно
связано с землемерием, астрономией и
строительным делом.…

18. Использование тригонометрических функций в астрономии

Потребность в решении треугольников раньше всего
обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение
долгого времени тригонометрия развивалась и
изучалась как один из разделов астрономии.
Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца
и Луны позволили предвычислять моменты
наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх
впервые стал использовать в астрономии методы
сферической тригонометрии.

19. Использование тригонометрических функций в медицине

Американские ученые утверждают, что мозг
оценивает расстояние до объектов, измеряя угол
между плоскостью земли и плоскостью зрения.
Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее
помощью иранские ученые открыли формулу сердца комплексное алгебраически-тригонометрическое
равенство, состоящее из 8 выражений, 32
коэффициентов и 33 основных параметров, включая
несколько дополнительных для расчетов в случаях
аритмии.

20. Использование тригонометрических функций в биологии

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или
косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а
потом рассмотреть траекторию движения.
При полёте птицы траектория взмаха крыльев
образует синусоиду.

21. Школьник в 14-15 лет не всегда знает, куда пойдет учиться и где будет работать…

Для некоторых профессий знание тригонометрии необходимо,
т.к. позволяет измерять расстояния до недалёких звёзд в
астрономии, между ориентирами в географии, контролировать
системы навигации спутников.
Принципы тригонометрии, используются и в таких областях,
как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых
рынков, электроника, теория вероятностей, статистика,
биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ)
и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория
чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология,
метеорология, океанология, картография, многие разделы
физики, топография и геодезия, архитектура, экономика,
электронная техника, машиностроение, компьютерная графика,
кристаллография…

22. Тригонометрические уравнения

ctg 2 x cos x sin x sin x
1 sin x cos x sin x cos x 0
ctg 2 x cos x sin x sin x

23. Отметить точки:

x ( 1)
Y
x ( 1)
X
0
x
k
6
n 1
3
k , k Z
6
n, n Z
m, m Z

24. Тригонометрические уравнения

cos(arccos (4 x 9)) x2 5x 5
1.
2.
1 sin x cos x sin x cos x 0
3. ctg2x cos x sin x sin x
4.
arccos 3x 2 arcsin x
5. 11sin x 11cos x 5 sin 2x 7
2
2
cos
(
2
x
)
cos
( x) 0
6.
3
12
7. arcsin x 2arctgx
sin 2 x 5(sin x cos x) 0
8.
2
2
sin
x
sin
x
sin
2
x
sin
9.
3
3
1
2
10
(cos 2 x
)(
1
tg
2 y)(3 sin 3z ) 4
2
cos x
1
1
2
2
2
1
3
3
1
2