Дифференциальные уравнения

1.

ЛЕКЦИЯ 15. Основные понятия
дифференциальных
уравнений

2. Учебные вопросы

1. Введение в теорию ДУ:
задачи, приводящие к понятию
дифференциального уравнения.
2.Обыкновенные
дифференциальные уравнения,
основные понятия (порядок,
степень, решение).
3.Дифференциальные уравнения
первого порядка.

3.

4. Частное и общее решения,
интегральные кривые, поле
направлений.
5. Интегрирование уравнений с
разделяющимися переменными.

4. 1.Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.

Задача 1.
На плоскости XOY найти кривую,
которая в каждой своей точке имеет
касательную, образующую с
положительным направлением оси Ox
угол, тангенс которого равен
удвоенной абсциссе точки касания.
Решение.
Пусть уравнение искомой кривой y=f(x).

5.

6.

Угловой коэффициент касательной МТ
есть tgα, он равен производной от y по
x, так что
tg y
С другой стороны, по условию задачи
имеем
tg 2 x .
Приравнивая значения tg α, получим
y 2 x

7.

Решением дифференциального
уравнения является любая
первообразная для функции 2x.
Например,
2
решением будет y x .

8.

Все первообразные для функции
2x и, следовательно, все решения
дифференциального уравнения
задаются формулой
2
y x C .

9.

Дифференциальное уравнение
имеет бесчисленное множество
решений.

10.

Но если в условие задачи
добавить точку M0 (x0, y0),
через которую проходит
искомая кривая, то получим
единственную кривую.

11.

Для этого достаточно заменить в
уравнении координаты x и y
координатами точки M0
y0 x0 C0
2

12.

Отсюда имеем C0 y0 x0 и
2
y x x y0
2
2
0
Таким образом, искомой кривой
будет парабола.

13. Задача 2.

Допустим, что в каждый момент
времени t известна скорость v(t)
точки, движущейся по оси OX, где
v(t) - функция, непрерывная на
(a,b).

14.

Кроме того, известно значение х0
положения точки в определенный
момент времени t0 . Требуется
найти закон движения точки.

15. Решение.

Положение точки определяется
одной координатой х и задача
состоит в том, чтобы выразить х
как функцию от t . Принимая во
внимание механический смысл
первой производной, мы получим
равенство
dx
dt
v(t )

16.

Как известно из интегрального
исчисления
t
x(t ) v(t )dt C , (a t b)
t0

17.

Так как в формулу входит
произвольная постоянная C, то
мы ещё не получили определённого
закона движения точки.

18.

Поскольку движущаяся точка
принимает положение х0 в
заданный момент времени t0, то
t
x0 v(t )dt C , С х0
t0

19.

Итак, закон движения точки
имеет вид
t
.
x(t ) v(t )dt х0 , (a t b)
t0

20. Учебный вопрос.

Обыкновенные
дифференциальные уравнения,
основные понятия (порядок,
степень, решение).

21. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

Определение. Обыкновенным
дифференциальным уравнением n–ого
порядка называется выражение вида:
F x, y, y , y , ... , y
n
0,
где х – независимая переменная;
у(х) – неизвестная функция;
n
y , y ,..., y
– производные искомой
функции.

22.

Определение. Порядком n дифферен-
циального уравнения называется
порядок наивысшей производной,
входящей в это уравнение.
Например,
y
(5)
y y 0
2 x y e y 1 0
2
x

23.

Определение. Решением
дифференциального уравнения
называется функция у=φ(х),
которая при подстановке в
уравнение обращает его в верное
равенство.

24.

Определение. График решения
дифференциального уравнения
называется интегральной кривой
дифференциального уравнения.
Процесс нахождения решения
дифференциального уравнения
называется интегрированием этого
уравнения.

25.

Определение. Решение
дифференциального уравнения,
полученное в неявном виде
,
называется интегралом
дифференциального уравнения.
( x, y ) 0

26. Учебный вопрос.

Дифференциальные уравнения
первого порядка.

27. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Дифференциальным
уравнением первого порядка
называется соотношение,
связывающее независимую
переменную, искомую функцию и
ее первую производную:
,F ( x, y , y ) 0
dy
где
у
dx

28.

Если уравнение
F ( x, y, y ) 0
разрешить относительно
производной , то получим
уравнение нормального вида:
y f ( x, y ).

29. Учебный вопрос.

ЧАСТНОЕ И ОБЩЕЕ
РЕШЕНИЯ,
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
КРИВЫЕ, ПОЛЕ
НАПРАВЛЕНИЙ

30. ЧАСТНОЕ И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЯ, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ, ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИЙ

Определение. Решение у=φ(х,С),
которое зависит от независимой
переменной х и произвольной
постоянной, называется общим
решением ДУ первого порядка.

31.

Решение у=φ(х), полученное из
общего при фиксированном
значении произвольной
постоянной, называется частным
решением ДУ первого порядка.

32.

Задача Коши для уравнения
F ( x, y, y ) 0
состоит в том, чтобы найти
частное решение уравнения,
удовлетворяющее начальному
условию
y ( x0 ) y0

33.

Уравнение
F ( x, y , y ) 0
в каждой точке
M (x , y) области, где определено
его решение у=φ(х ,С ),
задаёт направление касательной к
интегральной кривой. В итоге мы
получаем целое поле
направлений.

34.

Это поле графически можно
изобразить, поместив в каждой
точке M(x, y) черточку,
наклоненную к оси Ox под углом,
тангенс которого равен
tg y

35.

36. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Определение. ДУ первого порядка
называется уравнением с
разделенными переменными, если
его можно представить в виде
f x dx g y dy 0

37.

Решение этого уравнения
f ( x)dx g ( y )dy,
f
(
x
)
dx
g
(
y
)
dy
,
F ( x ) G ( y ) C ,
F ( x) G ( y ) C

38.

Пример. Найти общее решение
дифференциального уравнения
dy
2 xdx
0
y
Решение.

39.

dy
2 xdx ,
y
dy
2 xdx y ,
2
x ln y C ,
2
ln y C x ,
C x2
y e
,
c
x2
х2
y e e или у Се

40.

Определение. Уравнение вида
P( x) Q( y) dx R( x) S ( y) dy 0
называется уравнением с
разделяющимися переменными.
R( x) Q( y) 0

41.

В этом уравнении легко разделить
переменные. Для этого поделим
уравнение на произведение
R( x) Q( y) 0 . Тогда получим
P( x)
S ( y)
dx
dy 0
R( x)
Q( y )
- это уравнение с разделенными
переменными.

42.

Общим интегралом будет
P( x)
S ( y)
dx
dy С
R( x)
Q( y )

43. ЗАМЕЧАНИЕ

Мы могли потерять некоторые
решения, которые обращают в
нуль произведение R(x)Q(y), а
именно Q(y)=0, отсюда yk= ak ,где
ak – const.

44.

Если решения yk= ak получаются
из общего при подходящем
выборе С, то такие решения будут
частными, если же подобрать
нужное С невозможно, то они
называются особыми решения.

45. Пример.

Найти общий интеграл и частное
решение уравнения
x 1 y 2 dx y 1 x 2 dy 0
удовлетворяющее условию y x 1 0 .
Решение.
Делим на
1 x 2 1 y 2 0 ,
тогда

46.

x dx
1 x
2
x dx
1 x 2
y dy
0
1 y
2
y dy
x dx
1 y 2
y dy
1 x 1 y
2
2

47.

1 x2 1 y2 C
1 x 2 1 y 2 C -общий интеграл.
Подставим начальное условие и найдем С:
.
1 ( 1) 1 0 C0 C0 1
2
2

48.

Частное решение
1 x 1 y 1
2
2
Особое решение
1 x . 1 y 0, 1 x 1, y 1,
2
2
так как
x 0 dx 1 1 x 0 0,0 0.
2

49. Учебные вопросы

6. Однородные и линейные уравнения 1
порядка.
7. Уравнения Бернулли 1-го порядка.
8. Дифференциальные уравнения высших
порядков, начальные и граничные условия.

50. Учебный вопрос.

Однородные и линейные
уравнения 1 порядка.

51. Однородные уравнения 1-го порядка.

Определение. Дифференциальеное уравнение 1
порядка называется однородным ДУ-1,
если f(x,y) может быть представлена как
функция отношения своих аргументов,
т.е.
или
y
f ( x, y )
f ( x, y )
y
x
f(λx,λy)=f(x,y),
где λ – const.

52.

1) Однородные уравнения приводятся к
уравнениям с разделяющимися переменными
с помощью следующей замены: z y , т.е.
x
у=zх, отсюда у’=z’x+z .
2) После подстановки у, у’ в исходное
уравнение получим ДУ с разделяющимися
переменными, в котором неизвестной является
функция z(x).
y
3)После интегрирования в общем решении
необходимо z заменить на отношение x .

53. Пример

Решить уравнение ху+ y2 = (2х2 +ху)у’ .
Решение.

54.

55.

56. Линейные уравнения первого порядка

Определение. Линейным дифференциальным
уравнением 1-го порядка называется уравнение
вида:
,
y p( x ) y q( x )
где у(х) – неизвестная функция.
Это уравнение линейно относительно у и у’ .
Если правая часть уравнения q(x) = 0, то
получим уравнение
y p( x ) y 0
,
которое называется линейным однородным,
соответствующим линейному неоднородному
уравнению.

57.

Рассмотрим линейное уравнение y p( x ) y q( x )
Неизвестную функцию у(х) будем искать в
виде произведения неизвестных функций
у(х)=u(x)∙v(x), тогда y’=u’v+uv’. Подставляя
y и y’ в исходное уравнение, получим:
u v u v p( x ) u v q( x )
y
y
u v u v p( x )v q( x )

58.

Положим v p( x) v 0и найдем функцию v(x),
решая это уравнение с разделяющи-мися
переменными:
dv ( x )
pv ( x )
dx
dv
p( x )dx
v
dv
p( x )dx
v
ln v p( x )dx
v e
p ( x ) dx

59.

Для нахождения u(x) подставим найденную
функцию v(x) и ее производную
p ( x ) dx
p ( x ) dx
v ( x ) e
e
p ( x )dx =
в уравнение, получим уравнение с
разделяющимися переменными
.
p ( x ) dx
u e
q( x)
Решим его
p( x ) e
p ( x ) dx

60.

du( x ) p ( x ) dx
e
q( x )
dx
du( x )
u( x )
p ( x ) dx
q( x ) e
dx
p ( x ) dx
q( x ) e
dx С
p ( x ) dx
p ( x ) dx
y uv q( x )e
dx С e
v( x)
u( x)

61. Пример

Найти частное решение, удовлетворяющее
заданному начальному условию
3у
2
у
3 , у (1) 1
х
х

62.

63.

64.

Следовательно, частное решение данного
дифференциального уравнения имеет вид:
у = 22 1.3
x
x

65. Учебный вопрос.

Уравнения Бернулли.

66. Уравнения Бернулли.

Определение. Дифференциальное
уравнение вида dy P( x) y Q( x) y
,
dx
где α ≠ 0, 1
называется уравнением Бернулли.
1)Предполагая, что у ≠ 0, разделим
обе части уравнения Бернулли на уα.
В результате получим:
y
dy
P( x ) y 1 Q ( x )
dx

67.

2) Введем новую функцию z ( x) ( y( x)) 1 . Тогда
dz
dy
( 1) y
dx
dx уравнение на (-α+1) и перейдем в
3) Умножим
нем к функции z(x):
dz
( 1) Pz ( 1)Q
dx

68.

4)Получили линейное неоднородное уравнение
1-го порядка. Это уравнение решается
методом множителей Бернулли.
5)Решив уравнение , подставим в его общее
решение вместо z(x) выражениеy 1 ,
получим общий интеграл уравнения Бернулли.
Уравнение Бернулли можно также решить,
не делая замены переменных, а сразу
применяя метод множителей Бернулли.

69. Пример

Найти общее решение уравнения
Решение.
y xy ( x 1)e x y 2

70.

71.

Дифференциальные
уравнения высших порядков,
начальные и граничные
условия.

72. Дифференциальные уравнения высших порядков, начальные и граничные условия.

Определение. Уравнением n-го порядка
называется уравнение вида
n
f x, y, y , y ,..., y
0
, (n>1) .
Задача Коши уравнения n-го порядка ставится
следующим образом: найти решение y=y(x)
удовлетворяющее начальным условиям
y ( x0 ) y0 , y ( x0 ) y0 , y ( x0 ) y0 ,..., y ( n 1) ( x0 ) y0( n 1)

73.

Определение. Общим решением ДУ n-го
порядка называется функция
y=φ(x,C1,C2,…,Cn), которая при подстановке в
уравнение обращает его в верное равенство.