Дифференциальные уравнения. Процесс нахождения решения

1. Дифференциальные уравнения

Лекция 1

2. §1.1 Основные понятия

Многие задачи из механики, физики, экономики и других наук, а также
исследования различных явлений происходящих в природе часто приводят к
построению к математических моделей в виде дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения (Д.У) - это уравнения, связывающие одну
или несколько независимых переменных, неизвестную (искомую) функцию и
ее производные или дифференциалы различных порядков.
Если искомая функция зависит от одной переменной, то
дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких,
то уравнением в частных производных.
В
дальнейшем
будем
рассматривать
только
обыкновенные
дифференциальные уравнения.
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший
порядок производной, входящей в это уравнение.
Например, у 5 у 2е 0 – обыкновенное дифференциальное уравнение
третьего порядка, а уравнение х5 у 3ху у 3 - первого порядка.
Решением дифференциального уравнения называется функция,
которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Интегральной кривой дифференциального уравнения называется
график решения этого уравнения.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется
его интегрированием.

3. §1.2 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Задача 1.
Материальная точка движется по некоторой прямой, скорость ее
движения представляет известную функцию времени (t ) . Требуется найти
закон движения этой точки.
Решение.
Известно, что (t )
dS
, где s(t) - путь, t - время
dt
t
тогда S (t )dt c , где t - переменная,
t0
t 0 - некоторое фиксированное число
с - произвольная постоянная.
Пусть в начальный момент t 0 начальное значение функции S(t) было S 0 ,
т.е. S (t 0 ) S 0 . Подставляя в формулу это начальное условие, получим с= S 0 .
Заменяя с на S 0 , получим определенный закон движения точки
t
S (t )dt S 0 .
t0

4.

Задача 2.
Можно показать, что закон изменения температуры тела в зависимости от
времени описывается дифференциальным уравнением
dT
k (T t 0 ) ,
dt
где Т(t) – температура тела в момент времени t,
k – коэффициент пропорциональности,
t 0 – температура воздуха.
Задача 3.
Закон изменения численности населения некоторого региона с течением
времени описывается дифференциальным уравнением
dN
k N0 .
dt
Решением уравнения является
N (t ) c e kt ,
где с – число жителей в начальный момент времени,
N(t) –число жителей региона в момент времени t,
k k1 k 2 , k1 , k 2 - число новорожденных и число умерших этого региона за
единицу времени.

5. § 2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. § 2.1 Основные понятия.

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно
записать в виде
F(x,y,y’)=0,
(2.1)
где х - независимая переменная
у - искомая функция
.
Если уравнение (2.1) можно разрешить относительно у , то есть
y ' f ( x, y ) ,
(2.2)
то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным
относительно производной.
Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывают в виде
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,
(2.3)
где P(x,y) и Q(x,y) - известные функции.
В уравнении (2.3) каждую из переменных х и у можно рассматривать как
функцию другой.
Условие, что при x x0 функция у принимает данное значение y 0 , т.е. y y0
называется начальным условием и записывается в виде
y 0 или у( x 0 )= y 0 .
у│
(2.4)
x x0

6.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется
функция у= ( x, c) , удовлетворяющая условиям:
1) функция у= ( x, c) является решением дифференциального уравнения при любом
значении постоянной с;
2) при любых начальных условиях (2.4) существует единственное значение
постоянной с= c0 такое, что функция у= ( x, c0 ) удовлетворяет данному начальному
условию.
Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется
любая функция y ( x, c0 ) , которая получается из общего решения у= ( x, c) при
определенном значении постоянной с= c0 .
Геометрически общее решение у= ( x, c) представляет собой семейство
интегральных кривых на плоскости ОХУ, зависящее от одной произвольной постоянной
с, а частное решение у= ( x, c0 ) - одну интегральную кривую этого семейства,
проходящую через заданную точку ( x0 , y0 ) .
Геометрически уравнение y' f ( x, y ) определяет некоторое поле направлений.
Кривая, в каждой точке которой направление поля одинаково, называется изоклиной, её
уравнение имеет вид f ( x, y ) c .
Замечание. Если общее решение дифференциального уравнения получено в
неявном виде, т.е. в виде
Ф(х,у,с)=0,
то оно называется общим интегралом этого уравнения, а уравнение
Ф(х,у, c0 ) =0
называется частным интегралом уравнения.

7.

Задача Коши. Требуется найти решение дифференциального уравнения первого
порядка
y ' f ( x, y ) ,
(2.5)
удовлетворяющее начальному условию
у│ x x y 0 .
(2.6)
0
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Если в уравнении (2.5) функция f ( x, y ) и ее частная производная f ' y ( x, y )
непрерывны в некоторой области Д на плоскости ОХУ, содержащей некоторую точку
( x0 , y 0 ) ,
то существует единственное решение у= (x )
этого уравнения,
удовлетворяющее начальному условию (2.6).
Чтобы решить задачу Коши, надо:
1. найти общее решение (общий интеграл) уравнения
у= ( x, c) ;
(2.7)
2. подставив начальное условие (2.6) в общее решение (2.7), получим уравнение
y 0 ( x 0 , c ) , из которого найдем конкретное значение с= c0 ;
3. полученное значение с= c0 надо подставить в общее решение (2.7), получим
у= ( x, c0 )
(2.8)
- решение задачи Коши, или частное решение уравнения (2.5).
Геометрически решить задачу Коши, это значит из семейства интегральных
кривых уравнения найти кривую, проходящую через заданную точку ( x0 , y0 ) плоскости
ОХУ.

8. §2.2 Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с
разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде
(2.9)
P1 ( x) * Q1 ( y)dx P2 ( x) * Q2 ( y)dy 0 .
Для решения уравнения (2.9) разделим обе его части на Q1 ( y) * P2 ( x) 0 ,
получим уравнение с разделенными переменными
Q ( y)
P1 ( x)
dy 0 .
dx 2
Q1 ( y )
P2 ( x)
Интегрируя обе части этого уравнения, получим общий интеграл данного
уравнения, т.е.
P1 ( x)
Q2 ( y)
P ( x) dx Q ( y) dy c .
2
(2.10)
1
Замечание. При делении обеих частей уравнения на Q1 ( y) * P2 ( x) 0 могут быть
потеряны некоторые решения, поэтому надо решить уравнение Q1 ( y) * P2 ( x) 0 и
найти те решения дифференциального уравнения, которые не могут быть получены
из общего решения. Такие решения называются особыми.
Замечание. Уравнение вида
y' f1 ( x) * f 2 ( y) сводится к уравнению с
разделенными переменными. Для этого надо положить
переменные.
y'
dy
dx
и разделить

9. §2.3 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Функция f ( x, y ) называется однородной функцией степени k, если при
всяком числе λ выполняется равенство
f( x, y) f ( x, y) .
Например, функция f ( x, y ) =5ху - x 2 является однородной второй степени, т.к.
f ( x, y) 5( x) * ( y) ( x) 2 2 (5xy x 2 ),
x y
а функция f ( x, y )
есть однородная степени 0, поскольку
3x 2 y
f ( x, y) x y x y 0 * f ( x, y) .
3( x) 2( y ) 3x 2 y
Дифференциальное уравнение y ' f ( x, y) называется однородным, если
f ( x, y ) является функцией степени 0, т. е. f ( x, y) f ( x, y ) .
Если уравнение y ' f ( x, y) является однородным, то его можно свести к виду
y
y' .
x
(2.11)
1
y
Действительно, полагая , получим f 1, f ( x, y ) .
x
x
Тогда уравнение примет вид
y
y
y ' f 1, или y ' .
x
x

10.

С помощью замены переменной
y
=u или y=xu,
x
y u xu
(2.12)
однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
После нахождения общего решения (или общего интеграла) надо заменить u
на
y
, получим общее решение (общий интеграл) однородного уравнения.
x
Замечание.
а) Уравнение вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
будет однородным, если P(x,y) и Q(x,y) – однородные функции одинаковой
степени.
б) Если в уравнение содержится функция аргумент, которой
однородное уравнение.
y
, то это
x

11. §2.4 Линейные уравнения

Уравнение вида
y P( x) y Q( x) ,
(2.13)
где P(x) и Q(x) – непрерывные функции,
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Оно содержит искомую функцию y и её производную y только в первой
степени.
Если Q(x) = 0, то уравнение (2.13) называется линейным однородным
уравнением, в противном случае – линейным неоднородным уравнением.
Рассмотрим два метода нахождения общего решения дифференциального
уравнения (2.13) – метод Бернулли и метод вариации произвольной постоянной
(метод Лагранжа).
МЕТОД БЕРНУЛЛИ
Общее решение уравнения (2.1) ищем в виде y u ( x) v( x) , где u(x) и
v(x) – неизвестные функции от х (одна из этих функций может быть выбрана
произвольно). Так как y u v uv , то подставляя выражения у и y в
уравнение (2.1), получим
u v uv P( x)uv Q( x) или u v u (v P( x)v) Q( x) . (2.14)

12.

Подберем функцию v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в
нуль, т.е.
v P( x)v 0 .
Решая это уравнение, найдем v(x).
dv
dv
dv
P( x)v 0,
P ( x )v,
P( x)dx.
dx
dx
v
Интегрируя, получим:
ln v P ( x)dx C
Так как функция v(x) может быть выбрана произвольно, можно принять С=0. Тогда
v e
P ( x ) dx
.
Подставляя найденную функцию v в уравнение (2.14), получим
u e
P ( x ) dx
Q( x) .
Решая это уравнение, найдем u(x):
du P ( x ) dx
e
Q( x),
dx
P ( x ) dx
du Q( x)e
dx,
P ( x ) dx
u Q( x)e
dx C .
Тогда общее решение данного линейного уравнения (2.13) будет иметь вид:
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u v Q( x)e
dx C e
.

13.

Пример.
Решить уравнение y
2
y 2 x3 .
x
Решение. Данное уравнение является линейным. Решение ищем в виде
y=uv, тогда y u v uv .
Подставляя выражения y и y в данное уравнение, получим
2
2
3
u v uv uv 2 x 3 , u v u v v 2 x .
(2.15)
x
x
dv 2
2
v,
v
v
0
Полагая
или
dx x
x
dv
dx
2 , следовательно ln v 2 ln x , отсюда v x 2 .
v
x
Теперь подставим полученное значение v в уравнение (2.15), получим
u x 2 u 0 2 x3 , т.е.
du
2 x,
dx
du 2 xdx
u x2 C .
Итак, общее решение данного уравнения есть
y u v x2 c x2 .

14. §2.5 Уравнение Бернулли

Уравнение вида
y P( x) y Q( x) y n , n R, n 0, n 1
(2.16)
называется уравнением Бернулли.
С помощью замены переменной
z y1 n
уравнение (2.16) можно свести к линейному относительно z.
Решение уравнения (2.16) можно находить методом Бернулли, то есть
в виде
y=uv.

15. §2.6 Уравнение в полных дифференциалах

Уравнение вида
P (x,y)dx + Q (x,y)dy = 0,
(2.17)
где левая часть его есть полный дифференциал некоторой функции u(x,y) в
некоторой области D, называется уравнением в полных дифференциалах, то есть
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = du (x,y),
тогда уравнение (2.17) можно записать в виде
du(x,y) = 0.
Отсюда, общий интеграл имеет вид
u (x,y) = C.
Теорема. Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) определены и непрерывны вместе со
Q
P
своими частными производными
и
в некоторой области D плоскости ОХУ.
y
x
Тогда для того, чтобы выражение P(x,y)dx + Q(x,y)dy было полным
дифференциалом некоторой функции, необходимо и достаточно выполнение
условия
P Q
y
x .
(2.18)

16.

Таким образом, уравнение (2.17) будет
дифференциалах, если выполняется условие (2.18).
уравнением
в
полных
Пусть условие (2.18) выполнено. Тогда существует функция u(x,y) такая,
что
du
u
u
dx
dy P ( x, y )dx Q( x, y )dy .
x
y
Отсюда
u
u
P ( x, y ),
Q ( x, y ) .
x
y
u
P ( x, y ) по х, получим
Проинтегрируем уравнение
x
u ( x, y ) P( x, y )dx ( y ),
где ( y ) - произвольная неизвестная функция от у.
Для нахождения функции ( y ) продифференцируем (2.20) по у
u
P( x, y )dx y ( y ) .
y
(2.19)
(2.20)

17.

Используя второе равенство (2.19), получим
Q( x, y ) P( x, y )dx y ( y ) .
Отсюда
( y ) Q( x, y ) P( x, y )dx y .
Интегрируя, находим ( y ) .
( y ) Q( x, y ) P( x, y )dx y dy C , где С-const.
(2.21)
Подставляя найденную функцию ( y ) в равенство (2.20), получим
функцию u(x,y).
Решение записывается в виде
u(x,y) = C.