Численные_методы_решения_систем_линейных_алгебраических_уравнений

1. Название лекции

Московский государственный
медико-стоматологический университет им. А.И. Евдокимова
• ЭФ МАТЕМАТИКА
Численные
Название
методы
решения
лекции
систем линейных
алгебраических
уравнений

2. Классификация численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Исследование сходимости

3. Общий вид СЛАУ

a11 x1 a12 x 2 a1 j x j a1n x n b1
a 21 x1 a 22 x 2 a 2 j x j a 2 n x n b2
ai1 x1 ai 2 x 2 aij x j ain x n bi
a n1 x1 a n 2 x 2 a nj x j a nn x n bn
где a – коэффициенты системы,
b – свободные члены,
х – неизвестные
n – количество уравнений в системе и количество неизвестных (порядок системы)

4. Запись СЛАУ в матричной форме

A X B
a11 a12 a1 j a1n
a 21 a 22 a 2 j a 2 n
A
ai1 ai 2 aij ain
a n1 a n 2 a nj a nn
X x1 x 2 x j x n
b1
b2
B
bi
bn

5. При решении СЛАУ возможно возникновение 3 случаев:

1. Пример:
2. Пример:
3. Пример:
5 x1 2 x 2 31
3 x1 x 2 1
x1 3
x2 8
5 x1 2 x 2 31
10 x1 4 x 2 62
5 x1 2 x 2 31
10 x1 4 x 2 28

6.

7. 2 класса методов решения СЛАУ:

1. Прямые методы.
2. Итерационные методы.

8. Прямые методы

Достоинство: устойчивость методов.
Недостаток: точность решения зависит от особенностей метода и
от количества уравнений.

9. Итерационные методы

Достоинство: точность решения задается пользователем.
Недостаток: методы являются неустойчивыми.

10. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)

Является прямым методом.
Исходные данные:
1.
А
2.
В

11. Алгоритм метода Гаусса:

1. Ввод исходных данных.
2. Прямой ход.
3. Обратный ход.
4. Вывод результатов.

12. Метод Гаусса для 3 уравнений с 3-мя неизвестными (система 3-го порядка)

1. х1:
a11 x1 a12 x 2 a13 x3 b1
a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x3 b2
a x a x a x b
32 2
33 3
3
31 1
b1 a12 x 2 a13 x 3
x1
a11
a11
a11
2. х1 подставляется во все оставшиеся уравнения системы.

13.

Получим следующее:
a
a
a
a 22 a12 21 x 2 a 23 a13 21 x 3 b2 b1 21
a11
a11
a11
a
a
a
a 32 a12 31 x 2 a 33 a13 31 x 3 b3 b1 31
a11
a11
a11
3. Новые обозначения:
a31
a11
a 21
a ' 22 a 22 a12
a11
a'32 a32 a12
a 21
a ' 23 a 23 a13
a11
a31
a'33 a33 a13
a11
a
b' 2 b2 b1 21
a11
b'3 b3 b1
a31
a11

14.

Новая система:
a11 x1 a12 x 2 a13 x3 b1
a ' 22 x 2 a ' 23 x3 b' 2
a '32 x 2 a ' 33 x3 b'3
4. х2:
b' 2 a ' 23 x3
x2
a ' 22
a ' 22
5. х2 подставляется во все оставшиеся
уравнения системы.

15.

Получим следующее:
a'
a'
a ' 33 a ' 23 32 x 3 b' 3 b' 2 32
a ' 22
a ' 22
6. Новые обозначения:
a ' 32
a ' ' 33 a '33 a ' 23
a ' 22
b ' ' 3 b ' 3 b ' 2
a ' 32
a ' 22
Новая система в верхнетреугольном виде:
a11 x1 a12 x 2 a13 x3 b1
a ' 22 x 2 a ' 23 x3 b' 2
a ' '33 x3 b' ' 3

16.

7. Неизвестные вычисляются в обратном порядке (обратный
ход):
b' ' 3
x3
a ' '33
b' 2 a ' 23 x3
x2
a ' 22
b1 a12 x 2 a13 x3
x1
a11

17.

ЗАМЕЧАНИЕ
В случае единственности решения СЛАУ методом
Гаусса всегда находится необходимое
решение.
Необходимо выполнения условия:
a ii 0

18. Метод Зейделя метод простых итераций

Является итерационным методом.
Исходные данные:
1.
А
2.
В
3.
Х(0)
4.
Е

19. Метод Зейделя для 3 уравнений с 3-мя неизвестными

a11 x1 a12 x 2 a13 x3 b1
a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x3 b2
a x a x a x b
32 2
33 3
3
31 1
1.
Из 1-го уравнения выражаем неизвестное х1,
из
2-го уравнения - х2, из 3-го - х3.

20.

Получим новую систему:
1
b1 a12 x2 a13 x3
x1
a11
1
b2 a 21 x1 a 23 x3
x2
a 22
1
b3 a31 x1 a32 x 2
x3
a33
2. В правую часть 1-го уравнения подставляем начальные
приближения неизвестных х2(0) и х3(0). Получаем уточненное
значение неизвестного х1(1).
3. В правую часть 2-го уравнения подставляем начальное
приближение неизвестного х3(0) и уточненное значение х1(1).
Получаем уточненное значение неизвестного х2(1).
4. В правую часть 3-го уравнения подставляем уточненные
значения неизвестных х1(1) и х2(1). Получаем уточненное
значение неизвестного х3(1).

21.

(1)
1
(0)
(0)
x
b
a
x
a
x
1
12 2
13 3
1
a11
(1)
1
(1)
(0)
x
b
a
x
a
x
2
2
21 1
23 3
a 22
(1)
1
(1)
(1)
x
b
a
x
a
x
3
3
31 1
32 2
a33
5. Далее рассчитывается разность между значениями
начальных приближений и уточненными значениями
неизвестных.
(1)
(0)
x1 x1
E
и
Если
то считается, что значения х1(1), х2(1), х3(1)
(0)
являются
данной системы. В
x 2(1) xрешением
E
2
противном случае эти значения
принимаются
за начальное приближение и
и
процесс
повторяется.
(1)
(0)
x3 x3
E

22.

ЗАМЕЧАНИЕ
Метод Зейделя является итерационным, итерации
сходятся не всегда.
Итерации всегда сходятся при выполнении
следующего условия:
a ii a ij
i j
условие преобладания диагональных
коэффициентов.

23. Метод Крамера для решения СЛАУ 2-го и 3-го порядка

Прямой метод. Метод линейной алгебры.
Исходные данные:
1.
А
2.
В

24. Условие существования единственного решения СЛАУ

det A ≠ 0

25. Метод Крамера для системы 2-го порядка

b1 a12
a11 x1 a12 x 2 b1
a 21 x1 a 22 x 2 b2
b2 a 22
b1 a 22 a12 b2
x1
a11 a12
a11a 22 a12 a 21
a 21 a 22
a11 b1
a 21 b2
a11b2 b1 a 21
x2
a11 a12
a11a 22 a12 a 21
a 21 a 22

26. Метод Крамера для системы 3-го порядка

a11 x1 a12 x 2 a13 x3 b1
a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x3 b2
a x a x a x b
32 2
33 3
3
31 1
x1
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
b2 a 22 a 23
a 21 b2 a 23
a 21 a 22 b2
b3 a32 a33
a31 b3 a33
a31 a32 b3
a11 a12 a13
x2
a11 a12 a13
x3
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
a 21 a 22 a 23
a 21 a 22 a 23
a31 a32 a33
a31 a32 a33
a31 a32 a33

27. Окончательные формулы:

b1 a 22 a 33 b1 a 23 a 32 b2 a12 a33 b2 a13 a32 b3 a12 a 23 b3 a13 a 22
x1
a11a 22 a33 a11a 23 a32 a 21a12 a33 a 21a13 a 32 a 31a12 a 23 a 31a13 a 22
a11b2 a 33 a11a 23b3 a 21b1 a33 a 21a13b3 a 31b1 a 23 a 31a13b2
x2
a11a 22 a33 a11a 23 a32 a 21a12 a33 a 21a13 a 32 a 31a12 a 23 a 31a13 a 22
a11a 22 b3 a11b2 a 32 a 21a12 b3 a 21b1 a32 a 31a12 b2 a 31b1 a 22
x3
a11a 22 a33 a11a 23 a32 a 21a12 a33 a 21a13 a 32 a 31a12 a 23 a 31a13 a 22
Для систем более высоких порядков
метод Крамера практически не
применяется