Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона

1. Лекция

Метод Ньютона: 1- и 2-я
интерполяционные
формулы Ньютона.

2. Понятие конечных разностей

Пусть задана функция y=f(x) на отрезке
[x0,xn], который разбит на n одинаковых
отрезков (случай равноотстоящих
значений аргумента). x=h=const. Для
каждого узла x0, x1=x0+h, ..., xn=x0+n h
определены значения функции в виде:
f(x0)=y0, f(x1)=y1, ..., f(xn)=yn.

3. Понятие конечных разностей

Конечные разности первого порядка
y0 = y1 – y0
y1 = y2 – y1
. . . . .
yn-1 = yn – yn-1.
Конечные разности второго порядка
2y0 = y1 – y0
2y1 = y2 – y1
. . . . . .
2yn-2 = yn-1 – yn-2
Аналогично определяются конечные разности высших
порядков:
ky0 = k-1y1 – k-1y0
ky1 = k-1y2 – k-1y1
.
.
.
kyi = k-1yi+1 – k-1yi
.
.
,
.
i = 0,1,...,n-k.

4. Понятие конечных разностей

Конечные разности функций удобно
располагать в таблицах, которые могут
быть:
1.
2.
Диагональными;
Горизонтальными.

5. Диагональная таблица

6. Горизонтальная таблица

7. Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть для функции y = f(x) заданы значения
yi = f(xi) для равностоящих значений
независимых переменных: xn = x0 +nh, где h
- шаг интерполяции.
Необходимо найти полином Pn(x) степени не
выше n, принимающий в точках (узлах) xi
значения:
Pn (xi) = yi ,
i=0,...,n.
Запишем интерполирующий полином в виде:

8.

Задача построения многочлена сводится к
определению коэффициентов аi из
условий:
Pn(x0)=y0
Pn(x1)=y1
. . . .
Pn(xn)=yn

9. Определение коэффициентов

Полагаем в интерполирующий полиноме
x = x0 , тогда, т.к. второе, третье и другие
слагаемые равны 0,
Pn(x0) = y0 = a0
a0=y0.
Найдем коэффициент а1.
При x = x1 получим:

10. Определение коэффициентов

Для определения а2 составим конечную
разность второго порядка.
При x = x2 получим:

11. Построение многочлена

Аналогично можно найти другие коэффициенты.
Общая формула имеет вид.
Подставляя эти выражения в формулу полинома,
получаем:
где xi ,yi – узлы интерполяции; x – текущая переменная; h –
разность между двумя узлами интерполяции
h – величина постоянная, т.е. узлы интерполяции
равноотстоят друг от друга.

12. Первая интерполяционная формула Ньютона

Этот многочлен называют
интерполяционным полиномом Ньютона
для интерполяции в начале таблицы
(интерполирование «вперед») или первым
полиномом Ньютона.

13. Первая интерполяционная формула Ньютона

Для практического использования этот
полином записывают в преобразованном
виде, вводя обозначение t=(x – x0)/h, тогда
Эта формула применима для вычисления
значений функции для значений
аргументов, близких к началу интервала
интерполирования.

14. Пример

Дана таблица значений теплоёмкости
вещества в зависимости от температуры
Cр =f(T). Определить значение
теплоёмкости в точке Т=450 К, n=3; h=100
Таблица 1

15. Пример

Составим таблицу конечных разностей функции.
Таблица 2
Воспользуемся первой интерполяционной
формулой, запишем интерполяционный многочлен
при x=450 К.

16. Пример

Таким образом, теплоемкость при
температуре 450 К будет:
Сp(450)=71,31Дж/(моль К) .
Значение теплоемкости при Т=450 К
получили такое же, что и рассчитанное по
формуле Лагранжа.

17. Вторая интерполяционная формула Ньютона

18. Область применения

Второй интерполяционный полином
Ньютона применяется для нахождения
значений функций в точках,
расположенных в конце интервала
интерполирования.
Запишем интерполяционный многочлен в
виде:

19. Определение коэффициентов

Коэффициенты а0,а1,..., аn определяем из
условия:
Pn (xi ) = yi i=0,...,n.
1.Полагаем в интерполяционном
многочлене x = xn,, тогда

20. Определение коэффициентов

2.Полагаем x=xn-1, тогда:
Pn(xn-1)=yn-1=yn+a1(xn-1 – xn) ,
Следовательно:
3.Полагаем x=xn-2 , тогда
h=xn – xn-1 ,

21. Определение коэффициентов

Аналогично можно найти другие коэффициенты
многочлена:

22. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Подставляя эти выражения в формулу (1),
получим вторую интерполяционную
формулу Ньютона или многочлен
Ньютона для интерполирования «назад».

23. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Введем обозначения:

24. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Произведя замену , получим
Это вторая формула Ньютона для
интерполирования «назад».

25. Пример

Вычислить теплоемкость (табл.1) для
температуры Т=550 К.
Воспользуемся второй формулой Ньютона
и соответствующими конечными
разностями (табл. 2)

26. Пример

Следовательно, значение теплоемкости
при температуре 550 К равно:
Ср(550)=97,01 Дж/(моль К).

27. Аппроксимация функций

28.

Особенностью интерполяции являлось то,
что интерполирующая функция строго
проходит через узловые точки таблицы,
т. е. рассчитанные значения совпадали с
табличными: yi=f(xi).
Эта особенность обуславливалась тем, что
количество коэффициентов в
интерполирующей функции (m) было
равно количеству табличных значений (n)

29. Особенности аппроксимации

если для описания табличных данных
будет выбрана функция с меньшим
количеством коэффициентов (m<n),
что часто встречается на практике, то
уже нельзя подобрать коэффициенты
функции так, чтобы функция
проходила через каждую узловую
точку.

30. Особенности аппроксимации

В лучшем случае, она будет проходить каким – либо
образом между ними и очень близко к ним (рис. 1).
Такой способ описания табличных данных называется
аппроксимацией, а функция – аппроксимирующей.

31. Условия применения аппроксимации

1.
Когда количество табличных значений
очень велико. В этом случае
интерполирующая функция будет очень
громоздкой. Удобнее выбрать более
простую в применении функцию с
небольшим количеством коэффициентов,
хотя и менее точную.

32. Условия применения аппроксимации

2.
Когда вид функции заранее определен.
Такая ситуация возникает, если требуется
описать экспериментальные точки какойлибо теоретической зависимостью.

33. Условия применения аппроксимации

3.
Аппроксимирующая функция может сглаживать
погрешности эксперимента, в отличие от
интерполирующей функции.
Так, на рис.2 точками показаны табличные данные
– результат некоторого эксперимента. Разброс
данных объясняется погрешностью эксперимента.

34. Условия применения аппроксимации

интерполирующая функция, проходя через каждую
точку, будет повторять ошибки эксперимента, иметь
множество экстремумов: минимумов и максимумов
– и в целом неверно отображать характер
зависимости Y от X. Этого недостатка лишена
аппроксимирующая функция.

35. Условия применения аппроксимации

4.
Интерполирующей функцией невозможно
описать табличные данные, в которых есть
несколько точек с одинаковым значением
аргумента.
Такая ситуация возможна, если один и тот же
эксперимент проводится несколько раз при
одних и тех же исходных данных. Однако это не
является ограничением для использования
аппроксимации, где не ставится условие
прохождения графика функции через каждую
точку.