Угол между прямыми на плоскости, тригонометрия в произвольном треугольнике, теорема косинусов

1. Повторение: угол между прямыми на плоскости, тригонометрия в произвольном треугольнике, теорема косинусов

2.

Повторение:
Углом между двумя пересекающимися прямыми
называется наименьший из углов, образованных
при пересечении прямых.
b
a
180
0
Пусть – тот из углов, который не
превосходит любой из трех остальных углов.
Тогда говорят, что угол между
пересекающимися прямыми равен

3.

Повторение:
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол
между пересекающимися прямыми, соответственно
параллельными данным скрещивающимися.
b
a
n
m
M
a
b
Через произвольную точку М проведем прямые m и n,
соответственно параллельные прямым a и b.
Угол между скрещивающимися прямыми a и b равен

4.

Повторение:
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол
между пересекающимися прямыми, соответственно
параллельными данным скрещивающимися.
b
a
m
M
a
b
Точку М можно выбрать произвольным образом.
В качестве точки М удобно взять любую точку на одной
из скрещивающихся прямых.

5.

Повторение:
При нахождении угла между прямыми
используют
1) Формулу
cos
b2 c2 a2
2bc
(теорема косинусов)
для нахождения угла между прямыми m и n, если стороны
a и b треугольника АВС соответственно параллельны этим
прямым;
2) Или в координатной форме:
cos
х1х 2 у 1у 2 z 1z 2
x 12 y 12 z 12 x 22 y 22 z 22
3) Ключевые задачи;

6.

Повторение.
Соотношения между сторонами и
C
b
A
α
bc
углами прямоугольного треугольника
a2 + b2 = c2
a
h
c
h bc ac
ac
a ac c
a
sin
c
В
b
cos
c
a
tg
b
b bc c

7.

№1
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
угол между прямыми АВ1 и ВС1.
1
D1
1
I решение
С1
2
А1
1) Прямая AD1 параллельна
прямой ВС1,
В1
Угол между прямыми АВ1 и
ВС1 равен углу В1AD1.
2
1
2
D
А
2) Треугольник В1AD1 –
равносторонний, В1AD1 = 600.
1
С
В
0
60
Ответ:

8.

№1
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
угол между прямыми АВ1 и ВС1.
II решение
1
D1
С1 1) Введем систему координат,
1
А1
В1
считая началом координат (·) А,
осями координат – прямые АВ,
АД, АА1. А(0;0;0)
1
D
А
С
1
В
cosα
АВ 1 (1;0;1)
В 1 (1;0;1)
В(1;0;0)
ВС1 (0;1;1)
С1 (1;1;1)
х1х 2 у 1у 2 z 1z 2
x 12 y 12 z 12 x 22 y 22 z 22
cos = 1/2, (АВ1;AD1) = 600.
0
60
Ответ:

9.

В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
угол между прямыми А1Д и Д1Е,
где Е – середина ребра СС1.
№2
I решение
D1
С1 1) Прямая A М параллельна
прямой ВС1
А1
1
Угол между прямыми А1D и
Д1Е равен углу МA1D.
В1
Е 2) из ∆МA1D по теореме
косинусов:
D
А
М
В
С
cosα
b2 c2 a2
2bc
1
Ответ: α arccos
10

10.

В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
угол между прямыми А1Д и Д1Е,
где Е – середина ребра СС1.
№2
II решение
D1
А1
С1 1) Введем систему координат,
В1
считая началом координат (·) А,
осями координат – прямые АВ,
АД, АА1.
Е
D
С
А 1 (0;0;1)
А 1 Д (0;1;-1)
В(0;1;0)
Д 1 (0;1;1)
Д 1Е(1;0;-0,5)
Е(1;1;0,5)
cosα
А
В
х1х 2 у 1у 2 z 1z 2
x 12 y 12 z 12 x 22 y 22 z 22
Ответ: α arccos
1
10

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

В правильной треугольной призме
ABCA1B1C1 ,все ребра которой равны 1,
найдите косинус угла между прямыми
АВ и A1C .
1
В1 1) Прямая A В параллельна
№3
А1
прямой АВ,
2
1
Угол между прямыми АВ и
А1С равен углу СA1В1.
С1
1
1
2) из ∆ СA1В1 по теореме
косинусов:
2
В
А
cosα
b2 c2 a2
2bc
1
С
Ответ: 2
4

23.

№4
В правильной треугольной призме
ABCA1B1C1,все ребра которой равны 1,найдите
косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1 .
С1
М
А1
В1
С
М
А
1
1
В
11
Ответ: 4

24.

№5
В правильной четырехугольной пирамиде
SАВСД, все ребра которой равны 1, точка Е –
середина ребра SD. Найдите тангенс угла
между прямыми АЕ и SВ.
S
Подсказка:
1
Р
Р
1
К
Д
D
М
С
К
О
А
3
2
2
2
1
1
1
2
М
В
Ответ: 2

25.

№6
В правильной шестиугольной призме A … F1,
все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми AB1 и BC1
Е1
D1
О1
F1
1
А1
В1
2
1
2
Е
D
О
F
А
1
1) Построим плоскость
АА1D1D параллельную
плоскости ВВ1С1С. Тогда
С1 прямая AO1 параллельна
прямой BC1, и искомый
угол φ между прямыми AB1 и
BC1 равен B1AO1.
С
В
1
Ответ: 0,75

26.

№6
В правильной шестиугольной призме A … F1,
все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми AB1 и BC1
II решение
1
Е1
D1
F1
А1
1
В1
Е
F
А
1
В
1) Введем систему
координат, считая
С1 началом координат точку
A (0; 0; 0), тогда
В 1 (1;0;1)
АВ 1 (1;0;1)
А(0;0;0)
3
3
С1 (1,5;
;1) ВС
(0,5;
;1)
1
2
D
2
В(1;0;0)
С
х1х 2 у 1у 2 z 1z 2
cosα
1
x 12 y 12 z 12 x 22 y 22 z 22
Ответ: 0,75

27.

Домашнее задание
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
косинус угла между прямыми АВ и СА1.
Ответы :
3
3
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 ,все
ребра которой равны 1, найдите косинус угла между
прямыми АВ1 и ВС1 .
1
Ответы :
4
В правильной шестиугольной призме
АВСДЕFА1В1С1Д1Е1F1, все ребра которой равны 1,
найдите косинус угла между прямыми AB1 и BД1 .
Ответы :
2
4

28.

Домашнее задание
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
косинус угла между прямыми АВ и СА1.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 ,все
ребра которой равны 1, найдите косинус угла между
прямыми АВ1 и ВС1 .
В правильной шестиугольной призме
АВСДЕFА1В1С1Д1Е1F1, все ребра которой равны 1,
найдите косинус угла между прямыми AB1 и BД1 .