Формула Тейлора с целым остатком. Формула Тейлора-Янга. Асимптотическое приближение полиномами

1.

Лекции 4
Формула Тейлора с целым остатком.
Формула Тейлора-Янга.
Асимптотическое приближение полиномами.
Единственность разложения.
Интегрирование асимптотического
приближения полиномами.
Аскарова А.Ж.

2. План лекции

1. Формула Тейлора с интегральным
остатком.
2. Формула Тейлора-Янга.
3. Асимптотическое приближение
полиномами.
4. Единственность APD .
5. Интегрирование APD .
6. Примеры
Аскарова А.Ж.

3.

Формула Тейлора с интегральным остатком
Утверждение 1 .
Если f - функция класса
n
f b
на [a,b], то
b a k f k a R b
n
k!
k 0
,
n
b
t
где Rn b
f n 1 t dt.
b
a
n!
Величина Rn b называется интегральным
остатком формулы Тейлора.
Аскарова А.Ж.

4.

Формула Тейлора с интегральным остатком
b
Для n 1 это говорит, что f b f a f t dt ,
которые мы изучали для
a
функций. Идея этой
формулы заключается в последовательном
интегрировании по частям.
Аскарова А.Ж.

5.

Формула Тейлора с интегральным остатком
Мы работаем по индукции, предполагая, что
формула верна для функций из класса
имеем
n 1
b t
Rn 1 b
f n t dt.
n 1 !
a
. Тогда мы
b
Если f - функция из класса
на [a,b], то мы
можем применить формулу для
-функций.
Аскарова А.Ж.

6.

Формула Тейлора с интегральным остатком
Тогда, используя интегрирование по частям с
n
b t и
u t
v t f n t , мы получаем :
n!
n
n
b
b t
b t n 1
b a
n
t dt
Rn 1 b
f t
f
f n a Rn b
n!
n!
a a n!
n
b
Если мы заменим Rn 1 b
на этот результат, то
получим формулу для
.
Аскарова А.Ж.

7.

Формула Тейлора с интегральным остатком
Упражнение 1
Примените формулу к
х arctgx и выведите, что
для x 0 , arctgx x .
Аскарова А.Ж.

8.

Формула Тейлора с интегральным остатком
Решение упражнения 1
n
arctgx
x 0 k f k 0 x x t n arctgt n 1 dt
k 0
arctgx 1 2
1 x
arctgх 0
1
arctgx
k 0
k!
0
, arctgx
0
1 0
2 2
0
2x
1 x
2 2
n!
1
1 ,
, arctgх 0
2
1 0
.
x k f k 0 x x t 1 arctgt 1 1 dt x 0 0 x1 1 x x t 1 2t dt
k!
0
1!
0!
1!
0
1!
t 1
2
2
Аскарова А.Ж.
,

9.

Формула Тейлора с интегральным остатком
x t
arctgx x 2
1
x
1!
0
t
t 1
2
2
dt.
Что и требовалось показать, так как
x
0
x t
1
1!
t
t 1
2
2
dt 0.
Аскарова А.Ж.

10.

Формула Тейлора с интегральным остатком
Упражнение 2
Покажите, что для всех x R * и для всех n N ,
xk
exp x
.
k 0 k!
n
Аскарова А.Ж.

11.

Формула Тейлора с интегральным остатком
Решение упражнение 2
x
k
n
n t
x
n t
x
t e
t e
e
dt.
dt 0
n!
n!
k 0 k!
0
0
x
n
k
x
n t
x
t e
e
dt 0.
n!
k 0 k!
0
x
Аскарова А.Ж.

12.

Формула Тейлора-Янга
Выведем локальную формулу Тейлора в окрестности
точки 0:
Утверждение 2 (формула Тейлора-Янга) Если f функция класса
на открытом интервале I,
считая от 0, то мы имеем в окрестности точки 0:
n
k
x k
n
f x f 0 o x
x 0
k 0 k!
Аскарова А.Ж.

13.

Формула Тейлора-Янга
Используем первую формулу Тейлора на [0,x] :
k
x
x k
t n n 1
t dt
f x f 0 f
n!
k 0 k!
0
n
x k k
f x f 0 Rn x
k 0 k!
n
Пусть a, b I при a 0 b
и
M max f n 1
a ,b
( f n 1 ограничена, так как непрерывна на [a,b]).
Аскарова А.Ж.

14.

Формула Тейлора-Янга
Тогда для всех x a, b ,
x
n 1
n
так как
x
t n 1
t dt M
Rn x f
o xn ,
n 1 !
n!
0
x
n
x
n
t
t n 1
n 1
t dt
f
t
dt
f
0 n!
0 n!
Мы допустим, что теорема верна, если f
принадлежит только классу
.
Аскарова А.Ж.

15.

Асимптотическое приближение полиномами
Следующая теория рассматривается в окрестности
точки 0.
Если это не так, мы возвращаемся к ней, определяя
h x a , если x описывает окрестность точки a,
или h
1
, если x находится в окрестности
x
.
Обозначим через I открытый интервал, содержащий
0, а через n - натуральное число.
Аскарова А.Ж.

16.

Асимптотическое приближение полиномами
Определение 1
Функция f, определенная в окрестности точки 0, (за
исключением, возможно, самой точки 0) допускает
асимптотическое полиномиальное приближение
порядка n в окрестности точки 0, если существуют
числа a0 , a1 ,..., a n такие, что f x a k x k o x n .
n
k 0
Аскарова А.Ж.

17.

Асимптотическое приближение полиномами
n
Отображение
Pn : x a k x k называется
k 0
полиномиальной частью разложения порядка n.
Мы можем доопределить f по непрерывности в точке
0, положив f 0 a0 , и теперь рассмотрим только
функцию, доопределенную по непрерывности.
Мы напишем, что у нас есть APDn(0) (asymptotic
polynomial development - асимптотическое
приближение полиномами)
Аскарова А.Ж.

18.

Асимптотическое приближение полиномами
Используя теорему о геометрической прогрессии,
1 x n 1
имеем
1 x ... x n , поэтому
1 x
1
1 x ... x n o x n .
1 x
Аскарова А.Ж.

19.

Асимптотическое приближение полиномами
Замечание 1.
- Если функция f принадлежит классу
на I , то
формула Тейлора-Янга гарантирует, что она имеет
асимптотическое приближение полиномами
порядка n в окрестности точки 0 (мы можем написать
"f допускает APDn (0)"), которое записывается так
n
k
.
f
k
n
f x
x o x
x 0
k 0 k!
Аскарова А.Ж.

20.

Асимптотическое приближение полиномами
Замечание 2.
- Мы имеем следующие эквивалентности
f непрерывна в точке 0;
f допускает APD1 (0) f имеет производную в
f допускает APD0 (0)
точке 0.
Во втором случае мы имеем разложение
f x f 0 xf 0 o x
x 0
Аскарова А.Ж.

21.

Асимптотическое приближение полиномами
Упражнение 3:
1
Пусть f x x sin , для x 0 и f 0 0 .
x
3
Покажите, что f имеет APD2(0), но что f не имеет
производной второго порядка при x=0.
Аскарова А.Ж.

22.

Асимптотическое приближение полиномами
Решение упражнения 3:
, (
Мы имеем f x o x
2
f x x 3 sin
)
1
1
x 2 х sin о х 2
x
x
0
поэтому f допускает нулевой полином как APD2(0)
f x
lim
0 , поэтому f дифференцируема в точке 0 и
x 0
x
f 0 0
Для
x 0
.
1
1
мы имеем f x 3x sin x cos .
x
x
2
Аскарова А.Ж.

23.

Асимптотическое приближение полиномами
f x
Затем мы можем заметить, что x
не имеет
x
предела в точке 0, и поэтому f не имеет производной
второго порядка в точке 0.
Мы заключаем, что для n 2 APDn(0) может
существовать для функций, которые не являются nкратно дифференцируемыми в точке 0. Таким
образом, существование APDn(0) не эквивалентно
существованию разложения Тейлора в 0 для n 2 .
Аскарова А.Ж.

24.

Единственность APD
Утверждение 3 (Единственность APD)
Полиномиальная часть асимптотического
приближения полиномами, если она существует,
является единственным.
Предположим, что f допускает в окрестности точки 0
ограниченное разложение
n
n
.
f x а k x k o x n bk x k o x n
x 0
k 0
x 0
k 0
Аскарова А.Ж.

25.

Единственность APD
Будем рассуждать абсурдно и предположим
a0 , a1 ,..., an b0 , b1 ,..., bn . Тогда можно считать,
что p min k N / a k bk .
n
n
.
k
n
a
x
a
x
b
x
b
x
o
x
k
k
Таким образом, p
p
p
k
k p 1
p
k p 1
x 0
k p
n p
для x 0 .
b
a
x
o
x
k
k
x 0
a p bp
n
k p 1
Переходя к пределу при x 0 , получаем a p b p ,
что дает противоречие.
Аскарова А.Ж.

26.

Единственность APD
Упражнение 4: Вычислите значение всех
последовательных производных в точке 0 от
f : x arctgx .
Аскарова А.Ж.

27.

Единственность APD
Решение упражнения 4:
Пусть
p .
p
1
k 2k
2p
, для всех
g x f x
1
x
o
x
2
1 x
k 0
Так как g
является единственным
разложением Тейлора. Поэтому для всех k 1 ,
g
2 k 1
0 f
2 k
g 2 k 0
k
0 0 и для k 0 ,
1
2k !
поэтому g 2 k 1 0 1 k 2k !
Аскарова А.Ж.
,

28.

Единственность APD
Утверждение 4 Пусть f - функция, допускающая в
окрестности точки 0 APDn(0), полиномиальная часть
n
k
P
x
а
x
которой
k .
k 0
Если f - четная, то P x содержит только четные
степени x. Если f - нечетная, то P x содержит
только нечетные степени x.
Аскарова А.Ж.

29.

Единственность APD
Если f - четная, то
n
n
f x f x 1 аk x o x 1 ak x k o x n .
x 0
k 0
k
k
n
k
k 0
Поэтому, в силу единственности, для всех 0 k n ,
ak 1 ak .
k
Аскарова А.Ж.

30.

Единственность APD
Утверждение 5
1
1 x x 2 ... x n o x n ;
1 x x 0
2
n
x x
x
exp x 1
...
o xn ;
x 0
1! 2!
n!
x3 x5
x 2 n 1
n
sin x x
... 1
o x 2n 2 ;
x 0
2n 1 !
3! 5!
2n
x2 x4
x
n
cos x 1
... 1
o x 2 n 1 ;
x 0
2n !
2! 4!
Аскарова А.Ж.

31.

Единственность APD
1 x x 01 x
где
1 2
2!
n
x ... x o x n , R ,
n
1 .... n 1
;
n!
n
1
1 2
n 1 1 3 ... 2n 3 n
1 х 1 x x ... 1
x o xn ;
x 0
2
8
2 4 ... 2n
Аскарова А.Ж.

32.

Интегрирование APD
( n 1) в
Если f принадлежит классу
окрестности точки 0, то любая первообразная F
функции f принадлежит классу
принадлежит классу
,а f
.
Аскарова А.Ж.

33.

Интегрирование APD
В этом случае по формуле Тейлора мы знаем, что F и
f имеют разложение в ряд Тейлора, полученное
интегрированием и дифференцированием f .
Что будет, если мы знаем только, что f имеет APDn(0)?
Это обычная ситуация, которую мы будем часто
использовать.
Аскарова А.Ж.

34.

Интегрирование APD
Будем считать, что:
Утверждение 6
Если отображение f, непрерывное на I, допускает
APDn(0) полиномиальной части, обозначенную за P,
то любая первообразная F функции f допускает
APDn+1(0), полиномиальная часть которого
получается интегрированием P.
Аскарова А.Ж.

35.

Интегрирование APD
x
n 1
F
x
F
0
P
t
dt
o
x
Таким образом,
.
x 0
0
Другими словами, если
n 1
F x F 0
x 0
k 1
k 1 k
k
n
f x k x k o x n , тогда
x 0
.
x o x n 1
k 0
Так что это хорошо работает с интегрированием.
Аскарова А.Ж.

36.

Интегрирование APD
f определяется как
1
f x x sin
при
x
2
х 0 и
f 0 0 допускает Р 0 как APD1(0), но
f x 2 x sin
1
1
cos , при х 0 не является
x
x
непрерывной в точке 0 (поэтому не имеет APD) :
Если функция дифференцируема и имеет APDn(0), это
не означает, что f имеет APDn-1(0).
Аскарова А.Ж.

37.

Интегрирование APD
Поэтому мы должны быть осторожны с производной:
если мы знаем, что
f имеет APD порядка n -1, то
мы можем использовать теорему интегрирования.
Тогда мы можем получить обычные APDn(0) :
Утверждение 7
x2 x3
x n 1
ln 1 x x
...
o x n 1 ;
x 0
2
3
n 1
n 1
x2 x3
n x
ln 1 x x
... 1
o x n 1 ;
x 0
2
3
n 1
n
arctgx
x 0
k 0
1 k x 2k 1 o x 2n 1 ;
2k 1
Аскарова А.Ж.

38.

Интегрирование APD
Упражнение 5.
Найдите APD функции
f : х ln 1 x sin x
в
окрестности точки 0 при порядке [n=4].
Аскарова А.Ж.

39.

Интегрирование APD
2
n 1
3
x
x
n x
ln 1 x x
... 1
o x n 1 ;
x 0
2
3
n 1
2
x sin x
x3
x4
2
4
3
f х x sin x
o x x x
o x
o x 4 x 2 x 4 o x 4
2
6
2
3
Аскарова А.Ж.

40.

Интегрирование APD
Упражнение 6.
Найдите APD функции
f : х 1 ex
в
окрестности точки 0 при порядке [n=2].
Аскарова А.Ж.

41.

Интегрирование APD
2
n
x x
x
n
exp x 1
...
o x ;
x 0
1! 2!
n!
2
2
x2
x
x
x
f х 1 1 x
o x2 2 x
o x2 2 1
o x2
2
2
2 4
1 x x2 1 x2 2
3 2
1
2
f х 2 1 o x 2 1 x x o x 2
2 2 4 8 2
32
4
Аскарова А.Ж.

42.

Ссылки
https://www.coursera.org/lecture/calculus-for-dataanalysis/formula-tieilora-7pKz9
https://www.youtube.com/watch?v=YrbE6M7TB5c
https://www.youtube.com/watch?v=IZrJsHninBY
https://www.youtube.com/watch?v=1X8m_IFAauY&t=37s
https://www.youtube.com/watch?v=Q1Tx-BYxt1Q&t=46s
https://www.youtube.com/watch?v=Yn3DX8aPHeQ
https://www.youtube.com/watch?v=g-rKp12KmlA
https://www.youtube.com/watch?v=h4Xb-ENEhDE
Аскарова А.Ж.