Формула Тейлора. Остаточный член в виде Лагранжа. Разложение элементарных функций

1. Лекция 12. Формула Тейлора. Остаточный член в виде Лагранжа. Разложение элементарных функций.

2.

Формула Тейлора
Если f(x) - непрерывна в т. х0, то справедливо разложение
f(x)=f(x0)+о(1), при x x0,
если же f(x)
дифференцируема
в т. х0
тогда имеем,что f(x)=
f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) о( x x0 ), при x x0.
Оказывается, что если функция несколько раз дифференцируема, то
справедлива теорема.
Теорема. О разложении по формуле Тейлора.
Если функция f(x) в т. х0 и некоторой ее окрестности «n» раз
дифференцируема, то она в окрестности т. х0 представима в виде:
f(x)=Pn(x)+о((x-x0)n), x x0, где
f '( x 0 )
f '' ( x 0 )
f ( n) ( x 0 )
2
Pn ( x) f ( x 0 )
(x x0 )
( x x 0 ) ...
(x x0 ) n
1!
2!
n!
(многочлен Тейлора).

3.

Доказательство.
Так как функция n раз дифференцируема в т. х0, то существуют f(x0),
f’(x0); f’’(x0)...f(n)(x0).
Рассмотрим многочлен Pn(x)=a0+a1 (x1-x0)+a2 (x-x0)2+....+an(x-x0)n. Подберем
коэффициенты этого многочлена так, чтобы:
Pn ( x 0 ) f ( x 0 )
( n)
( 2)
Pn' ( x 0 ) f ' ( x 0 ) a0=f(x0); a1= f ' ( x 0 ) ; a2= f ( x 0 ) ; an= f ( x 0 ) ,
1!
n!
2!
( n)
( n)
Pn ( x 0 ) f ( x 0 )
так как
P’n(x)=a1+2a2(x-x0)+....+nan(x-x0)n-1
P’’n(x)=2a2+...+n(n-1)an (x-x0)n-2
P(n)n= n
( n 1)( n 2)...2 1 a n .
n!
f (k) (x0 )
Получим: Pn(x)=
( x x 0 ) k - многочлен Тейлора.
K!
k 0
n

4.

Рассмотрим
функцию
rn(x)=f(x)Pn(x).
Она
такова,
(n)
rn(x0)=r’n(x0)=...=rn (x0)=0. Применив правило Лопиталя имеем
что
rn ( x )
0
0 ...=
=
lim
lim
n 1
n
x x 0 n ( x x )
0
x x 0 ( x x )
0
0
0
r0 ( x)
def
n
r ( n) ( x)
= lim
0 rn(x)=0((x-x0) )
x x0
n!
- бесконечно-малая более высокого порядка,
чем (х-х0)n, а значит получена формула
f(x)=Pn(x)+о((x-x0)n) - формула Тейлора.
Функция rn(x) - остаточный член формулы Тейлора. Если остаточный
член rn(x)=о((x-x0)n), то такая форма записи остаточного члена называется
формой записи Пеано. Если же f(n+1)(x), то rn(x) можно представить в форме
f ( n 1) ( )
( x x 0 ) n 1 ,
записи Лагранжа rn
( n 1)!
где - некоторое число из окрестности точки х0.

5.

Теорема. О наилучшем приближении дифференцируемой функции
многочленам.
Если «n» раз дифференцируемая функция в окрестности точки х0
представлена в виде
f(x)=Pn(x)+о((x-x0)n), х х0, то многочлен Pn(x), коэффициенты которого
f (k) (x0 )
an
, k=0,1,...n, - многочлен Тейлора.
k!
Многочлен Тейлора является наилучшим из всех других многочленов для
приближения функции в окрестности т. х0, так как разность f(x)-Pn(x)=о((xx0)n) можно сделать сколь угодно малой.
Если же х0=0, то формула Тейлора преобразуется в формулу Маклорена:
f(x) =
f ( 0)
f ''(0) 2
f ( n) n
f(0)+
x
x ...
x о( x n ) .
1!
2!
n!
многочлен Маклорена
Сделав замену переменных х-х0= всегда можно перейти от формулы
Тейлора к формуле Маклорена и наоборот. А поэтому для разложений на
практике пользуются таблицей разложений по формуле Маклорена как более
простой.

6.

Таблица разложений:
x
e =
xk
0( x n )
k 0 K !
n
2 k 1
x
sin x = ( 1)
”( x 2 n 2 )
k 0
(2K 1)!
n
cosx =
tgx =
k
x 2k
о( x 2 n 1 )
( 1)
(2K)!
k 0
n
k
x3
x+ 2 x 5 17 x 7 ... о( x 2n 1 )
3 15
315
x k 1
о( x n 1)
ln(1+x) = ( 1)
K 1
k 0
n
arcsinx = x+
k
1 3 1 3 5 1 3 5 7
x
x
x ... о( x 2 n 1 )
2
2 4
2 4 6
1 3 5 7 ... (2n+1) = (2n+1)!!
2 4 6 8 ... 2n = (2n)!!
arccosx = -arcsinx
2
x3 x5 x7
arctgx = x- ... о( x 2n 1)
3
5
7
(1+x) = 1+ x+
( 1) 2 ( 1)( 2) 3
x
x ... о( x n )
1 2
1 2 3