Первообразная и неопределенный интеграл

1.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра прикладной математики
И.Г. Руцкова
Электронный курс лекций «Математический анализ»,
часть 10
Оренбург 2017

2. Первообразная: определение

3. Первообразная: простейшие свойства

Доказательство.
F x D X
Ф x F x C D X ;
C D X
Ф x F x C F x C f x .
;
Доказательство.
Ф x F1 x F2 x
F1 x D X
Ф x D X
F2 x D X
Ф x F1 x F2 x F1 x F2 x f x f x 0, x X
C R : Ф x C , x X
F1 x F2 x C , x X

4. Неопределённый интеграл: определение

5. Неопределённый интеграл: свойства

Доказательство.

6. Неопределённый интеграл: свойства

Доказательство.

7. Неопределённый интеграл: свойства

8. Таблица неопределённых интегралов

9. Таблица неопределённых интегралов

10. Таблица неопределённых интегралов

11. Доказательство формул 11.1 и 12.1

1
1
1
2
x
2
ln x x 1
x x 1
1
x x2 1
x x2 1 2 x2 1
2
x
1
1
2
2
2
x x 1
x 1 x x 1
1
x
2
1 x
x 1
2
1
x 1
2
,
1 1 x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x
ln
2
1 x
2 1 x 2 1 x 1 x 2 1 x
1 1 x
2
1
1
.
2
2
1 x 1 x 1 x
2 1 x 1 x

12. Методы интегрирования: метод разложения

Доказательство.

13.

Решение.

14. Методы интегрирования: метод подведения под знак дифференциала

Доказательство.
F ( x ) u x F u u f u u f ( x ) ( x )

15.

Решение.
ln x
4
u ln x
5
1
ln
x
4
5
dx ln x d ln x 4
C ,C R; X R .
u
x
5
u du 5 C

16. Свойства дифференциала

17. Методы интегрирования: метод подведения под знак дифференциала

.

18. Методы интегрирования: метод замены переменной

Доказательство.
F
1
x
F t f t t ,
F
1
x
f t t
t
1
x
1
x F t x ,
1
, x X ,
t
1
f t f x .
( t )
1

19.

Решение.
t 6 1 x
2
x t 1 ( t )
x 1 x
t 1 t3
5
dx
6
t
dt
3 1 x
2
t
dx 6t 5 dt
6
2
6
t ( 0, )
6t 3 t 12 2t 6 1 t 3 dt 6 ( t 15 2t 9 t 3 t 6 )dt
6t 16 12t 10 6t 4 6t 7
C
16
10
4
7
33 1 x 8 63 1 x 5 33 1 x 2 66 1 x 7
C
8
5
2
7

20.

x 2 cos t , t 0;
Решение.
dx 2 sin t dt , 4 x 2 4 4 cos 2 t 4 sin2 t
dx
x
2
4 x
2
2 sin t dt
4 cos t 4 sin t
2
2
2 sin tdt
4 cos t 2 sin t
2
x
cos t
1
1
1
1
x
2
dt tgt C
tg arccos C .
2
x
4 cos t
4
4
2
t arccos
2
.

21. Методы интегрирования: метод интегрирования по частям

Доказательство.
f x g x f x g x f x g x ,
f x g x f x g x dx f x g x C1 ,C1 R.
f x g x f x g x dx f x g x dx f x g x dx C2 ,C2 R.
f x g x C1 f x g x dx f x g x dx С2 ,
f x g x dx f x g x f x g x dx C1 C2 ,
C C1 C2 .

22.

udv uv vdu C .
Решение.
u arctgx
arctg x dx v x
x arctgx x d arctgx C1
1
1 d x2 1
x arctgx x
dx C1 x arctgx 2
C1
2
2 x 1
1 x
1
1
x arctgx ln | x 2 1| C2 C1 x arctgx ln | x2 1| C ,C C1 C2 .
2
2

23.

24. Интегрирование рациональных дробей

25.

Доказательство.
R( x )
Pn ( x ) Tn m ( x ) Qm ( x ) K r ( x ) Tn m ( x ) Qm ( x ) K r ( x )
Qm ( x )
Qm ( x )
Qm ( x )
Qm ( x )
Kr ( x )
Tn m ( x )
.
Qm ( x )

26.

27.

28.

29. Интегрирование правильных рациональных дробей

Доказательство.
A
1
x adx A x ad x a A ln x a C ,
A
x a n dx
n 1
x
a
A x a n d x a A
C,
n 1
n N \ { 1 }.

30. Интегрирование правильных рациональных дробей

Доказательство.
Mx N
x 2 px q dx
1 способ (метод замены переменной)
Mx N
Mx N
dx
dx
2
2
2
2
p p
p
p
p
x2 2 x
q
x q
2
4
4
2
q
p
, dt dx,
2
p
x t ,
2
t x
p2
p2
2
q
a ,a q
4
4
p
M t N
tdt
Mp
dt
2
2 2
dt M 2
N
C1 .
2
2
2
2
t a
t a
t a

31.

1
dz
tdt
2 1 ln z C 1 ln t 2 a 2 C ,C R
2
2
2
t 2 a 2 dz 2tdt , tdt 1 dz z 2
2
2
z t 2 a2 ,
p
Mp
M t N
N
M
2
2
2
2 arctg t C ,C R
dt
ln
t
a
t 2 a2
2
a
a
Mp
x
Mx N
M
2
2 arctg
x 2 px q dx 2 ln | x px q |
p2
q
q
4
N
p
2 C ,C R .
p2
4

32.

2 способ (метод подведения под знак дифференциала)
x
px
g
2x p
Mx N
x 2 px q dx
M
M
M
Mx N 2 x p p N 2 x p N
p
2
2
2
2
M ( 2x p )
M
dx
M
2
dx
N
p
ln
|
x
px q |
2
2
2 x px q
2 x px q 2
p
d x
p2
M
M
q
0
2
2
N
p
ln
|
x
px q |
4
2
2
2
2
p
p
по
условию
x q
2
4
M
p
p
N
x
2
2 C.
arctg
p2
p2
q
q
4
4

33.

Доказательство.
1
a
2
x
x
dx
2
a2
dx
2
a
n
2 n 1
1
a
2
x
x2
2
a
2
1
a
2
x
dx
2
a
2 n 1
n
1 a2 x2 x2
dx 2
dx
n
2
2
a
x a
dx С1
n
1 2
2
dx
x
a
n
2
x2 a2
x
1
a2
2
a
x2 a2
d x
n
2
1
a
2
a
x
2
dx
2
a
2 n 1
a
2
x
2 1n 1 d x
1
x2 a2
2
x
d
a 2 n 1
1
1
2
x x
2
a
a
n 1
2 n
dx C1
2 n 1
C1

34.

1
a
2
x
1
a
2
dx
2
a
x
dx
2
a
2 n 1
1 2
x x a2
2
a 2 n 1
1
2 n 1
x
2a 2 n 1 x 2 a
x
2 n 1
2a 2 n 1 x 2 a
dx
1
x2 a2
2
x
d
2
n
1
a
1
n 1
x
2
n 1
a2
1
1
dx
2 2
2
a
2
a
n
1
x a2
2 n 1
2n 3
2a
2
n 1
x
dx
2
a
C1
2 n 1
n 1
n 1
C2 C1
C
C , C ,C1 ,C2 R

35.

Доказательство.
M
M
2 x p N p
Mx N
2
2
2
dx
x
px
q
2
x
p
dx
n
n
x 2 px q
x 2 px q
M d x 2 px q
M
dx
N
p
n
2 x 2 px q
2 x 2 px q
M
1
2 1 n x 2 px q
n 1
n
C
M
dx
N
p
2 x 2 px q
n
С ,C R