Механические колебания и волны (Лекция 1)

1. Механические колебания и волны.

Учебные вопросы:
• Понятие колебаний, их основные характеристики
• Классификация механических колебаний
• Кинетическая, потенциальная, полная энергии колебательного
движения.
• Сложение гармонических колебаний направленных вдоль одной
прямой
• Затухающие колебания
• Вынужденные колебания
• Автоколебания
• Механические волны
• Уравнение механических волн и его решение.
• Поток энергии волн. Вектор Умова
• Эффект Доплера и его применение в медицине
• Природа звука. Физические характеристики.
• Характеристики слухового ощущения. Звуковые измерения
• Физические основы звуковых методов исследований в клинике
• Волновое сопротивление. Отражение звуковых волн

2. Понятие колебаний, их основные характеристики.

• Механические колебания - повторяющиеся
движения или изменения состояния
системы (движение маятника, работа
сердца и т. д.)
• Колебания распространяются в среде в
виде волн.

3. Основные характеристики колебаний:

• Амплитуда А – максимальное
значение колеблющейся величины;
• Период Т – время, за которое
происходит одно полное колебание;
• Частота ν – число полных колебаний,
совершаемых в единицу времени.

4. Классификация механических колебаний.

• Свободные колебания (или собственные) –
совершаются за счет первоначально
сообщенной энергии;
• Вынужденные колебания – совершаются
за счет постоянно поступающей энергии;
• Автоколебания – совершаются за счет
собственной внутренней энергии;

5. Незатухающие свободные колебания

• колебания, совершаемые колеблющейся
системой с постоянной амплитудой
d х
2
(1)
х
0
0
2
dt
2
х A cos( 0 t )
(2)

6. Кинетическая, потенциальная, полная энергии колебательного движения.

=
Кинетическая, потенциальная, полная
энергии колебательного движения.
2
Ек = 1 / 2kA sin
2
( 0 t 0 )
E П 1 / 2kA cos ( 0 t 0 )
2
E ЕК E П
2
2 2
2
1
/
2
m
1
/
2
kA
=
=
0A

7.

• Вывод формул кинетической,
потенциальной и полной
энергий самостоятельно

8. Сложение гармонических колебаний направленных вдоль одной прямой

• х1=А1cos(ω01t+φ01)
• х2=А2cos(ω02t+φ01)
• Пусть (ω01= ω02= ω0), тогда
• х=х1+х2= А1cos(ω01t+φ01)+ А2cos(ω02t+φ01)

9. Векторная диаграмма сложения векторов

10.

A2 А12 А22 2 А1 А2 cos
• Так как –соsβ= - cos[π-(φ02-φ01)]=cos(φ02φ01), то
A
À À 2 À1 À2 cos( 02 01 )
2
1
2
2

11.

• Так как tgφ0 равен отношению проекции А на ось
OY к проекции А на ось OX, т.е.
• то Аy/Ax.Учитывая, что проекция равна сумме
проекций, имеем:
• Аy=A1y+A2y=A1sinφ01+A2sinφ02
• Аx=A1x+A2x=A1cosφ01+A2cosφ02
• tgφ0=Ax/Ay=
(A1sinφ01+A2sinφ02)/(A1cosφ01+A2cosφ02)

12. Затухающие колебания

-
Затухающие колебания
2
d x
m 2 kx FTP
dt
• Для небольших амплитуд и частот сила
трения равна:
dx
FTP r r
dt
• где: r – коэффициент трения,
характеризующий свойства среды.
Следовательно:

13.

2
d x
dx
2
2
0 x 0
2
dt
dt
• где 2β=r/m; = k/m;
• β – коэффициент затухания;
• ω0 – круговая частота собственных
колебаний системы

14. Решение дифференциального уравнения для затухающих колебаний

x A0 e
t
cos( t 0 )

15. График этой функции показан на рис сплошной линией 1

• штриховой линией 2 изображено
изменение амплитуды
А А0 е
t

16.

T
2
2
2
0
2

17.

• убывания амплитуды колебаний
определяется коэффициентом затухания.
• Степень затухания часто характеризуют
логарифмическим декрементом
затухания:
A(t )
ln
ln e t
A(t T )
• следовательно:
T

18. Вынужденные колебания

2
d x
dx
m 2 kx r F0 cos t
dt
dt

19.

• Решением дифференциального уравнения
является сумма двух слагаемых.
• Одно из них, соответствующее уравнению
затухающих колебаний, играет роль только
при установлении колебаний. Со временем
им можно пренебречь. Другое слагаемое
описывает смещение материальной точки в
установившихся вынужденных колебаниях:
х=Аcos(ω0t+φ0), где
А = f 0 / ( ) 4 ,
2
0
2 2
2
2

20.

• Если β и ω0 для системы заданы, то
амплитуда вынужденных колебаний
имеет максимальное значение при
некоторой определенной частоте
вынуждающей силы, называемой
резонансной. Само явление –
достижение максимальной амплитуды
для заданных β и ω0 - называют
резонансом.

21.

• Выражения для резонансной частоты и
амплитуды имеют вид:
ωрез=
02 2 2
Арез = f0/(2 )
2
0
2
)

22. Автоколебания

23. Механические волны

• Механической волной называют
механические возмущения,
распространяющиеся в
пространстве и несущие энергию.

24. Уравнение механических волн и его решение

25.

26. уравнение плоской волны

• S = Acos [ω(t-х/υ)]
• где (ωt-х/υ) – фаза
волны

27. волновое уравнение

s 1 s
2
2
2
x
t
2
2

28. Поток энергии волн. Вектор Умова

• Волновой процесс связан с распределением
энергии. Количественной характеристикой
перенесенной энергии является поток
энергии.
• Поток энергии (Ф) – средняя энергия (т. е. за
время, значительно больше периода
колебаний), переносимая волнами в единицу
времени через некоторую поверхность.
Единица измерения потока 1 ватт (Вт).