Основные законы распределения непрерывных случайных величин

1.

Основные законы
распределения непрерывных
случайных величин

2. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина имеет равномерное
распределение, если все ее значения лежат на отрезке [a;b] и
имеют постоянную плотность распределения.
Плотность распределения
0, x a
1
f ( x)
,a x b
b a
0, x b

3. Эмпирическое распределение

4. Равномерное распределение

К случайным величинам, имеющими равномерное
распределение, относятся:
время ожидания пассажиром транспорта, курсирующего с
постоянным интервалом;
ошибки округления числа до целого, которая равномерно
распределена на отрезке [– 0,5; 0,5];
случайные величины, все значения которых принадлежат
некоторому интервалу и все эти значения имеют одинаковую
вероятность;
ошибки при измерениях.

5. Равномерное распределение

Функция распределения
0, x a
x a
F ( x)
,a x b
b a
1, x b
Вероятность попадания равномерно распределенной
случайной величины Х в интервал ( x1; х2 ) , расположенный
внутри [a;b]
x2 x1
P( x1 X x2 )
b a

6. Характеристики равномерного распределения

Математическое ожидание
a b
M (X )
2
Математическое ожидание равномерно распределенной на
отрезке [a,b] случайной величины Х равно абсциссе
середины отрезка.
Дисперсия
2
(b a)
D( X )
12
Среднее квадратическое отклонение
b a
(X )
2 3

7.

Пример 1

8. Показательное распределение

Непрерывная случайная величина имеет показательное
(экспотенциальное) распределение, если ее плотность
распределения имеет вид
0, х 0
f ( x) x
e , х 0
,где
0

9. Эмпирическое задание

10. Показательное распределение

Показательное распределение используется
— при моделировании производства
— при моделировании систем массового обслуживания
— в теории расписаний (очередей) для моделирования
промежутков времени между двумя запросами, которые
могут представлять собой приход клиента в банк (ресторан),
поступление пациента в больницу, а также посещение Webсайта.
Распределение зависит только от одного параметра λ и
представляет собой среднее количество запросов,
поступающих в систему за единицу времени.
Величина 1/λ равна среднему промежутку времени,
прошедшего между двумя последовательными запросами.

11. Показательное распределение

Функция распределения
0, х 0
F ( x)
x
1 e , х 0
где
0 параметр распределения
Вероятность попадания равномерно распределенной
случайной величины Х в интервал ( x1; х2 ) , расположенный
внутри [0; )
P( x1 X x2 ) е
х1
е
х2

12. Характеристики показательного распределения

Математическое ожидание
M (X )
Дисперсия
D( X )
1
1
2
Среднее квадратическое отклонение
(X )
1

13.

Пример 2

14. Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина ξ имеет
нормальное распределение с параметрами a и σ,
если плотность распределения имеет вид
1
f ( x)
e
2
( x a )2
2 2
~ N ( a, )
Вероятностный смысл параметров:
a M ( ) , D( )

15.

16.

Нормальное распределение
закон проявляется во всех случаях, когда случайная
величина является результатом действия большого числа
различных факторов. К нормальному закону
приближаются все остальные законы распределения.
Нормальное распределение часто встречается в природе.
Например, следующие случайные величины хорошо
моделируются нормальным распределением:
отклонение при стрельбе;
погрешности измерений (однако погрешности некоторых
измерительных приборов имеют иное распределение);
некоторые характеристики живых организмов в
популяции.

17. Нормальное распределение

f (x )
1
2
График плотности
распределения.
1
a1 a
Кривая Гаусса
a
a
a
a1 1
a1
a1 1
Нормированное
распределение.
a 0 , 1
f ( x)
1
e
2
x2
2
( x)
х

18. Нормальное распределение

Функция распределения.
1
x a
F ( x)
2

19. Нормальное распределение

Вероятность попадания в интервал.
x2 a
x1 a
P ( x1 x2 )
Следствие
вероятность отклонения ξ от а не более чем на ε)
P( a ) 2

20. Нормальное распределение

Правило «3σ».
3
P( a 3 ) 2
2 (3) 0,9973
Практически достоверно, что
N (a, ) [a 3 , a 3 ]

21.

Пример 3

22.

Пример 4

23.

Пример 5
Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых
равен 20,2 мм, а стандартное отклонение равно 0,25 мм. Внешний
диаметр не должен превышать определенное значение (предполагается,
что нижняя граница не важна). Какую верхнюю границу в технических
условиях необходимо установить, чтобы ей соответствовало 97,5% всех
изготавливаемых изделий?
Решение
a 20,20 мм, 0,25 мм
p
p x a 2
2
0.975
0.4875
2
По ттаблиц Ф(х) определяем , что если Ф( x) 0,4875, то x 2,24
2,24 2,24 0,56
Верхняя граница определяет ся соотношением
a 20,20 0,56 20,76 мм