Лекция 16 Уравнения Максвелла. Переменный ток

1. Уравнения Максвелла. Переменный ток.

Иллюстративный материал к
лекции №16
суббота, 21 июня 2025 г.

2.

Дивергенция векторного поля
Ax Ay Az
- Равна разности входящего в малый
div A
x
y
z
объем векторного потока и исходящего из него
Определяет, есть ли внутри объема источники или стоки для
векторного поля
div 0
div 0

3.

Дивергенция векторного поля
z
A
x
z
y
x
y
Вычислим поток вектора А:
Ax x2 Ax x1 y z
Ay y2 Ay y1 x z
Az z 2 Az z1 x y
Будем уменьшать поверхность S:
lim Ax x2 Ax x1 y z Ay y2 Ay y1 x z Az z2 Az z1 x y
S 0
Ax Ay Az
Ax Ay Az
x y z
V
y
z
y
z
x
x
Ax
x y z
x
AdS divAdV
S
V
- Теорема Остроградского-Гаусса

4.

Ротор векторного поля
i
rot A
x
Ax
j
y
Ay
k
z
Az
-показывает, куда и насколько закручен
вектор А
Векторное поле
A(z,y)
z
z
4
Вычислим циркуляцию:
A, dL
L
1
z
3
2
y
Az 3 y2 Az1 y1 z Ay 4 z2 Ay 2 z1 y
y
y

5.

Ротор векторного поля
Az 3 y2 Az1 y1 z Ay 4 z2 Ay 2 z1 y
Будем уменьшать размеры контура L
lim Az 3 y2 Az1 y1 z Ay 4 z2 Ay 2 z1 y
z , y 0
Ay
Az Ay
Az
y z
z y
y z
y
z
z
y
Az Ay
S
z
y
Теорема Стокса
Adl rotAdS
L
S

6.

Источники электрического поля
(теорема Гаусса)
D, dS qi dV
S
i
V
По теореме Остроградского-Гаусса: D, dS div DdV
S
divDdV dV
V
V
divD
V
Физический смысл: электрическое поле может
создаваться нескомпенсированными
электрическими зарядами.

7.

Переменное электрическое поле
Если замкнуть ключ, то лампа при
постоянном напряжении – гореть не будет:
емкость C – разрыв в цепи постоянного тока.
Но вот в моменты включения/выключения
лампа будет вспыхивать.

8.

При переменном токе – лампа горит, хотя нам ясно, что
электроны из одной обкладки в другую не переходят –
между ними изолятор (или вакуум).
В промежутке между обкладками появляется
переменное магнитное поле
Переменное магнитное поле приводит к появлению вихревого
электрического поля

9. Ток смещения

Для установления взаимосвязи между
переменными электрическим и магнитным
полями Максвелл использовал понятие ток
смещения.
Постулируется: линии тока
проводимости на границах
обкладок конденсатора
переходят в линии тока
смещения.

10. Ток смещения

jпр jсм -плотность тока смещения равна плотности тока
в проводе
I
jпр
S
- плотность тока в проводе
dq
I
dt
- изменение заряда на обкладках конденсатора
q S
- величина заряда на обкладках конденсатора
S - площадь
поверхностная плотность заряда

11.

Ток смещения
Ток в проводе:
d
I S
dt
I d
jсм
S dt
Электрическое
поле в конденсаторе
Вектор смещения
E
0
dD
jсм
dt
dD
jсм
dt
D 0E
Ток смещения равен скорости изменения вектора электрического
смещения

12. Ток смещения

Теорема о циркуляции магнитного
поля
H , dl Ii
L
i
H , dl I I см
Тока нет
L
D
L H , dl I t S
Ток есть

13. Ток смещения

Запишем циркуляцию через плотности токов:
D
D
L H , dl I t S S J t dS
По теореме Стокса:
H , dl rotHdS
L
S
D
Получаем:
S rotHdS S J t dS
Физический смысл: магнитное поле
D
порождается током проводимости и
rotH J
t
переменным электрическим полем.

14.

Переменное магнитное поле
dФ
Поток: Ф B, dS
ЭДС индукции: i
dt
S
i E , dl ЭДС равна циркуляции вихревого
L
электрического поля
B
L E, dl t S B, dS S t , dS
По теореме Стокса:
E , dl rotEdS
L
B
S rotEdS S t , dS
S
B
rotE
t

15.

Переменное магнитное поле
B
rotE
t
Физический смысл: Описывает возникновение вихревого
электрического поля под действием переменного магнитного
поля.
Содержит закон Фарадея и правило Ленца

16.

Вид силовых линий магнитного поля
BdS 0
div B 0
S
Поток вектора индукции В магнитного поля
через любую замкнутую поверхность равен
нулю.
Следовательно, силовые линии магнитного
поля замкнуты.

17. Переменный ток -

Переменный ток ток, изменяющийся во времени по величине и направлению
(по синусоидальному закону).
Период (Т) - Наименьший промежуток времени,
через который периодически изменяющаяся
величина повторяется по форме и величине
f
f .
a(t)=Amsin( t + )
Am – максимальное значение, или амплитуда (Im);
t+ – фаза (фазовый угол);
– начальная фаза (начальный фазовый угол);
– угловая частота.

18.

• Действующие значения переменных токов, напряжений,
э.д.с:
T
1 2
I
i (t )d t
T0
Средние значения переменных токов, напряжений, э.д.с за
положительную полуволну:
T
1 2
I СР
i (t ) d t
T 0
2

19.

Токи при размыкании и замыкании цепи
I0
0
t 0
Размыкание:
R
З-н Ома: I
Одн.диф.ур
-ие
1-го пор.
dI
R
dt
I
L
РЕШЕ
НИЕ:
S
L dI
R
R dt
dI R
I 0
dt L
R
ln I t ln C
L
НачальноеI
I0 C I0
t 0
условие
I I 0e
I Ce
R
t
L
R
t
L

20.

R
t
L
Зависимость тока от
времени при размыкании
R
t
L
I I 0e
I I 0e
I 0e
t
Постоянная
времени

21.

t 0 I 0
Замыкание:
R >> r
З-н Ома: I
dI
L IR 0
dt
0
dI R
I
dt L
L
Неодн. диф. ур-ие 1го пор.
0 S
R
dI
IR 0 S 0 L
dt
РЕШЕ
НИЕ:
I Ce
R
t
L
I0
I t 0 0 C I 0
I I 0 (1 e
R
t
L
)

22.

I I 0 (1 e
I0 0
R
I I 0 (1 e 1 )
0
R
t
L
)
Зависимость тока от
времени при замыкании

23.

Токи при размыкании и замыкании цепи с емкостью
II закон Кирхгофа после размыкания:
0 R i Uc
dq
dU c
i
C
dt
dt
Ток в цепи:
Опять получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка:
dU U
0
dt RC
Размыкание
U U 0e
t
RC
t
RC
Замыкание U U 0 1 e