Формула полной вероятности

1. Формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить при условии
появления одного из несовместных событий
n
H1 , H 2 , , H n ,образующих полную группу P(Hi ) 1 .
i 1
Так как заранее неизвестно, какое из этих событий
наступит, их называют гипотезами. Тогда
A H1A H 2 A H n A ,
P(A) P(H1A H 2 A H n A)
P(H1A) P( H 2 A) P(H n A)
P(H1 )P(A / H1 ) P( H 2 )P(A / H 2 )
P(H n )P(A / H n ).

2.

n
P(A) P(H i )P(A / H i ).
i 1
Вероятность события А, которое может наступить
лишь при условии появления одного из
несовместных событий H1 , H 2 , , H n ,
образующих полную группу, равна сумме
произведений вероятностей каждого из них на
соответствующую условную вероятность.

3. Пример 1

Есть два набора экзаменационных билетов. В
первом 12 билетов, из которых студент 10
знает. Во втором – 10 билетов, из которых он
9 знает. Экзаменатор перекладывает из
первого набора во второй набор один билет,
после чего студент из второго набора
вынимает билет. Какова вероятность того,
что он его знает?

4. Решение.

Событие А – студент взял билет, который знает.
Гипотезы: H1 - переложен известный билет,
H 2 - переложен билет, который он не знает.
10 P(H ) 2 , P(H ) P(H ) 10 2 1 .
P(H1 ) ,
1
2
2
12
12 12
12
10
9
P(A / H1 ) ,
P( A / H 2 ) .
11
11
Подставляем в формулу полной вероятности:
P(A) P(H1 )P(A / H1 ) P(H 2 )P(A / H 2 )
10 10 2 9 118 59
.
12 11 12 11 132 66

5. Пример 2

Имеются три коробки с шарами,
отличающимися только цветом.
В первой коробке 3 белых и 2 черных,
во второй – 4 белых и 5 черных,
в третьей – 1 белый и 4 черных.
Из наугад взятой коробки извлекают один шар.
Какова вероятность, что он белый?

6. Решение

А – извлечен белый шар из наугад взятой коробки.
Гипотезы: H1 - выбрана первая коробка,
H 2 - выбрана вторая коробка,
H - выбрана третья коробка,
3
1
P(H1 ) P(H 2 ) P(H3 ) ,
3
P ( H ) P ( H ) P ( H ) 1 1 1 1
1
2
3
3 3 3
3
4
1
P(A / H1 ) , P(A / H 2 ) , P(A / H3 ) ,
5
9
5
P(A) P(H1 )P(A / H1 ) P(H 2 )P(A / H 2 ) P(H 3 )P(A / H 3 )
1 3 1 4 1 1 13
.
3 5 3 9 3 5 27

7. Формулы Байеса.

8. Thomas Bayes (1702 – 1761) – английский математик и священник. Формула Байеса, дающая возможность оценить вероятность события

эмпирическим (опытным) путем, играет важную роль в современной
математической статистике и теории вероятностей.
Пусть событие А может наступить при условии появления
одного из несовместных событий H1 , H 2 , , H n ,
образующих полную группу. Так как заранее
неизвестно, какое из этих событий наступит, их
называют гипотезами. Вероятность появления события
А определяется по формуле полной вероятностей.
Пусть произведено испытание, в результате которого
появилось событие А. Возникает вопрос, как
изменились в связи с тем, что событие А уже
наступило, вероятности гипотез? Т.е. надо найти
условные вероятности P(H1 / A), P(H 2 / A), , P(H n / A).

9. Вывод формул Байеса.

По теореме умножения зависимых событий
P(A Hi ) P(Hi ) P(A / Hi ) P(A) P(Hi / A).
Отсюда
Или
P( H i ) P( A / H i )
P( H i / A)
P( A)
P(H i ) P(A / H i )
P(H i / A) n
P(H i ) P(A / H i )
.
i 1
Таким образом, формулы Байеса позволяют переоценить
вероятность гипотез, когда стало известно, что
событие А произошло.

10. Пример.

Два автомата производят одинаковые детали, которые
поступают на общий конвейер. Производительность
первого автомата вдвое больше производительности
второго. Первый автомат производит в среднем 60%
деталей отличного качества, а второй – 84%.
Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась
отличного качества. Какова вероятность, что эта
деталь произведена первым автоматом?

11. Решение.

Событие А – деталь отличного качества.
Гипотезы: H1 деталь произведена первым автоматом,
H 2 деталь произведена вторым автоматом,
2
1
P(H1 ) , P(H 2 )
3
3
Проверка: P(H1 ) P(H 2 )
2 1
1
3 3
P(A / H1 ) 0,6 ; P(A / H 2 ) 0,84
P(H1 ) P(A / H1 )
P(H1 / A)
P(H1 ) P(A / H1 ) P(H 2 ) P(A / H 2 )
2
0,6
3
0,59.
2
1
0,6 0,84
3
3