Обратная матрица

1. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

• Квадратная матрица А называется
вырожденной, если ее определитель
равен нулю, и невырожденной, если ее
определитель не равен нулю.
• Матрица А-1 является обратной к
матрице А если А-1А=АА-1=E
• Если А-1 существует, то А называется
обратимой

2. НАХОЖДЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

• Теорема: Для того чтобы квадратная
матрица А имела обратную,
необходимо и достаточно, чтобы
матрица А была невырожденной, т. е.
чтобы ее определитель был отличен от
нуля.

3. Вычисление обратных матриц второго и третьего порядка

1. Найти определитель D матрицы А.
2. Найти алгебраические дополнения
всех элементов матрицы А и записать
новую матрицу B, элементы которой Aij
3. Записать BT
4. Умножить BT на 1/D, получим A-1

4. НАХОЖДЕНИЕ МАТРИЦЫ ОБРАТНОЙ ДАННОЙ

1. Найдем обратную матрицу по
алгоритму:
1 5 2
А 6 3 1
3 8 4

5.

• Найдем определитель матрицы А
1 5 2
det( A) 6 3 1 (12 12 * 8 15)
3 8 4
(18 20 * 6 8) 23

6.

• Найдем все алгебраические
дополнения:
1 1
A11 ( 1)
A21 ( 1)
2 1
A31 ( 1) 3 1
3 1
4
8 4
5 2
4
8 4
1 2
A12 ( 1)
A22 ( 1)
6 1
3
1 3 6
21 A13 ( 1)
39
3 4
3 8
2 2
1 2
2
3 4
A23 ( 1)
2 3
1 5
7
3 8
5 2
1 2
1 5
1 A32 ( 1) 3 2
11 A33 ( 1) 3 3
27
3 1
6 1
6 3

7.

• Построим матрицу В
4 21 39
B 4 2
7
1 11 27

8.

• Транспонируем матрицу В
4 4 1
T
B 21 2 11
39
7
27

9.

B *1 / det( A) A
T
1
1 / 23
4 / 23 4 / 23
1
A 21 / 23
2 / 23 11 / 23
39 / 23 7 / 23 27 / 23