Неопределенный интеграл. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен. Лекция 3

1. Неопределенный интеграл

Интегрирование функций,
содержащих квадратный трехчлен
Лекция 3

2.

• Интегрировании функций, содержащих квадратный
трехчлен в знаменателе дроби. При этом, независимо от
того, стоит ли квадратный трехчлен под знаком
квадратного корня или нет, интегрирование проводится по
следующей схеме:
• 1) в квадратном трехчлене выделяется полный квадрат
2
b
b
ax 2 bx c a x
c
2a
2a
2
• 2)полученный интеграл, при необходимости, разбивается
на два интеграла, один из которых – всегда табличный, а
другой приводится к табличному подведением под знак
дифференциала.

3. Примеры.

• 1)
dx
3 2x x
2
dx
3) 2
x 4 x 10
2)
4)
2 x 1 dx
x2 x 1
3x 5 dx
x
2
6x 7

4. Пример

Вычислить
dx
.
x 4x 5
Решение. Преобразуем x 2 4 x 5 ,
2
выделяя полный квадрат по формуле a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тогда получаем :
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.

5. Пример

Найти
1 x
1 t
x t, x t 2 ,
dx
2tdt
2
dx 2tdt
1 x
1 t
2
tdt
1 t
2
2
t2
1 t
2
dt
d (t 2 1)
t
2
1
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln( x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

6. Интегрирование рациональных дробей

• Рациональная дробь есть отношение двух многочленов
целой степени
P x a x n a x n 1 a x 2 a x a
R( x)
n
Qm x
n
n 1
2
1
0
bm x m bm 1 x m 1 b2 x 2 b1 x b0
• Если n m , то дробь называется правильной. Если n m ,
то дробь называется неправильной.
• Прежде, чем интегрировать неправильную дробь, следует
выделить целую часть дроби путем деления многочлена
• Pn x на многочлен Qm x .
• Пример
3x 3 4 x 2 x 5
8x 3
3x 2 2
2
x 2x 1
x 2x 1
• Дробь представляется в виде суммы целой части
(многочлена целой степени) и правильной дроби.

7.

Каждая правильная дробь R( x) Pn x может быть
Qm x
представлена в виде суммы конечного числа простых
дробей.
• При этом разложение правильной дроби на простые дроби
связано с разложением знаменателя этой дроби на
простые множители.
• Простейшей дробью называется дробь одного из
следующих четырех типов:
A
A
• 1)
2) ( x a) k
x a
Mx N
• 3) x 2 px q
Mx N
4) ( x 2 px q) k
• Где A, a, M , N , p, q - постоянные числа, k - целое.

8. Схема разложения на простейшие слагаемые правильных рациональных дробей

N/N
1
2
3
4
5
Исходная дробь
Вид ее разложения на слагаемые
3x 4
x( x 5)( x 7)
A
B
C
x x 5 x 7
1
( x 3)( x 2) 2
A
B
D
2
x 3 ( x 2)
x 2
x 2 3x
( x 2 3x 5)( x 2 4)
2x 3
2
x ( x 2)( x 2 3)
x2 4
( x 1)( x 2 x 2) 2
Ax B
Cx D
x 2 3x 5 x 2 4
A B
C
Dx E
x2 x x 2 x2 3
A
Bx C
Dx E
2
2
2
x 1 ( x x 2)
x x 2

9.

• Одним из способов нахождения коэффициентов А, B, C,
D, E в разложении правильной рациональной дроби
является следующий.
• 1) Правую часть полученного разложения с
неопределенными коэффициентами А, B, C, D, E
приводят к общему знаменателю. Так как знаменатели
правой и левой частей равны, то должны быть равны и
числители, которые являются полиномами.
• 2)Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях х (так как полиномы равны, если равны
коэффициенты при одинаковых степенях х).
• 3) Получаем систему линейных уравнений для
определения этих коэффициентов.

10. ПРИМЕРЫ

• 1. Найти
• Корни знаменателя – x1 = -2 кратности 1 и x2=1 кратности 2.
Поэтому x3 – 3x + 2 = (x+2)(x-1)2 и подынтегральная функция
может быть представлена в виде
• Приводя к общему знаменателю, получаем
• Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в
числителях правой и левой частей, получаем

11.

Решая эту систему, находим
Таким образом,

12. ПРИМЕРЫ

• 2. Найти
• Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших
дробей, используя метод неопределенных коэффициентов:
Следовательно,

13.

• Получаем
• Интеграл, соответственно, равен
• 3. Найти
• Разложим подынтегральное выражение на сумму двух дробей.
• Найдем неизвестные коэффициенты.

14.

• Отсюда получаем
• Подынтегральное выражение представляется в виде
• Исходный интеграл равен

15.

• Отсюда получаем
• Подынтегральное выражение представляется в виде
• Исходный интеграл равен

16. Примеры.

• 1)
2 x 3 dx
x( x 1)( x 2)
2)
x
5
x 4 8 dx
x3 4x