Математика ППИ. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Лекция № 12 (продолжение).
Цели и задачи:
ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ №12
Литература
Универсальная тригонометрическая подстановка
Задание на самостоятельную работу
Математика ППИ. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Лекция № 13 .
ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ №13
Интегрирование простейших рациональных дробей
Интегрирование простейшей дроби III типа
Метод неопределённых коэффициентов.
Интегрирование некоторых классов иррациональных функций
Интеграл
Интеграл более общего вида
Пример.
Интегрирование дифференциального бинома
Пример.
Тригонометрические подстановки
Пример.
 
Контрольные вопросы:
Задание на самостоятельную работу
2.18M
Категория: МатематикаМатематика

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций

1. Математика ППИ. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Лекция № 12 (продолжение).

Метод интегрирования по
частям в неопределенном
интеграле. Интегрирование
тригонометрических функций.

2. Цели и задачи:

Изучить основные методы
интегрирования: интегрирование
рациональных дробей,
интегрирование некоторых классов
тригонометрических и
иррациональных функций.

3. ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ №12

1.
Метод интегрирования по
частям.
2. Интегрирование некоторых
классов тригонометрических
функций.

4. Литература

[1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и
интегральное исчисления. Т 1. Москва:
Интеграл-Пресс, 2004, с. 340-375.
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев.
Краткий курс высшей математики. Москва:
Издательство АСТ, 2004, с. 229-250.

5.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС .
Интегрирование
некоторых классов
тригонометрических
функций

6.

Рассмотрим интеграл вида
sin
x
cos
x
,
m
a)
n
m и n - неотрицательные и по крайней мере
одно из них является нечётным. Пусть n –
нечётное, т.е. n=2p+1. Тогда
sin
m
x cos x dx sin x cos
n
sin x 1 sin x
m
2
m
p
2p
x cos xdx
sin x t
m
2 p
cos xdx
t 1 t dt.
cos xdx dt

7.

б) б) m и n - неотрицательные чётные, т.е.
n=2p, m=2q. Тогда
1 cos 2 x 1 cos 2 x
sin x cos xdx 2 2 dx.
Возведя в степень и раскрыв скобки,
получим слагаемые, содержащие cos 2x
в чётных и нечётных степенях. Члены с
нечётными степенями интегрируются, как
указано в случае а), чётные показатели
снова понижаются по тем же формулам.
p
2p
2q
q

8.

Вторая разновидность интегралов имеет
вид:
sin x t ,
R sin x cos x dx cos x dx dt R t dt.
или
Cos x t ,
R Cos x Sin x dx Sin x dx dt R t dt.
Третья разновидность интегралов
tg x t ,
dt
R tg x dx x arctgt, dx dt R t 1 t 2 .
2
1 t

9.

1
1
2
tg
x
t
,
Cos
x
2
2
1 tg x 1 t
2
2
2
tg x
t
dt
, dx
Sin x
2
2
2
1 tg x 1 t
1 t
t2 1
R
,
2
2
1 t 1 t
m
2
n
2
dt
.
2
1 t

10.

Пример.
dt
tgx t , dx
dx
1 t2
2 Sin 2 x 2 t 2
2
Sin
x
1
t
1 t2
dt
t2
2
2
1 t
dt
2
2
2
t
1 t2
1 t2
dt
1
t
1
tgx
arctg
c
arctg
C.
2
2 t
2
2
2
2

11. Универсальная тригонометрическая подстановка

Всякий интеграл от рациональной функции
вида
R sin x, cos x dx
может быть сведён к интегралу от
рациональной функции.
Для этого используется подстановка
x
tg t
2
называемая универсальной
тригонометрической подстановкой.

12.

2tg 2x
1 tg 2
x
2t
t tg ; Sin x
; Cos x
2 x
2
2
1 tg 2 1 t
1 tg 2
x
2
x
2
1 t2
;
2
1 t
x
2 dt
arc tg t , x 2arc tg t , dx
2
1 t2
2t
x
tg 2 t , sin x 1 t 2 ,
R sin x, cos x dx
2
1 t
2dt
cos
x
,
dx
2
1 t
1 t 2
2t 1 t 2dt
R
,
.
2
2
2
1 t 1 t 1 t
2

13.

Пример.
2dt
x
tg t , dx
2
dx
2dt
2
1 t
sin x
2t
2t
2
1
t
sin x
2
2
1 t
1 t
dt
x
ln t c ln tg C.
t
2

14.

Рассмотрим интегралы вида
Cos mx Cos n xdx
Cos mx Sin n xdx
Sin mx Sin n xdx
Для их вычисления используют
тригонометрические формулы
1
Cos m x Cos n x Cos m n x Cos m n x ,
2
1
Sin m x Sin n x Cos m n x Cos m n x ,
2
1
Cos m x Sin n x Sin m n x Sin m n x .
2

15.

Пример.
1
1
1
Cos 3x Cos2 xdx 2 Cosx Cos5x dx 2 Sinx 10 Sin5x С.

16. Задание на самостоятельную работу

[1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и
интегральное исчисления. Т 1. Москва: ИнтегралПресс, 2004, с. 340-375.
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий
курс высшей математики. Москва: Издательство
АСТ, 2004, с. 229-250.
Выучить таблицу основных интегралов.

17. Математика ППИ. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Лекция № 13 .

Интегрирование дробнорациональных функций,
иррациональных функций.
Тригонометрические
подстановки.

18. ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ №13

1.
Интегрирование
рациональных дробей.
2.Интегрирование некоторых
классов иррациональных
функций

19.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС.
Интегрирование
рациональных дробей

20.

Определение. Дробно- рациональной
функцией или просто рациональной
дробью называется функция, равная
частному от деления двух многочленов
Pn x
R x
Qm x
здесь Pn x - многочлен степени n,
Qm x - многочлен степени m.

21.

22.

23.

24.

25. Интегрирование простейших рациональных дробей

Различают четыре типа простейших
рациональных дробей:
А
A
1.
2.
n 2, 3, ...
n
x a
x a
3.
Mx N
;
2
x px q
4.
x
Mx N
2
px q
n
n 2, 3, ...
При этом A, a, M,N, p, q – действительные
2
числа, многочлен x px q не имеет
вещественных корней.

26.

Интегрирование простейших дробей I и
II типов:
I.
II.
Adx
d x a
x a A x a A ln x a С
A dx
A
n
x a n A x a d x a 1 n x a n 1 С

27. Интегрирование простейшей дроби III типа

5x 3
dx.
Пример. Найти интеграл 2
х 2х 5
2
d
(
x
2 x 5) (2 x 2)dx
Решение.
5
5x 5 8
5 2 x 2 dx
2 2 x 2 8
х 2 2 х 5 dx х 2 2 х 5 dx 2 х 2 2 х 5
dx
5 d x2 2 x 5
dx
5
8 2
2
8 2
ln х 2 2 х 5
х 2х 5 2 х 2х 5
( х 2 х 1) 6 2
8
d x 1
x 1
2
6
2
5
8
x 1 6
ln х 2 2 х 5
ln
С.
2
2 6 x 1 6

28.

Теорема. Правильную рациональную
дробь Pn x , где Q x x a k x b ... x2 px q s
Qm x
можно единственным образом
разложить в сумму простейших дробей:
Ak
B
A1
A2
B1
B2
P x
...
...
2
k
2
Q x x a x a
x a x b x b
x b
...
M1x N1
M 2 x N2
M s x Ns
...
x 2 px q x 2 px q 2
x 2 px q
s
где Ai , Bi , M i , N i - действительные
числа .

29. Метод неопределённых коэффициентов.

Рассмотрим случай, когда корни знаменателя
действительные и различные, т.е. рассмотрим
правильную дробь: Pn x
Pn x
Qm x
x a x b ... x d
Данную дробь можно разложить на
простейшие дроби I типа следующим образом
Pn x
A
B
D
...
,
Qm x x a x b
x d
Отметим, что неизвестные коэффициенты A, B,..., D
простейших дробей можно найти и методом
сравнения коэффициентов, который состоит в
следующем:

30.

1. Дроби справа приводят к общему
знаменателю.
2. Приравнивают числители дробей слева и
справа, раскрывают скобки и записывают
многочлен в правой части по убывающим
степеням .
3. Приравнивая друг другу коэффициенты
многочленов левой и правой части при
одинаковых степенях , получим систему
уравнений для определения
коэффициентов.

31.

x2 3
3
2
x x 6x
на простейшие и проинтегрировать.
Пример. Разложить дробь
x2 3
x2 3
x2 3
3
2
2
x x 2 x 3
x x 6x x x x 6
x 3
A
B
C
x x 2 x 3 x x 2 x 3
2
x2 3
А( х 2)( х 3) Bх( х 3) Сх( х 2)
x x 2 x 3
х( x 2)( х 3)

32.

x 2 3 х 2 ( A В С ) x А 3В 2С ( 6 А)
x0 :
3 6 A,
A 0,5;
x1 :
0 А 3 B 2С ,
x2 :
1 А В C,
B 0,8;
C 0,7
x2 3
0,5 0,8
0,7
3
2
x
x 2 x 3
x x 6x
2
x
3
dx
dx
dx
Итак,
x 3 x 2 6 x dx 0,5 x 0,8 x 2 0,7 x 3
0,5 ln x 0,8 ln x 2 0,7 ln x 3 C

33.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС.
Интегрирование некоторых
классов иррациональных
функций

34. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций

С
помощью тригонометрических
подстановок интегралы от
некоторых иррациональных
функций приводятся к интегралам
от функций, рационально
зависящих от тригонометрических
функций

35.

2
2
x a Sin t
R x, a x dx x a Cos t .
2
x a tg t
R x, a x dx x a ctg t .
2
a
x
2
2
cos
x
R x, x a dx x a .
sin x

36.

Пример. Найти
1 x
dx
4
x
2
1
1
2
x
tgt
,
dx
dt
1
tg
t
1 x
dt
Cos
t dt
2
dx
4
Cos t
4
4
2
2
x
tg t
Cos t
tg t Cos t
t arctgx
2
3
Cos 4t
Cos t dt
Sin
t
4
dt
Sin t d Sin t
C
4
3
4
Sin t Cos t
Sin t
3
1
1
C
C.
3
3
3Sin t
3 Sin arctgx

37. Интеграл

38. Интеграл более общего вида

39. Пример.

2

40. Интегрирование дифференциального бинома

41.

дробное

42.

43. Пример.

44.

45. Тригонометрические подстановки

С помощью тригонометрических подстановок
интегралы от некоторых иррациональных
функций приводятся к интегралам от функций,
рационально зависящих от тригонометрических
функций:
А R x, a x
Б R x, a x
2
2
2
2
x a Sin t
dx.
.
x a Cos t
x a tg t
dx
.
x a ctg t

46.

В
a
x
cos
t
2
2
R
x
,
x
a
dx
.
x a
sin t

47.

Пример.
1
x
tgt
,
dx
dt
1 x
2
dx
Cos t
4
x
t arctgx
2
dt
1 tg t dt
4
2
2
tg t
Cos t
tg t Cos t
2
1
Cos t
4

48.

Далее (потерян минус в последнем слагаемом):
4
cos t
cos t dt
4
dt
3
4
sin t cos t
sin t
3
sin t
4
sin t d sin t
C
3
1
1
C
C.
3
3
3sin t
3sin arctg x

49.

Пример.
x 1 dx
2
Можно проинтегрировать по частям:
u x 1, du
2
dv dx, v x
x
x 1
2
dx

50. Пример.

x 2 1 dx x x 2 1
x x2 1
x x2 1
x2 1 1
x2
x 1
2
dx
dx
x 1
x2 1
1
dx 2
dx
2
x 1
x 1
2
x x 2 1 x 2 1dx ln x x 2 1

51.

x2 1dx x x2 1 x2 1dx ln x x 2 1
2 x 2 1dx x x 2 1 ln x x 2 1 С
x 2
1
x 1dx
x 1 ln x x 2 1 С
2
2
2

52.  

53.

54.

55.

Понятие об интегралах, не берущихся в
элементарных функциях
Как мы видим, в дифференциальном
исчислении, производная от любой
элементарной функции есть функция
элементарная. Другое дело операция,
обратная дифференцированию, интегрирование. Можно привести
многочисленные примеры таких
элементарных функций, первообразные от
которых хотя и существуют, но не являются
элементарными функциями.

56.

Так, например, хотя по теореме
существования для функций
e
x2
Sin x Cos x
1
;
;
;
;
x
x
ln x
1 k 2 Sin 2 x dx
существуют первообразные, но они не
выражаются в элементарных функциях. Несмотря
на это, все эти первообразные хорошо изучены и
для них составлены подробные таблицы,
помогающие практически использовать эти
функции. В дальнейшем мы познакомимся с
методами вычисления значений таких функций

57.

Заключение.
В заключение отметим, что
рассмотренные методы и приёмы
интегрирования не исчерпывают всех
классов аналитически интегрируемых
элементарных функций. В то же время из
всего изложенного следует, что техника
интегрирования сложнее по сравнению с
дифференцированием. Необходимы
навыки и изобретательность, которые
приобретаются на практике в результате
решения большого числа примеров

58. Контрольные вопросы:

1. В чем заключается метод
интегрирования рациональных
дробей?
2. Универсальная тригонометрическая
подстановка.

59. Задание на самостоятельную работу

[1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и
интегральное исчисления. Т 1. Москва: ИнтегралПресс, 2004, с. 340-375.
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий
курс высшей математики. Москва: Издательство
АСТ, 2004, с. 229-250.
Выучить таблицу основных интегралов.
English     Русский Правила