https___myschool.72to.ru_ej_attachments_files_002_421_130_original_%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%B8

1. Пропорциональные отрезки.

2.

и

3.

Пропорциональные отрезки
А
А1
С
В
4
6
В1
C1
8
D
12
D1
Отрезки АВ и СD пропорциональны отрезкам
А1В1 и С1D1, если отношения их длин равны.
4
2
;
1 1
6
3
CD
8
2
C1 D1
12
3
CD
2
1 1
C1 D1
3

4.

Если параллельные прямые, пересекают
стороны угла, то отрезки,
образовавшиеся на одной стороне угла,
пропорциональны соответствующим
отрезкам, образовавшимся на другой его
стороне.

5.

6.

Теорема
Три медианы
треугольника
пересекаются в одной
точке, которая делит
каждую медиану в
отношении 2:1, считая
от вершины
треугольника

7. Теорема

Дано: ΔABC, АА1, ВВ1, СС1 – медианы
АА1∩ ВВ1 =О,
Доказать: АА1∩ ВВ1 ∩ СС1 =О
АО:ОА1= ВО:ОВ1= СО:ОС1=2:1
К
Доказательство: Проведем В1 К || АА1
Т. к. АВ1 = СВ1 , то по теореме Фалеса
А1К = СК
СА1 2
Т. е. А1 С в два раза больше А1К, значит
КА1 1
Т.к. ВА1 = СА1 , то А1В в два раза больше А1К, значит
ВА1 2
КА1 1
По теореме о пропорциональных отрезках получаем:
ОВ ВА1 2
ОВ1 КА1 1
Т. о. все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в
отношении 2:1 считая от вершины.
Ч.т.д.

8.

В
А
Стороны АВ и ВС
прилежат соответственно к
отрезкам АD и DC
D
С

9.

Свойство биссектрисы треугольника
Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки,
пропорциональные прилежащим к ним сторонам.
В
AD DC
AB BC
А
D
С