მენეჯერული სტატისტიკა. პოპულაციის პარამეტრების შეფასება. თავი 8

1.

მენეჯერული სტატისტიკა
თავი 8
პოპულაციის პარამეტრების
შეფასება
Chap 8-1

2. საკითხები:

მთავარი საკითხები:
განსხვავება წერტილოვანი და ნდობის ინტერვალის შეფასებებს
შორის
ნდობის
ინტერვალის
საშუალოს
შეფასების
განსაზღვრა
პოპულაციისთვის Z და t განაწილებების შემთხვევაში
ნდობის ინტერვალის ფორმირება და შეფასება პოპულაციისთვის
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-2

3. ნდობის ინტერვალი

განვიხილავთ:
ნდობის ინტერვალი პოპულაციის საშუალოსთვის, μ
როდესაც პოპულაციის ვარიაცია σ2 ცნობილია
როდესაც პოპულაციის ვარიაცია σ2 არ არის ცნობილი
ნდობის ინტერვალი პოპულაციის პროპორციისთვის, (დიდი
შერჩევა)
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-3

4. განმარტებები:

პოპულაციის პარამეტრის
საშუალებით:
შეფასება
ხდება
„სტატისტიკის“
შემთხვევითი სიდიდე, რომელიც განისაზღვრება შერჩევიდან
მიღებული მონაცემებით
რომლის მნიშვნელობა არის პარამეტრის (პოპულაციის შეფასების)
მიახლოება
შემთხვევითი
შეფასება
სიდიდის კონკრეტული მნიშვნელობა არის
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-4

5. წერტილოვანი და ინტერვალის შეფასებები

წერტილოვანი შეფასება არის ერთი რიცხვი
ნდობისინტერვალის შეფასება გვაძლევს დამატებით
ინფორმაციას მის ცვალებადობაზე
ნდობის ქვედა
ზღვარი
ნდობის ზედა
ზღვარი
წერტილის შეფასება
ნდობის ინტერვალის სიგანე
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-5

6. წერტილოვანი შეფასება

შეგვიძლია შევაფასოთ
პოპულაციის პარამეტრი…
შერჩევის სტატისტიკით
(წერტილოვანი შეფასება)
საშუალო
μ
x
პროპორცია
P
ˆ
p
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-6

7. გადაუადგილებლობა

წერტილოვანი შეფასება θˆ არის
გადაუადგილებელი შეფასება პარამეტრისა ,
თუ შერჩევიდან მიღებული θˆ -ს
მოსალოდნელი მნიშვნელობა, ან საშუალო,
არის ,
E(θˆ ) θ
მაგალითად:
შერჩევის საშუალო არის μ-ს გადაუადგილებელი შეფასება
შერჩევის ვარიაცია არის σ2 -ს გადაუადგილებელი შეფასება
შერჩევის პროპორცია არის P-ს გადაუადგილებელი შეფასება
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-7

8. გადაუადგილებლობა

(გაგრძელება)
θˆ 1 არის გადაუადგილებელი შეფასება, არის θˆ
2
გადაადგილებული შეფასება
θˆ 2
θˆ 1
θ
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
θˆ
Chap 8-8

9. გადაადგილება

თუ
θˆ არის -ს შეფასება
θˆ -ს გადაადგილება არის მის საშუალოსა და -ს შორის
სხვაობა
Bias( θˆ ) E( θˆ ) θ
გადაუადგილებელი შეფასების გადაადგილება არის 0
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-9

10. ძალმოსილება

ˆ არის -ს შეფასება
თუ θ
θˆ არის -ს ძალმოსილი შეფასება, თუ
θˆ
-ს
მოსალოდნელი მნიშვნელობისა და -ს შორის
სხვაობა მცირდება შერჩევის სიდიდის ზრდასთან
ერთად.
როდესაც გადაუადგილებელი შეფასების მოპოვება
ვერ ხერხდება, სასურველია შეფასება იყოს
ძალმოსილი
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-10

11. ეფექტური შეფასება

თუ გვაქვს -ს რამდენიმე გადაუადგილებელი შეფასება ყველაზე
ეფექტური -ს შეფასება, ან უმცირესი ვარიაციის მქონე
გადაუადგილებელი შეფასება არის გადაუადგილებელი შეფასება
უმცირესი ვარიაციით
ˆ
ˆ
თუ θ1 და θ2 არის -ს გადაუადგილებელი შეფასებები, რომელიც
გამომდინარეობს ერთიდაიმავე სიდიდის მქონე შერჩევიდან, მაშინ
θˆ 1 იქნება უფრო მეტად ეფექტური ვიდრე θˆ 2 თუ
Var( θˆ 1 ) Var( θˆ 2 )
ˆ
ˆ -ს მიმართ არის:
θ1-ს შედარებითი ეფექტურობა θ
2
Var(θˆ 2 )
Relative Efficiency
Var(θˆ )
1
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-11

12. ნდობის ინტერვალი

რამდენად არაზუსტი შეიძლება იყოს პოპულაციის
პარამეტრის წერტილოვანი შეფასება?
ინტერვალის შეფასება მეტ ინფორმაციას გვაძლევს
პოპულაციის
მახასიათებლებზე,
ვიდრე
წერტილოვანი შეფასება
ასეთი ინტერვალის შეფასებებს ვუწოდებთ ნდობით
ინტერვალებს
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-12

13. ნდობის ინტერვალის შეფასება

ინტერვალი
ინფორმაციას:
გვაძლევს
სხვადასხვა
ითვალისწინებს სხვადასხვა შერჩევების სტატისტიკების
ვარიაციას
გვაძლევს
ინფორმაციას
პოპულაციის
უცნობი
პარამეტრისა
და
შეფასებას
შორის
შესაძლო
განსხვავებაზე
წარმოდგენილია სანდოობის დონის მაჩვენებლით
და სანდოობის დონე არასოდეს არის 100%-ს ტოლი
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-13

14. ნდობის ინტერვალი და სანდოობის დონე

თუ P(a < < b) = 1 - , a-სა და b-ს შორის ინტერვალი
100(1 - )% არის -ს ნდობის ინტერვალი.
(1 - )-ს მნიშვნელობა განსაზღვრავს
ინტერვალს (სადაც არის 0-სა და 1-ს შორის)
ნდობის
პოპულაციიდან განმეორებითი შერჩევებიდან, ყველა აგებული
ინტერვალებიდან, 100(1 - )% შეიცავს რეალურ პარამეტრს.
ამ მეთოდით დათვლილი ნდობის ინტერვალი სადაც a < < b
არის 100(1 - )%
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-14

15. შეფასების პროცესი

შემთხვევითი
შერჩევა
პუპულაციის
(საშუალო, μ,
უცნობია)
საშუალო
X = 50
მე ვარ 95%-ით
დარწმუნებული
რომ μ 40-60
შორისაა.
შერჩევა
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-15

16. სანდოობის დონე, (1-)

სანდოობის დონე, (1- )
(continued)
თუ სანდოობის დონე = 95%
ანუ (1 - ) = 0.95
შედარებითი სიხშირის ინტერპრეტაცია:
განმეორებითი შერჩევებიდან, ყველა აგებული
ნდობის ინტერვალებიდან, 95% შეიცავს
რეალურ პარამეტრს.
კონკრეტული ინტერვალი შეიცავს ან არ
შეიცავს რეალურ პარამეტრს
კონკრეტულ
ინტერვალში
პარამეტრის
ალბათობა
გაანალიზებული
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
რეალური
არ
არის
Chap 8-16

17. ზოგადი ფორმულა

ყველა ნდობის ინტერვალისთვის ზოგადი ფორმულა
არის:
წერტილის შეფასება (ნდობის ფაქტორი)(სტანდარტული გადახრა)
ნდობის ფაქტორის მნიშვნელობა დამოკიდებულია
სანდოობის დონეზე
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-17

18. ნდობის ინტერვალი

ნდობის
ინტერვალები
პოპულაციის
საშუალო
σ2
ცნობილია
პოპულაციის
პროპორცია
σ2 უცნობია
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-18

19. ნდობის ინტერვალი μ-სთვის (σ2 ცნობილია)

დაშვება
პოპულაციის ვარიაცია σ2 ცნობილია
პოპულაცია- ნორმალური განაწილება
თუ პოპულაცია ნორმალურია, ავიღოთ დიდი ზომის
შერჩევა
ნდობის ინტერვალის შეფასება :
x z α/2
σ
σ
μ x z α/2
n
n
(სადაც z /2 არის ნორმ. განაწილების მნიშვნელობა სადაც ალბათობა
არის /2, ორმხრივი)
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-19

20. ცდომილების ზღვარი (ME)

ნდობის ინტერვალი,
x z α/2
σ
σ
μ x z α/2
n
n
ასევე: x ME
სადაც ME არის ცდომილების ზღვარი (margin of
error)
σ
ME z α/2
n
ინტერვალის სიგანე, w, არის ორჯერ ცდომილების
ზღვარი
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-20

21. ცდომილების ზღვარის შემცირება

ME z α/2
σ
n
ცდომილების ზღვარი შეიძლება შემცირდეს
თუ:
თუ პოპულაციის სტანდარტული გადახრა შეიძლება
შემცირდეს (σ↓)
თუ შერჩევის სიდიდე გაიზრდება (n↑)
თუ სანდოობის დონე შემცირდება, (1 – ) ↓
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-21

22. სანდოობის ფაქტორის მოძიება, z/2

სანდოობის ფაქტორის მოძიება, z /2
განვიხილოთ 95%-იანი ნდობის ინტერვალი:
1 .95
α
.025
2
α
.025
2
Z ერთეულები: z = -1.96
X ერთეული:
ნდობის ქვედა
ზღვარი
0
წერტილის
შეფასება
z = 1.96
ნდობის ზედა
ზღვარი
იპოვეთ z.025 = 1.96 სტანდარტული ნორმალური განაწილების
ცხრილიდან
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-22

23. სანდოობის დონეები

ყველაზე ხშირად გამოყენებული
სანდოობის დონეებია 90%, 95% და 99%
სანდოობის
დონე
80%
90%
95%
98%
99%
99.8%
99.9%
სანდოობის
კოეფიციენტი
მნიშვნელობა
.80
.90
.95
.98
.99
.998
.999
1.28
1.645
1.96
2.33
2.58
3.08
3.27
1
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Z /2
Chap 8-23

24. ნდობის ინტერვალი და დონე

შერჩევის საშუალოების განაწილება
/2
1
ინტერვალების
ზღვრები:
μx μ
σ
x z
n
x2
/2
x
x1
σ
x z
n
100(1- )%
ინტერვალებიდან
შეიცავს μ-ს;
100( )% კი არა
ნდობის ინტერვალები
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-24

25. მაგალითი

შერჩეული 11 სქემა დიდი პოპულაციიდან
ხასიათდება
2.20 ohms გამძლეობით. წინა
ტესტირებებიდან ვიცით, რომ სტანდარტული
გადახრა არის 0.35 ohms.
განსაზღვრეთ
95%-იანი
ნდობის
ინტერვალი
პოპულაციის საშუალო გამძლეობისთვის
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-25

26. მაგალითი

(გაგრძელე
ბა)
შერჩეული 11 სქემა დიდი პოპულაციიდან
ხასიათდება
2.20 ohms გამძლეობით. წინა
ტესტირებებიდან ვიცით, რომ სტანდარტული
გადახრა არის 0.35 ohms.
ამოხსნა:
σ
x z
n
2.20 1.96 (.35/ 11)
2.20 .2068
1.9932 μ 2.4068
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-26

27. ინტერპრეტაცია

ჩვენ 95%-ით დარწმუნებულნი ვართ, რომ
რეალურად საშუალო გამძლეობა არის 1.9932სა და 2.4068 ohms შორის.
მიუხედავად იმისა, რომ რეალური საშუალო
შეიძლება იყოს ან არ იყოს ამ ინტერვალში,
ყველა ინტერვალის 95%-ში (რომელიც ამ გზით
მივიღეთ) შეიცავს რეალურ საშუალოს
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
Chap 8-27