Vektory-v-vysshej-matematike

1.

Векторы в высшей математике
Определение, операции и свойства

2.

Векторы: определение, операции, свойства
Добро пожаловать на лекцию по высшей математике! Сегодня мы погрузимся в мир векторов — фундаментального понятия, которое
лежит в основе многих разделов физики, инженерии и компьютерных наук. Мы рассмотрим их основные характеристики, научимся
выполнять операции над ними и изучим ключевые свойства.
Дисциплина: Высшая математика
Второй курс колледжа

3.

Определение вектора
Вектор — это не просто линия, это направленный отрезок, который обладает тремя ключевыми характеристиками.
1
2
3
Длина (модуль)
Направление
Точка приложения
Определяет численное значение вектора, его
Указывает, куда "смотрит" вектор в
Начальная точка вектора. Однако для многих
пространстве. Это критически важно, поскольку
операций мы можем перемещать векторы,
два вектора с одинаковой длиной, но разным
сохраняя их направление и длину.
"величину". Обозначается как |a⃗|.
направлением, являются разными.
Обозначения: a⃗ или AB⃗, где A — начало, B — конец.
Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину и одно и то же направление, независимо от их начальной точки.

4.

Операции над векторами: Сложение
Сложение векторов позволяет нам объединять их действия. Существует два основных графических метода для выполнения этой операции:
Правило треугольника
Правило параллелограмма
Чтобы сложить два вектора a⃗ и b⃗, мы соединяем конец первого вектора a⃗ с началом второго вектора b⃗. Суммарный вектор c⃗ = a⃗+b⃗
Если начала векторов a⃗ и b⃗ совмещены, то их сумма c⃗ является диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах,
начинается в начальной точке a⃗ и заканчивается в конечной точке b⃗.
исходящей из их общей начальной точки.

5.

Умножение вектора на число (скаляр)
Умножение вектора на скаляр — это операция, которая изменяет длину вектора и, возможно,
его направление, но не его "ориентацию" в пространстве.
Изменение длины
Когда мы умножаем вектор a⃗ на скаляр k (b⃗ = k \cdot a⃗), длина нового вектора b⃗
изменяется в |k| раз: |b⃗| = |k| \cdot |a⃗|.
Изменение направления
Если k > 0, вектор сохраняет свое направление. Если k < 0, направление вектора меняется
на противоположное.
Эта операция также подчиняется важным свойствам, которые упрощают алгебраические
преобразования с векторами:
Дистрибутивность относительно сложения векторов: k(a⃗+b⃗) = ka⃗+kb⃗
Дистрибутивность относительно сложения скаляров: (k+m)a⃗ = ka⃗+ma⃗

6.

Скалярное произведение
Скалярное произведение (или точечное произведение) двух векторов — это операция, результатом которой является скаляр (число), а не
вектор. Оно показывает, насколько один вектор "соответствует" другому по направлению.
Определение: Скалярное произведение векторов a⃗ и b⃗ равно произведению их длин на косинус угла φ между ними: a⃗ \cdot b⃗ = |a⃗|
\cdot |b⃗| \cdot \cos φ.
Этот угол φ всегда берется как наименьший угол между векторами, лежащий в диапазоне от 0 до π радиан (от 0° до 180°).
Координатная форма (в R^3)
Если векторы заданы своими координатами, например, a⃗ = (x_1, y_1, z_1) и b⃗ = (x_2, y_2, z_2), то их скалярное произведение вычисляется как
сумма произведений соответствующих координат:
Эта форма особенно полезна для вычислений в трехмерном пространстве.

7.

Свойства скалярного произведения и его смысл
Скалярное произведение обладает несколькими важными свойствами, которые делают его мощным инструментом в математике и физике.
Коммутативность
Дистрибутивность
Ассоциативность со скаляром
a⃗ \cdot b⃗ = b⃗ \cdot a⃗. Порядок векторов
a⃗ \cdot (b⃗+c⃗) = a⃗ \cdot b⃗ + a⃗ \cdot c⃗.
(ka⃗) \cdot b⃗ = k(a⃗ \cdot b⃗). Скалярный
не влияет на результат. Это означает, что
угол между a⃗ и b⃗ такой же, как между b⃗ и
Скалярное произведение "распределяется"
по сумме векторов.
множитель можно вынести за скобки
скалярного произведения.
a⃗.
Геометрический смысл
Скалярное произведение позволяет нам понять взаимное расположение векторов:
Проекция вектора: \text{пр}_{b⃗} a⃗ = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{|b⃗|}. Оно используется для нахождения проекции одного вектора на другой, что имеет важное
значение в механике.
Перпендикулярность: a⃗ \perp b⃗ \iff a⃗ \cdot b⃗ = 0. Если скалярное произведение равно нулю (и векторы не нулевые), это означает, что векторы
перпендикулярны друг другу.

8.

Векторное произведение
В отличие от скалярного произведения, результатом векторного произведения двух векторов является новый вектор, который перпендикулярен обоим
исходным векторам. Эта операция применима только в трехмерном пространстве.
Определение: Векторное произведение векторов a⃗ и b⃗ — это вектор c⃗ = a⃗ \times b⃗, который удовлетворяет следующим условиям:
Длина: Модуль вектора c⃗ равен площади параллелограмма, построенного на векторах a⃗ и b⃗: |c⃗| = |a⃗| \cdot |b⃗| \cdot \sin φ, где φ — угол между
векторами.
Направление: Вектор c⃗ перпендикулярен как a⃗, так и b⃗.
Ориентация: Тройка векторов (a⃗, b⃗, c⃗) образует правую ориентацию. Это означает, что если указательный палец правой руки указывает в
направлении a⃗, а средний — в направлении b⃗, то большой палец укажет направление c⃗.
Координатная форма
В координатах a⃗ = (x_1, y_1, z_1) и b⃗ = (x_2, y_2, z_2) векторное произведение вычисляется как определитель:

9.

Свойства векторного произведения
Векторное произведение обладает рядом уникальных свойств, которые отличают его от скалярного произведения и придают ему особое значение в физике и
геометрии.
Антикоммутативность
Дистрибутивность
Ассоциативность со скаляром
a⃗ \times b⃗ = -(b⃗ \times a⃗). Это означает,
a⃗ \times (b⃗+c⃗) = a⃗ \times b⃗ + a⃗ \times c⃗.
(ka⃗) \times b⃗ = k(a⃗ \times b⃗). Скалярный
что при перестановке векторов
Векторное произведение также
множитель можно вынести за скобки
направление результирующего вектора
распределяется по сумме векторов.
векторного произведения, что упрощает
меняется на противоположное. Это
многие вычисления.
ключевое отличие от скалярного
произведения.
Геометрический смысл
Одним из наиболее важных геометрических приложений векторного произведения является вычисление площади параллелограмма:
Модуль векторного произведения |a⃗ \times b⃗| численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a⃗ и b⃗, приведенных к общему
началу.
Это свойство широко используется для вычисления площадей в трехмерном пространстве.

10.

Смешанное произведение
Смешанное произведение (также известное как скалярное тройное произведение) — это операция над тремя векторами, результатом которой является
скаляр. Оно имеет глубокий геометрический смысл и применяется для определения объема параллелепипеда.
Определение: Смешанное произведение трех векторов a⃗, b⃗, c⃗ — это скалярное произведение вектора a⃗ на векторное произведение векторов b⃗ и
c⃗: (a⃗, b⃗, c⃗) = a⃗ \cdot (b⃗ \times c⃗).
Координатная форма
Если векторы заданы в координатной форме: a⃗ = (x_1, y_1, z_1), b⃗ = (x_2, y_2, z_2) и c⃗ = (x_3, y_3, z_3), то смешанное произведение вычисляется как
определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:
Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения |(a⃗, b⃗, c⃗)| равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a⃗, b⃗, c⃗, приведённых к
общему началу. Если смешанное произведение равно нулю, это означает, что векторы компланарны (лежат в одной плоскости).

11.

Свойства смешанного произведения
Смешанное произведение обладает рядом важных свойств, которые подчеркивают его уникальность и широкое применение в трехмерной геометрии.
1
2
3
Циклическая перестановка
Изменение знака
Линейность по каждому аргументу
(a⃗,b⃗,c⃗)=(b⃗,c⃗,a⃗)=(c⃗,a⃗,b⃗). При циклической
(a⃗,b⃗,c⃗)=−(b⃗,a⃗,c⃗). При перестановке любых двух
Смешанное произведение линейно по каждому
перестановке векторов значение смешанного
векторов смешанное произведение меняет свой
произведения не меняется. Это свойство удобно
знак на противоположный. Это указывает на его
a⃗, b⃗, c⃗) = k \cdot (a⃗, b⃗, c⃗), что позволяет
для упрощения вычислений.
связь с ориентацией базиса.
выносить скалярные множители за знак
из своих векторных аргументов. Например, (k\cdot
произведения.
4
5
Геометрический смысл: Объем
Геометрический смысл: Компланарность
Модуль смешанного произведения |(a⃗, b⃗, c⃗)| численно равен объему
Если смешанное произведение равно нулю (a⃗, b⃗, c⃗) = 0, это означает, что
началу. Это делает его ключевым инструментом для расчетов объемов.
определения взаимного расположения векторов.
параллелепипеда, построенного на векторах a⃗, b⃗, c⃗, приведенных к общему
векторы a⃗, b⃗, c⃗ компланарны, то есть лежат в одной плоскости. Это важно для

12.

Применение смешанного произведения
Смешанное произведение является мощным математическим инструментом, находящим применение в различных областях науки и
техники благодаря своему глубокому геометрическому смыслу, связанному с объемом и компланарностью.
Механика и Инженерия
Компьютерная Графика
Физика Полей
В механике смешанное
В 3D-моделировании и рендеринге
В физике смешанное
произведение используется для
смешанное произведение
произведение применяется для
проверки условий равновесия
помогает определять, являются ли
анализа векторных полей,
твердых тел, когда необходимо
четыре точки компланарными (для
например, для расчета потока
определить, лежат ли три вектора
создания плоских полигонов) или
жидкости или магнитного поля
сил или моментов в одной
вычислять объем трехмерных
через элементарную поверхность,
плоскости (компланарность).
объектов.
а также для определения момента
импульса.

13.

Заключение
Векторы — это не просто математические объекты, а фундаментальный язык, позволяющий эффективно описывать и решать множество
задач в геометрии и физике.
Изученные операции над векторами — сложение, умножение на скаляр, скалярное, векторное и смешанное произведения —
предоставляют мощный инструментарий для анализа и моделирования сложных систем, от механики до компьютерной графики.
Благодарим за внимание!