Лекция_10_формулы_05.11.2024

1. Лекция №10 Разработка программного обеспечения для моделирования физических процессов

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Лекция №10
Разработка программного обеспечения
для моделирования физических
процессов
Воскобойников С.П.
Доцент ВШ ПИ ИКНК, к.ф.-м.н.
voskob_sp@spbstu.ru
05.11.2024

2. Содержание

Уравнения эллиптического типа в
цилиндрической системе координат.
Постановка задачи.
Аппроксимация уравнения
Аппроксимация граничных условий
Аппроксимация условия ограниченности
Аппроксимация в угловых точках

3. ИИМ для уравнений эллиптического типа в цилиндрической системе координат

1
u
u
rk1 r , z k2 r , z q r , z u f r , z
r z
z
r r
r 0, R , z 0, L
0 C11 k1 C12 , 0 C21 k2 C22 ,
q r, z 0

4. ИИМ для уравнений эллиптического типа в цилиндрической системе координат. Типы граничных условий.

Краевые условия первого рода
u r 0 ограниченно
u r R 2 z
Краевые условия второго рода
k1
u
2 z ,
r r R
Краевые условия третьего рода
k1
u
2u r R 2 z ,
r r R
2 0
Краевые условия первого рода
Краевые условия первого рода
u z 0 3 r ,
u z L 4 (r )
Краевые условия второго рода
Краевые условия второго рода
u
k2
3 r ,
z z 0
k2
Краевые условия третьего рода
Краевые условия третьего рода
k2
u
3u z 0 3 r ,
z z 0
3 0,
k2
u
4 r ,
z z L
u
4u z L 4 r ,
z z L
4 0

5. ИИМ для уравнений эллиптического типа в цилиндрической системе координат. Полый цилиндр.

1
u
u
rk1 r , z k2 r , z q r , z u f r , z
r z
z
r r
r RI , RO ,
RI 0,
z 0, L
0 C11 k1 C12 , 0 C21 k2 C22 ,
q r, z 0

6. Типы граничных условий для полого цилиндра.

Краевые условия первого рода
u r R 1 z ,
Краевые условия первого рода
u r R 2 z ,
O
I
Краевые условия второго рода
Краевые условия второго рода
u
2 z ,
r r RO
k1
u
k1
1 z ,
r r RI
Краевые условия третьего рода
Краевые условия третьего рода
u
k1
1u r R 1 z ,
I
r r RI
1 0,
k1
u
2u r R 2 z ,
O
r r RO
2 0
Краевые условия первого рода
Краевые условия первого рода
u z 0 3 r ,
u z L 4 (r )
Краевые условия второго рода
Краевые условия второго рода
u
k2
3 r ,
z z 0
k2
Краевые условия третьего рода
Краевые условия третьего рода
k2
u
3u z 0 3 r ,
z z 0
3 0,
k2
u
4 r ,
z z L
u
4u z L 4 r ,
z z L
4 0

7. ИИМ для уравнений эллиптического типа в цилиндрической системе координат

1
u
u
rk
r
,
z
k
r
,
z
q
r
,
z
u
f r , z
1
2
r z
z
r r
0 C11 k1 C12 , 0 C21 k2 C22 ,
r 0, R ,, z 0, L
u r 0 ограниченно,
u r R 2 z
u z 0 3 r ,
u z L 4 (r )

8. ИИМ для уравнений эллиптического типа в цилиндрической системе координат

Nr число разбиений интервала 0, R
N z число разбиений интервала 0, L
r0 r1 ... rN r , ri 0, R , r0 0, rN r R
z0 z1 ... z N z ,
hi ri ri 1 , i 1,2,..., N r
z j 0, L ,
z0 0, z N z L
h j z j z j 1 , j 1,2,..., N z
,
r r
ri 1 / 2 i i 1 ,
2
i 1,2,..., N r
hi 1
i 0
2 ,
h hi 1
i i
, i 1,2,..., N r 1
2
hi
i Nr
2 ,
u ri , z j ui , j
z j 1 / 2
z j z j 1
2
,
j 1,2,..., N z
h j 1
j 0
2 ,
h h j 1
j j
, j 1,2,..., N z 1
2
hj
j Nz
2,
v ri , z j vi , j
ui , j vi , j

9. Аппроксимация уравнения

u
u
rk1 r , z rk 2 r , z rq r , z u rf r , z
r z
z
r
i 1,2,..., Nr 1
j 1,2,..., N z 1
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2 u
ri 1 / 2 z j 1 / 2
u
rk1 drdz
rk 2 drdz rqudrdz rf drdz
z z
ri 1 / 2 z j 1 / 2 r r
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
z j 1 / 2
z j 1 / 2
,
u
u
ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z
dz ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z
dz
r r ri 1 / 2
r r ri 1 / 2
z j 1 / 2
z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
u
u
rk 2 r , z j 1/ 2
dr rk 2 r , z j 1/ 2
dr rqudrdz rfdrdz
z z z j 1 / 2
z z z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2
ri 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2
ri 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2

10. ИИМ для уравнений эллиптического типа

u xi , y j ui , j
v xi , y j vi , j
ui , j vi , j

11. Аппроксимация уравнения

z j 1 / 2
r r, z dz r r, z r ,
ri 1 / 2
r r, z dr i ri ri , z i ri i ,
j
j
j
j
z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
r drdz r ,
i
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2
k r
1
i 1 / 2
u
,z
r
j
r ri 1 / 2
z z j
k r
1
v v
,z
h
i 1, j
i, j
i 1 / 2
j
,
i
,
u
z rz rz
k 2 ri , z j 1/ 2
i
,
j 1 / 2
v v
k 2 ri , z j 1/ 2 i , j i , j 1
hj
vi 1, j vi , j
vi , j vi 1, j
j ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z j
j ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , y j
h
h
i 1
i
i ri k 2 ri , z j 1/ 2
vi , j 1 vi , j
h j 1
i ri k 2 ri , z j 1/ 2
i 1,2,..., Nr 1,
vi , j vi , j 1
hj
i j ri qi , j vi , j i j ri f i , j
j 1,2,..., N z 1
j i
i, j

12. Аппроксимация условия ограниченности

,
Аппроксимация условия
ограниченности
i 0,
j 1,..., N z 1
u r 0 ограниченно,
1
u
u
rk1 r , z k2 r , z q r , z u f r , z
r z
z
r r
u 1
u
u
k1 r , z k1 r , z k2 r , z q r , z u f r , z r 0
r r
r z
z
r
r 0
f r , z r 0 C1 ,
1
u
k1 r , z ,
r 0 r
r
lim
Q r , z r 0 C2 ,
u
0,
r r 0
k1 r , z r 0 C3 ,
1
u
u
k1 r , z k1 r , z ,
r 0 r
r r
r r 0
lim
u
u
2 k1 r , z k2 r , z q r , z u f r , z r 0
r z
z
r
r 0
u r 0 ограниченно
u
0,
r r 0

13. Аппроксимация условия ограниченности. Как делать не надо.

i 0,
j 1,2,..., N z 1
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2 u
ri 1 / 2 z j 1 / 2
u
rk1 drdz
rk 2 drdz rqudrdz rf drdz
r
r
z
z
ri z j 1 / 2
ri z j 1 / 2
ri z j 1 / 2
ri z j 1 / 2
z j 1 / 2
z j 1 / 2
u
u
ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z
dz ri k1 ri , z
dz
r r ri 1 / 2
r r ri
z j 1 / 2
z j 1 / 2
u
rk 2 r , z j 1/ 2
z z z
r
ri 1 / 2
i
u
dr rk 2 r , z j 1/ 2
z z z
r
ri 1 / 2
j 1 / 2
i
ri 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
dr rqudrdz rfdrdz
ri z j 1 / 2
ri z j 1 / 2
j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
r r , z dr r r , z 0, i 0, r 0, r r, z dr j r r, z j j r j , r drdz i j ri i, j 0
z
i i
i
i
ri
u
r rz rz
k1 ri 1/ 2 , z j
u
0,
r r r
i
i 1 / 2
j
k1 ri 1/ 2 , z j
vi 1, j vi , j
hi 1
u
z rz rz
k 2 ri , z j 1/ 2
v
v
k1 ri 1 / 2 , z j i 1, j i , j 0 0 0 0 0,
hi 1
i
j 1 / 2
vi 1, j vi , j
hi 1
v v
k 2 ri , z j 1/ 2 i , j i , j 1
hj
0,
i 0,
j 1,2,...., N z 1

14. Аппроксимация условия ограниченности. Как надо делать.

i 0,
ri 1 / 2
j 1,2,..., N z 1
ri 1 / 2
ri 21 / 2
ri 1 / 2
r
r
,
z
dr
r
,
z
rdr
r
,
z
ri , z , i 0, ri 0, ri 1 / 2 i
i
i
i
r
r
2
2
i
i
v
vi , j
j ri 1 / 2 k1 ri 1 / 2 , z j i 1, j
0
hi 1
v
v
v vi , j 1
r
r
r
r
i i 1 / 2 k2 ri , z j 1 / 2 i , j 1 i , j i i 1 / 2 k2 ri , z j 1 / 2 i , j
i j i 1 / 2 qi , j vi , j i j i 1 / 2 f i , j
2
h j 1
2
hj
2
2
сокращать на ri 1 / 2 не рекомендуется
vi , j 2 z j , i Nr ,
vi , j 3 ri , i 0,1,..., N r ,
j 0,
vi , j 4 ri ,
N N x 1 N y 1
i 0,1,..., N r ,
j 0,1,..., N z
j Nz ,

15. ИИМ для уравнений эллиптического типа с граничными условиями 3-его рода

16. Аппроксимация граничного условия 3-его рода на внутренней границе

k1
u
1 u r R 1 z ,
r r R
RI 0
I
i 0,
j 1,2,..., N z 1
I
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1/ 2 z j 1/ 2 u
ri 1/ 2 z j 1/ 2
u
rk1 drdz
rk2 drdz rqudrdz rf drdz
r
r
z
z
ri z j 1/ 2
ri z j 1/ 2
ri z j 1 / 2
ri z j 1 / 2
z j 1 / 2
z j 1/ 2
u
u
ri 1 / 2 k1 ri 1 / 2 , z
dz ri k1 ri , z
dz
r r ri 1/ 2
r
z j 1/ 2
r ri
z j 1 / 2
u
rk 2 r , z j 1 / 2
z z z
r
ri 1 / 2
i
j 1 / 2
ri 1 / 2
r r, z dr r r , z r
i i
i
i i
i 1 / 2
j
k1 ri 1 / 2 , z j
i
,
ri 1 / 2 z j 1 / 2
r r, z dz r r, z r
j
i
u
k1
1 u r r 1 z ,
r r r
i
i
ri 1/ 2 z j 1/ 2
dr rqudrdz rfdrdz
ri z j 1/ 2
ri z j 1 / 2
j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
z j 1 / 2
ri
u
k1 ri 1 / 2 , z j
r rz rz
u
dr rk 2 r , z j 1 / 2
z z z
r
ri 1 / 2
j
j
r drdz r ,
i
j
ri
z j 1 / 2
vi 1, j vi , j
u
z rz rz
k2 ri , z j 1 / 2
hi 1
i
z j 1 / 2
i 0,
j 1 / 2
z j 1 / 2
v v
k2 ri , z j 1 / 2 i , j i , j 1
hj
u
dz j 1vi , j 1 z j
r x x
k1 ri , z
i
j i
z j 1 / 2
i, j

17. Аппроксимация граничного условия 3-его рода на внешней границе по r

Аппроксимация граничного условия 3-его рода на внешней границе
,
по r
- k1
u
2 u r R 2 z ,
r r R
i Nr ,
O
j 1,2,..., N z 1
O
ri z j 1 / 2
ri z j 1 / 2
ri z j 1/ 2 u
ri z j 1/ 2
u
rk1 drdz
rk2 , drdz rqudrdz rf drdz
z z
ri 1/ 2 z j 1/ 2 r r
ri 1/ 2 z j 1/ 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
z j 1 / 2
z j 1 / 2
u
u
ri k1 ri , z
dz ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z
dz
r
r
z j 1 / 2
r ri
r ri 1 / 2
z j 1 / 2
u
rk 2 r , z j 1/ 2
z z z
r
ri
i 1 / 2
u
dr rk 2 r , z j 1/ 2
z z z
r
ri
j 1 / 2
i 1 / 2
z j 1 / 2
ri
r r, z dr r r , z r
i i
i
i i
ri z j 1 / 2
dr rqudrdz rfdrdz
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
j 1 / 2
i
ri 1 / 2
r r, z dz r r, z r
j
j
i
i
i Nr ,
j
z j 1 / 2
ri
j
z j 1 / 2
r drdz r ,
i
ri 1 / 2 z j 1 / 2
z j 1 / 2
u
k1
2 u r r 2 z ,
r r r
z j 1 / 2
ri
u
k r , z r
1
z j 1 / 2
dz j 2vi , j 2 z j
i
r ri
j i
i, j

18. Аппроксимация граничного условия 3-его рода на внутренней границе по r

,
Аппроксимация граничного условия 3-его рода на
внутренней границе по r
i 0,
j 1,2,..., N z 1
k1
u
1 u r R 1 z ,
r r R
I
RI 0
I
v
v
j ri 1 / 2 k1 ri 1 / 2 , z j i 1, j i , j j ri 1vi , j 1 z j
hi 1
i ri k2 ri , z j 1 / 2
vi , j 1 vi , j
h j 1
,
i ri k2 ri , z j 1 / 2
vi , j vi , j 1
hj
i j ri qi , j vi , j i j ri fi , j

19. Аппроксимация граничного условия 3-его рода на внешней границе по r

Аппроксимация граничного условия 3-его рода на внешней границе
,
по r
- k1
u
2 u r R 2 z ,
r r R
i Nx ,
j 1,2,..., N z 1;
O
O
vi , j vi 1, j
j ri 2 vi , j 2 z j j ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z j
hi
i ri k 2 ri , z j 1/ 2
vi , j 1 vi , j
h j 1
,
i ri k 2 ri , z j 1/ 2
vi , j vi , j 1
hj
i j ri qi , j vi , j i j ri f i , j

20. Аппроксимация граничного условия 3-его рода снизу по z

,
Аппроксимация граничного условия
3-его рода снизу по z
k2
u
3 u z 0 3 r ,
z z 0
i 1,2,..., Nr 1,
j 0
,
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
u
u
rk1 drdz
rk 2 drdz rqudrdz rf drdz
z z
ri 1 / 2 z j r r
ri 1 / 2 z j
ri 1 / 2 z j
ri 1 / 2 z j
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
z j 1 / 2
z j 1/ 2
u
u
ri 1 / 2 k1 ri 1 / 2 , z
dz ri 1 / 2 k1 ri 1/ 2 , z
dz
r
r
z j
r ri 1 / 2
r ri 1/ 2
zj
u
rk 2 r , z j 1 / 2
z z z
r
ri 1 / 2
i 1 / 2
j 1 / 2
r r, z dr r r , z r
i
i i
i 1 / 2
i
ri 1 / 2
k2
u
3 u z z 3 r ,
z z z
j
j
j
z j 1 / 2
ri 1 / 2
i i
ri 1/ 2 z j 1/ 2
z rqudrdz r z rfdrdz
i 1 / 2
j
i 1/ 2 j
ri 1 / 2 z j 1 / 2
u
dr rk 2 r , z j
dr
z z z
r
r
ri 1/ 2
r r, z dz r r, z r
j
j
j
ri 1 / 2 z j 1 / 2
j
zj
r drdy r
i
ri 1 / 2
j 0,
i 1,2,..., Nr 1,
zj
j 0
j i
i, j

21. Аппроксимация граничного условия 3-его рода снизу по z

k2
u
3 u z 0 3 r ,
z z 0
i 1,2,..., Nr 1,
j 0
vi 1, j vi , j
vi , j vi 1, j
j ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z j
j ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z j
hi 1
hi
vi , j 1 vi , j
i ri k 2 ri , z j 1/ 2
i ri 3vij 3 ri i j ri qi , j vi , j i j ri f i , j
h j 1

22. Аппроксимация граничного условия 3-его рода сверху по z

,
Аппроксимация граничного условия
3-его рода сверху по z
- k2
u
4 u z L 4 r ,
z z L
i 1,2,..., Nr 1,
j Nz
ri 1 / 2 z j
ri 1 / 2 z j
ri 1 / 2 z j
ri 1 / 2 z j u
u
rk1 drdz
rk 2 drdz rqudrdz rf drdz
y , z
ri 1 / 2 z j 1 / 2 r r
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
zj
zj
u
u
ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z
dz ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z
dz
r r ri 1 / 2
r r ri 1 / 2
z j 1 / 2
z j 1 / 2
u
u
rk 2 r , z j
dr rk 2 r , z j 1/ 2
z z z
z ,z z
r
r
ri 1 / 2
ri 1 / 2
i 1 / 2
i 1 / 2
j
i i
i
i i
i
ri 1 / 2
- k2
u
4 u z 4 r ,
z z z
j
j
ri 1 / 2
zj
ri 1 / 2
r r, z dr r r , z r
ri 1 / 2 z j
dr rqudrdz rfdrdz
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
j 1 / 2
zj
ri 1 / 2
r r, z dz r r, z r
j
z j 1 / 2
j Nz
j
j
j
zj
r drdz r
i
ri 1 / 2 z j 1 / 2
j i
i, j

23. Аппроксимация граничного условия 3-его рода сверху по z

,
- k2
u
4 u z L 4 r ,
z z L
i 1,2,..., Nr 1,
j Nz
vi 1, j vi , j
vi , j vi 1, j
j ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z j
j ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z j
hi 1
hi
vi , j vi , j 1
i ri 4 vi , j 4 ri i ri k 2 ri , z j 1/ 2
i j ri qi , j vi , j i j ri f i , j
hj

24. Аппроксимация граничного условия 3-его рода в угловой точке 0,0

,
Аппроксимация граничного условия
3-его рода в угловой точке 0,0
i 0,
k1
u
1 u r R 1 z ,
r r R
I
j 0,
RI 0
k2
I
,
u
3 u z 0 3 r ,
z z 0
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2 u
ri 1 / 2 z j 1 / 2
u
rk1 drdz
rk 2 drdz rqudrdz rf drdz
r
r
z
z
ri z j
ri z j
ri
zj
ri
zj
z j 1 / 2
z j 1 / 2
u
u
ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z
dz ri k1 ri , z
dz
r
r
z j
r ri 1 / 2
r ri
zj
u
rk 2 r , z j 1/ 2
z z z
r
ri 1 / 2
i
j 1 / 2
i i
i
i i
ri
k1
u
1 u r r 1 z ,
r r r
i
i
j
i
i
z j 1 / 2
ri 1 / 2
r r, z dr r r , z r
ri 1 / 2 z j 1 / 2
z rqudrdz r z rfdrdz
j
i
j
ri 1 / 2 z j 1 / 2
u
dr rk 2 r , z j
dr
z z z
r
r
ri 1 / 2
i
r r, z dz r r, z r
j
j
j
ri 1 / 2 y j 1 / 2
r drdz r
j
i
zj
i 0, ri RI 0
ri
k2
u
3 u z z 3 r ,
z z z
j
j
yj
j 0,
j i
i, j

25. Аппроксимация граничного условия 3-его рода в угловой точке 0,0

,
Аппроксимация граничного условия
3-его рода в угловой точке 0,0
i 0,
k1
u
1 u r R 1 z ,
r r R
I
RI 0
I
j 0,
k2
u
3 u z 0 3 r ,
z z 0
vi 1, j vi , j
j ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z j
j ri 1vi , j 1 z j
h
i 1
i ri k 2 ri , z j 1/ 2
vi , j 1 vi , j
h j 1
i ri 3vi , j 3 ri i j ri qi , j vi , j i j ri f i , j

26. Аппроксимация граничного условия 3-его рода в угловой точке 0,Nz

,
Аппроксимация граничного условия
3-его рода в угловой точке 0,Nz
k1
u
1 u r R 1 z ,
r r R
RI 0
I
k2
I
u
, 4 u z L 4 r ,
z z L
i 0,
j Nz
,
ri 1 / 2 z j
ri 1 / 2 z j
ri 1 / 2 z j u
ri 1 / 2 z j
u
rk1 drdz
rk 2 drdz rqudrdz rf drdz
r
r
z
z
ri z j 1 / 2
ri z j 1 / 2
ri z j 1 / 2
ri z j 1 / 2
zj
zj
u
u
ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z
dz ri k1 ri , z
dz
r
r
z j 1 / 2
r ri 1 / 2
r ri
z j 1 / 2
u
u
rk 2 r , z j
dr rk 2 r , z j 1/ 2
z z z
z z z
r
r
ri 1 / 2
ri 1 / 2
j
i
ri 1 / 2
r r, z dr r r , z r
i i
i
i i
i
ri 1 / 2 z j
dr rqudrdz rfdrdz
ri z j 1 / 2
ri z j 1 / 2
j 1 / 2
zj
ri 1 / 2
zj
i
ri
r r, z dz r r, z r
j
j
j
u
1 u r r 1 z ,
r r r
i
i
i 0, ri Ro 0
k2
zj
ri
z j 1 / 2
r drdz r
i
j
z j 1 / 2
k1
ri 1 / 2
u
4 u z z 4 r ,
z z z
j
j
j i
i, j
j Nz ,

27. Аппроксимация граничного условия 3-его рода в угловой точке 0,Nz

,
Аппроксимация граничного условия
3-его рода в угловой точке 0,Nz
k1
u
1 u r R 1 z ,
r r R
I
RI 0
k2
I
i 0,
u
4 u z L 4 r ,
z z L
j Nz ,
vi 1, j vi , j
j ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z j
j ri 1vi , j 1 z j
hi 1
i ri 4 vi , j 4 ri i ri k 2 ri , y j 1/ 2
vi , j vi , j 1
hj
i j ri qi , j vi , j i j ri f i , j

28. Аппроксимация граничного условия 3-его рода в угловой точке Nr,Nz

,
Аппроксимация граничного условия
3-его рода в угловой точке Nr,Nz
k1
u
2 u r R 2 z ,
r r R
k2
O
O
u
4 u z L 4 r ,
z z L
i Nr ,
j Nz ,
zj
zj
ri
ri
ri z j u
ri z j
u
rk1 drdz
rk 2 drdz rqudrdz rf drdz
r
r
z
z
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
ri 1 / 2 z j 1 / 2
zj
zj
u
u
ri k1 ri , z
dz ri 1 / 2 k1 ri 1 / 2 , z
dz
x r ri
r r ri 1/ 2
z j 1/ 2
z j 1/ 2
u
u
rk 2 r , z j
dr rk 2 r , z j 1 / 2
z z z
z z z
r
r
ri
ri
i 1 / 2
i 1 / 2
j
ri
r r, z dr r r , z r
i i
i
i i
ri z j
dr rqudrdz rfdxdz
ri 1/ 2 z j 1/ 2
ri 1/ 2 z j 1 / 2
j 1 / 2
zj
ri
zj
r r, z dz r r, z r
i
j
ri 1 / 2
j
j
ri
r drdz r
i
j
u
2 u r r 2 z ,
r r r
i
i
i Nr
k2
j i
i, j
ri 1 / 2 z j 1 / 2
z j 1 / 2
k1
zj
u
4 u z z 4 r ,
z z z
j
j
j Nz ,

29. Аппроксимация граничного условия 3-его рода в угловой точке Nr,Nz

,
Аппроксимация граничного условия
3-его рода в угловой точке Nr,Nz
k1
u
2 u r R 2 z ,
r r R
O
O
k2
u
4 u z L 4 r ,
z z L
i Nr ,
j Nz ,
vi , j vi 1, j
j ri 2 vi , j 2 z j j ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z j
h
i
v v
i ri 4 vi , j 4 ri i ri k 2 ri , z j 1/ 2 i , j i , j 1 i j ri qi , j vi , j i j ri f i , j
hj

30. Аппроксимация граничного условия 3-его рода в угловой точке Nr,0

,
Аппроксимация граничного условия
3-его рода в угловой точке Nr,0
k1
u
2 u r R 2 z ,
r r R
k2
O
O
u
3 u z 0 3 r ,
z z 0
i Nr ,
j 0,
ri z j 1 / 2
ri z j 1 / 2
ri z j 1 / 2 u
ri z j 1 / 2
u
rk1 drdz
rk 2 drdz rqudrdz rf drdz
z z
ri 1 / 2 z j r r
ri 1 / 2 z j
ri 1 / 2 z j
ri 1 / 2 z j
z j 1 / 2
z j 1 / 2
u
u
ri k1 ri , z
dz ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z
dz
r
x
z j
r ri
r ri 1 / 2
zj
u
rk 2 r , z j 1/ 2
z z z
r
ri
i 1 / 2
j 1 / 2
i i
i
i i
i
ri 1 / 2
u
k1
2 u r r 2 z ,
r r r
i
i
ri
i 1 / 2
j
z j 1 / 2
z j 1 / 2
ri
r r, z dr r r , z r
ri z j 1 / 2
z rqudrdz r z rfdrdz
i 1 / 2
j
i 1 / 2 j
u
dr rk 2 r , z j
dr
z
z z
r
r
ri
r r, z dz r r, z r
j
j
j
i Nr
z j 1 / 2
ri 1 / 2
zj
r drdz r
i
j
zj
k2
ri
u
3 u z z 3 r ,
z z z
j
j
j 0,
j i
i, j

31. Аппроксимация граничного условия 3-его рода в угловой точке Nr,0

,
Аппроксимация граничного условия
3-его рода в угловой точке Nr,0
u
k1
2 u r R 2 z ,
r r R
O
O
k2
u
3 u z 0 3 r ,
z z 0
i Nr ,
j 0,
v v
j ri 2 vi , j 2 z j j ri 1/ 2 k1 ri 1/ 2 , z j i , j i 1, j
hi
i ri k 2 ri , z j 1/ 2
vi , j 1 vi , j
h j 1
i ri 3vi , j 3 ri i j ri qi , j vi , j i j ri f i , j